中考数学动点问题

1、目目录录 第一部分函数图象中点的存在性问题 1.11.1因动点产生的相似三角形问题因动点产生的相似三角形问题 例 1 2013 年上海市中考第 24 题 例 2 2012 年苏州市中考第 29 题 例 3 2012 年黄冈市中考第 25 题 例 4 2010 年义乌市中考第 24 题 例 5 2009 年临沂市中考第 26 题 例 6 2008 年苏州市中考第 29 题 1.21.2因动点产生的等腰三角形问题因动点产生的等腰三角形问题 例 1 2013 年上海市虹口区中考模拟第 25 题 例 2 2012 年扬州市中考第 27 题 例 3 2012 年临沂市中考第 26 题 例 4 2011

2、年湖州市中考第 24 题 例 5 2011 年盐城市中考第 28 题 例 6 2010 年南通市中考第 27 题 例 7 2009 年江西省中考第 25 题 1.31.3因动点产生的直角三角形问题因动点产生的直角三角形问题 例 1 2013 年山西省中考第 26 题 例 2 2012 年广州市中考第 24 题 例 3 2012 年杭州市中考第 22 题 例 4 2011 年浙江省中考第 23 题 例 5 2010 年北京市中考第 24 题 例 6 2009 年嘉兴市中考第 24 题 例 7 2008 年河南省中考第 23 题 1.41.4因动点产生的平行四边形问题因动点产生的平行四边形问题 例

3、 1 2013 年上海市松江区中考模拟第 24 题 例 2 2012 年福州市中考第 21 题 例 3 2012 年烟台市中考第 26 题 例 4 2011 年上海市中考第 24 题 例 5 2011 年江西省中考第 24 题 例 6 2010 年山西省中考第 26 题 例 7 2009 年江西省中考第 24 题 1.51.5因动点产生的梯形问题因动点产生的梯形问题 例 1 2012 年上海市松江中考模拟第 24 题 例 2 2012 年衢州市中考第 24 题 例 4 2011 年义乌市中考第 24 题 例 5 2010 年杭州市中考第 24 题 例 7 2009 年广州市中考第 25 题 1

4、.61.6因动点产生的面积问题因动点产生的面积问题 例 1 2013 年苏州市中考第 29 题 例 2 2012 年菏泽市中考第 21 题 例 3 2012 年河南省中考第 23 题 例 4 2011 年南通市中考第 28 题 例 5 2010 年广州市中考第 25 题 例 6 2010 年扬州市中考第 28 题 例 7 2009 年兰州市中考第 29 题 1.71.7因动点产生的相切问题因动点产生的相切问题 例 1 2013 年上海市杨浦区中考模拟第 25 题 例 2 2012 年河北省中考第 25 题 例 3 2012 年无锡市中考第 28 题 1.81.8因动点产生的线段和差问题因动点产

5、生的线段和差问题 例 1 2013 年天津市中考第 25 题 例 2 2012 年滨州市中考第 24 题 例 3 2012 年山西省中考第 26 题 第二部分图形运动中的函数关系问题 2.12.1由比例线段产生的函数关系问题由比例线段产生的函数关系问题 例 1 2013 年宁波市中考第 26 题 例 2 2012 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题 例 3 2012 年连云港市中考第 26 题 例 4 2010 年上海市中考第 25 题 2.22.2由面积公式产生的函数关系问题由面积公式产生的函数关系问题 例 1 2013 年菏泽市中考第 21 题 例 2 2012 年广东省中考第 22 题

6、例 3 2012 年河北省中考第 26 题 例 4 2011 年淮安市中考第 28 题 例 5 2011 年山西省中考第 26 题 例 6 2011 年重庆市中考第 26 题 第三部分图形运动中的计算说理问题 3.13.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题代数计算及通过代数计算进行说理问题 例 1 2013 年南京市中考第 26 题 例 2 2013 年南昌市中考第 25 题 3.23.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题几何证明及通过几何计算进行说理问题 例 1 2013 年上海市黄浦区中考模拟第 24 题 例 2 2013 年江西省中考第 24 题 声声 明明 选自东师范大学出版社出版

7、的挑战中考数学压轴题 （含光盘）一书。 该书收录当年全国各地具有代表性的中考数学压轴题， 并把它们分为 4 部分、 24 小类。该书最大的特色是用几何画板和超级画板做成电脑课件，并为每一 题录制了视频讲解，让你在动态中体验压轴题的变与不变，获得清晰的解题思 路，完成满分解答，拓展思维训练。 挑战中考数学压轴题自出版以来广受读者欢迎，被评为优秀畅销图 书,成为“中考压轴题”类第一畅销图书。在上海、北京、江苏、浙江等省市 的名牌初中的毕业班学生中，几乎人手一本，成为冲刺名牌高中必备用书。 由于格式问题，该书最具特色的电脑课件和视频文件在此无法一并附上， 敬请原谅。 第一部分函数图象中点的存在性问题

8、 1.11.1因动点产生的相似三角形问题因动点产生的相似三角形问题 例例 1 20131 2013 年上海市中考第年上海市中考第 2424 题题 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线 yax2bx（a0）经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B，AOBO2，AOB120 （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结 OM，求AOM 的大小； （3）如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，求点 C 的坐标 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“13 上海 24” ，拖动点 C 在 x 轴上运动，可以体验到，点 C 在 点 B 的右侧，有两种情况，ABC 与

9、AOM 相似 请打开超级画板文件名“13 上海 24” ，拖动点 C 在 x 轴上运动，可以体验到，点 C 在 点 B 的右侧，有两种情况，ABC 与AOM 相似点击按钮的左部和中部，可到达相似的 准确位置。 思路点拨思路点拨 1第（2）题把求AOM 的大小，转化为求BOM 的大小 2因为BOMABO30，因此点 C 在点 B 的右侧时，恰好有ABCAOM 3根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论ABC 与AOM 相似 满分解答满分解答 （1）如图 2，过点 A 作 AHy 轴，垂足为 H 在 RtAOH 中，AO2，AOH30， 所以 AH1，OH3所以 A(1, 3) 因为抛物线与 x

10、轴交于 O、B(2,0)两点， 设yax(x2)，代入点A(1, 3)，可 a 3 3 图 2 所以抛物线的表达式为y 3 3 x(x2) 3 3 x2 2 3 3 x （2）由y 3 3 x2 2 333 3 x 3 (x1)2 3 ， 得抛物线的顶点 M 的坐标为(1, 3 3 )所以tanBOM 3 3 所以BOM30所以AOM150 （3）由 A(1, 3)、B(2,0)、M(1, 3 3 )， 得tanABO 3 3 ，AB 2 3，OM 2 3 3 所以ABO30， OA OM 3 因此当点 C 在点 B 右侧时，ABCAOM150 ABC 与AOM 相似，存在两种情况： 如图 3

11、，当 BAOABA BC OM 3时，BC 3 2 3 3 2此时 C(4,0) 得 如图 4，当 BCOA 3时，BC 3BA 32 3 6此时 C(8,0) BAOM 图 3图 4 考点伸展考点伸展 在本题情境下，如果ABC 与BOM 相似，求点 C 的坐标 如图 5，因为BOM 是 30底角的等腰三角形，ABO30，因此ABC 也是底角 为 30的等腰三角形，ABAC，根据对称性，点 C 的坐标为(4,0) 图 5 例例 2 20122 2012 年苏州市中考第年苏州市中考第 2929 题题 1 2 1b x (b1)x（b 是实数且 b2）与x 轴的正半轴分别交 444 于点 A、B（

12、点 A 位于点 B 是左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C （1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示） ； （2） 请你探索在第一象限内是否存在点P， 使得四边形 PCOB 的面积等于 2b， 且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说 明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中 的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标； 如果不存在，请说明理由 如图 1，已知抛物线y 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“12

13、苏州 29” ，拖动点 B 在 x 轴的正半轴上运动，可以体验到， 点 P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于 2b 的时刻双击按钮“第（3） 题” ，拖动点 B，可以体验到，存在OQAB 的时刻，也存在OQ AB 的时刻 思路点拨思路点拨 1第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等 2联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含 b 的式子 表示 3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上 满分解答满分解答 b ) 4 （2）如图 2，

14、过点 P 作 PDx 轴，PEy 轴，垂足分别为 D、E，那么PDBPEC 因此 PDPE设点 P 的坐标为(x, x) （1）B 的坐标为(b, 0)，点 C 的坐标为(0, 如图 3，联结 OP 1b15 所以 S 四边形PCOBSPCOSPBO xbx bx2b 2428 1616 16 解得x 所以点 P 的坐标为(,) 555 图 2图 3 1 2 1b1 x (b1)x(x1)(xb)，得 A(1, 0)，OA1 4444 如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC，那么OQCQOA BAQA 当，即QA2 BAOA时，BQAQOA QAOA （3）由y b 所以( )2b

15、1解得b 84 3所以符合题意的点Q 为(1,23) 4 如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x1 交于点 Q，那么OQC90。 因此OCQQOA BAQA 当时，BQAQOA此时OQB90 QAOA 所以 C、Q、B 三点共线因此 BOQA ，即 b QA 解得QA 4此时 Q(1,4) bCOOA 1 4 图 4图 5 考点伸展考点伸展 第（3）题的思路是，A、C、O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而QOA 与QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况 这样，先根据QOA 与QOC 相似把点 Q 的位置确定下来， 再根据两直角边对应成比 例确定点 B

16、 的位置 如图中，圆与直线 x1 的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？ 如果符合题意的话，那么点B 的位置距离点 A 很近，这与 OB4OC 矛盾 例例 3 20123 2012 年黄冈市中考模拟第年黄冈市中考模拟第 2525 题题 如图 1，已知抛物线的方程 C1：y 1 (x2)(xm)(m0)与 x 轴交于点 B、C，与 m y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧 （1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值； （2）在（1）的条件下，求BCE 的面积； （3）在（ 1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BHEH 最小，求出点H 的坐标； （4）在第四象

17、限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形 与BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“12 黄冈 25” ，拖动点 C 在 x 轴正半轴上运动，观察左图，可 以体验到，EC 与 BF 保持平行，但是BFC 在无限远处也不等于 45观察右图，可以体 验到，CBF 保持 45，存在BFCBCE 的时刻 思路点拨思路点拨 1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小 2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作CBFEBC45，或 者作 BF/EC再用含m 的式

18、子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关 于 m 的方程 满分解答满分解答 11 (x2)(xm)，得2 4(2m)解得 m4 mm 111 （2）当 m4 时，y (x2)(x4) x2x2所以 C(4, 0)，E(0, 2) 442 11 所以 S BCE BCOE 62 6 22 （3）如图 2，抛物线的对称轴是直线x1，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小 HPEO 设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 CPCO HP233 因此解得HP 所以点 H 的坐标为(1, ) 3422 （4）如图 3，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FFx

19、轴于 F CEBC 由于BCEFBC，所以当，即BC2 CEBF时，BCEFBC CBBF （1）将 M(2, 2)代入y 1 (x2)(xm) 1FF EO2 m 设点 F 的坐标为(x,(x2)(xm)，由，得 mBF COx2m 解得 xm2所以 F(m2, 0) (m4) m24COBF mm4 由，得所以BF 2 mCEBFBF m 4 (m4) m24 由BC CEBF，得(m2) m 4 m 2 22 整理，得 016此方程无解 图 2图 3图 4 如图 4，作CBF45交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F， BEBC ，即BC2 BEBF时，BCEBFC BCBF 1

20、 在 RtBFF中，由 FFBF，得(x2)(xm) x2 m 由于EBCCBF，所以 解得 x2m所以 F(2m,0)所以 BF2m2，BF 2(2m 2) 由BC2 BEBF，得(m2)2 2 22(2m2)解得m 22 2 综合、，符合题意的m 为22 2 考点伸展考点伸展 第（4）题也可以这样求 BF 的长：在求得点 F、F 的坐标后，根据两点间的距离公式 求 BF 的长 例例 4 20104 2010 年义乌市中考第年义乌市中考第 2424 题题 如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0） 、A（2，0） 、B（6，3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M

21、的坐标； （2） 将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线OA、 CB 以相同的速度同时向上平移， 分别交抛物线于点 O1、A1、C1、B1，得到如图2 的梯形 O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积 为 S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含S 的代数式表示 x2x1，并求出当 S=36 时点 A1的坐标； （3）在图 1 中，设点 D 的坐标为(1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的 速度沿着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段DM 运动P、 Q 两点同时出发，当点Q 到达点 M 时，P、Q

22、 两点同时停止运动设P、Q 两点的运动时间 为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线PQ、直线 AB、 抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由 图 1图 2 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“10 义乌 24” ，拖动点I 上下运动，观察图形和图象，可以体验 到，x2x1随 S 的增大而减小双击按钮“第（ 3）题” ，拖动点Q 在 DM 上运动，可以体验 到，如果GAFGQE，那么GAF 与GQE 相似 思路点拨思路点拨 1第（2）题用含 S 的代数式表示 x2x1，我们反其道而行之，用 x1，x2表示 S再

23、注 意平移过程中梯形的高保持不变，即y2y13通过代数变形就可以了 2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位 置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证 3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与 x 轴的夹角不变，直线 AB 与抛物 线的对称轴的夹角不变变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴 的下方，或者假设交点G 在 x 轴的上方 满分解答满分解答 （1）抛物线的对称轴为直线x 1，解析式为y （2） 梯形 O1A1B1C1的面积S 1 2 11 x x，顶点为 M（1，） 848 2(x 1 1 x 2

24、 1) 3(x 1 x 2 )6，由此得到 2 s1 2 111 x 1 x 2 2由于y 2 y 1 3，所以y2 y1 x 2 x 2 x 1 2x 1 3整理，得 38484 1 72 1 (x 2 x 1) (x 2 x 1) 3因此得到x 2 x 1 84S 当 S=36 时， x 2 x 1 14, x 1 6, 解得此时点 A1的坐标为（6，3） x2 x 1 2. x2 8. （3）设直线 AB 与 PQ 交于点 G，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E，直线 PQ 与 x 轴交于点 F，那么要探求相似的GAF 与GQE，有一个公共角G 在GEQ 中，GEQ 是直线 AB 与

25、抛物线对称轴的夹角，为定值 在GAF 中，GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且GEQGAF 因此只存在GQEGAF 的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD 由于tanGAF DQt33t20 ，tanPQD ，所以 解得t QP5t445t7 图 3图 4 考点伸展考点伸展 第（3）题是否存在点 G 在 x 轴上方的情况？如图 4，假如存在，说理过程相同，求得 的 t 的值也是相同的 事实上，图 3 和图 4 都是假设存在的示意图， 实际的图形更接近图 3 例例 5 20095 2009 年临沂市中考第年临沂市中考第 2626 题题 如图 1，抛物线经过点 A(4，0)、

26、B（1，0)、C（0，2）三点 （1）求此抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作 PMx 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以 A、P、M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点 P 的坐标；若不 存在，请说明理由； （3） 在直线 AC 上方的抛物线是有一点D， 使得DCA 的面积最大， 求出点 D 的坐标 , 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“09 临沂 26” ，拖动点 P 在抛物线上运动，可以体验到，PAM 的形状在变化，分别双击按钮“P 在 B 左侧” 、 “ P 在 x 轴上方”和“P 在 A 右侧” ，可以显 示PAM 与OAC

27、 相似的三个情景 双击按钮“第(3)题” ， 拖动点 D 在 x 轴上方的抛物线上运动，观察DCA 的形状和面 积随 D 变化的图象，可以体验到，E 是 AC 的中点时，DCA 的面积最大 思路点拨思路点拨 1已知抛物线与 x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便 2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长 3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程 4把DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA 满分解答满分解答 （1）因为抛物线与x 轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为 1 y a(x 1)(x 4)，代入点 C 的 坐标

28、（0，2） ，解得a 所以抛物线的解析式为 2 115 y (x 1)(x 4) x2x 2 222 （2）设点 P 的坐标为(x, 1 (x 1)(x 4) 2 1 (x 1)(x 4)，AM 4 x 2 如图 2，当点 P 在 x 轴上方时，1x4，PM 1 (x 1)(x 4) AMAO 如果 2，那么 2 2解得x 5不合题意 PMCO4 x 1 (x 1)(x 4) AMAO11 如果，那么 2 解得x 2 PMCO24 x2 此时点 P 的坐标为（2，1） 如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时，x4，PM 1 (x 1)(x 4)，AM x 4 2 1 (x 1)(x 4) 解方

29、程 2 2，得x 5此时点 P 的坐标为(5,2) x 4 1 (x 1)(x 4) 1 2 解方程，得x 2不合题意 x 42 1 如图 4，当点 P 在点 B 的左侧时，x1，PM (x 1)(x 4)，AM 4 x 2 1 (x 1)(x 4) 2 解方程 2，得x 3此时点 P 的坐标为(3,14) 4 x 1 (x 1)(x 4) 1 解方程 2 ，得x 0此时点 P 与点 O 重合，不合题意 4 x2 综上所述，符合条件的 点 P 的坐标为（2，1）或(3,14)或(5,2) 图 2图 3图 4 （3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E直线 AC 的解析式为y 设

30、点 D 的横坐标为 m(1 m 4)，那么点D 的坐标为(m, 1 x 2 2 1 2 5 m m2)，点E 的 22 坐标为(m, 11511 m 2)所以DE (m2m 2)(m 2) m2 2m 22222 11 222 因此S DAC (m 2m)4 m 4m (m 2) 4 22 当m 2时，DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1） 图 5图 6 考点伸展考点伸展 第（3）题也可以这样解： 如图 6，过 D 点构造矩形 OAMN，那么DCA 的面积等于直角梯形 CAMN 的面积减去 CDN 和ADM 的面积 设点 D 的横坐标为（m，n）(1 m 4)，那么 111 (2n

31、2)4m(n 2)n(4 m) m 2n 4 222 1 2 5 2 由于n m m 2，所以S m 4m 22 S 例例 6 20086 2008 年苏州市中考第年苏州市中考第 2929 题题 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“08 苏州 29” ，拖动表示a 的点在 y 轴上运动，可以体验到，当 抛物线经过点E1和E3时， 直线NE1、 NE3和直线AB交于同一个点G， 此时POBPGN 当 抛物线经过点 E2和 E4时，直线 NE2、NE4和直线 AB 交于同一个点 G，可以体验到，这个 点 G 在点 N 右侧较远处 思路点拨思路点拨 1求等腰直角三角形OAB 斜边上的高 OH，解直角