中考数学重要公式(全归纳)

1、重要公式重要公式 代数部分代数部分 一数与式一数与式 2 1. 1.a2|a |2. 2.( a) a(a 0)3. 3.3a3 a 4. 4.ap 11 1 , ,特别地，特别地，a （a 0）(a 0，p为正整数) aap n（-1） 1(n为奇数) 5. 5.a 1(a 0)6. 6. 0 1 n为偶数） = =（ 2. 2.分母有理化分母有理化 bb a (a0) aa mm( a b)m a m b (a0，b0) aba b( a b)( a b) 3. 3.非负数的算术平方根非负数的算术平方根 例：例：9的算术平方根是的算术平方根是3 4. 4.（1 1）分式有意义，分母不为）分

2、式有意义，分母不为 0, 0,例如：要使 4x3 有意义，则x 1； x21 如果分子分母中有开平方，则分子根号下的式子必须如果分子分母中有开平方，则分子根号下的式子必须0 0，分母根号下的式子必须，分母根号下的式子必须0 0， 例如：要使 3x12 有意义，则 3x+120解得 x2 2x4 2x-40 （2 2）要使分式值为）要使分式值为 0 0，必须保证分子为，必须保证分子为 0 0 的同时分母不为的同时分母不为 0. 0. x22x3 2 例如：的值为 0，则必须使x 2x3 0同时x1 0，解得 x=3 x1 二一元二次方程二一元二次方程 2 1.1.一元二次方程一元二次方程ax b

3、x c(a 0)求根公式：求根公式： bb24ac x （ b24ac 0） 2a 2.2.根与系数的关系（韦达定理）：根与系数的关系（韦达定理）： 2 若一元二次方程若一元二次方程ax bx c(a 0)的两根分别为的两根分别为x1、x2，则，则 bc x 1 x 2 x 1x2 aa 3. 3.的作用的作用 1 0 0 0 0 0 0 一元二次方程一元二次方程 有两个不同的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 二次函数二次函数 与 x 轴有两个不同的交点 与 x 轴只有一个不同的交点 x 轴无交点 三函数三函数 1.1.一次函数的图像和性质：一次函数的图像和性质： 名称名称 一次函数一次函

4、数 y=kx+b(ky=kx+b(k 0 0，b b0)0) K K、b b 的符号的符号 k0b0 一、三、四 b0 图像图像经过象限经过象限 一、二、三 增减性增减性 y 随 x 的增大而 增大 k0b0 二、三、四 b0 一、二、四 y 随 x 的增大而 减小 正比例函数正比例函数 y=kx(ky=kx(k0)0) 【是特殊的【是特殊的 一次函数】一次函数】 k0 k0 一、三 y 随 x 的增大而 增大 二、四 y 随 x 的增大而 减小 2 2.2.（1 1）反比例函数的图像和性质）反比例函数的图像和性质 反比例函数反比例函数 k k 的符号的符号 图像图像 k0 y k (k 0)

5、 x k0 x 的取值范围是 x0， y 的取值范围是 y0； 当 k0 时，函数图象的两个分支分别在第 一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大 而减小. 对称性对称性 k (k 0) 的图象是轴对称图形，对称轴为 y x(k0) 或 y x(k0) x k y (k 0) 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； x kk y 和y (k0)在同一坐标系中的图象关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称 xx y （2 2）反比例函数中反比例系数的几何意义）反比例函数中反比例系数的几何意义 k (k0) 上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为k. x k 过双曲

6、线y (k0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段， 连接该点和原点， 所得三角形 x k （如图）的面积为 2 k 双曲线y (k0) 同一支上任意两点P1、P 2 与原点组成的 三角形（如图）的面积=直 x 过双曲线y 角梯形P 1P2Q2Q1 的面积 （3） 正比例函数如果与反比例函数相交正比例函数如果与反比例函数相交, ,交点坐标关于原点对称交点坐标关于原点对称（. . 即： 若正比例函数 y=k 1x 3 与反比例函数 y= k 2相交于 A(x 1 ，y1)，B（x 2 ，y2）两点，则点A 与点 B 关于原点对称. x 2 3.3.二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质 (1)(1

7、)顶点式顶点式y a(xh) k(a 0)的图像和性质的图像和性质 a a 的符号的符号图像特征图像特征 是轴对称图形； 函数性质函数性质 对称轴是直线 x=h； 开口向上， 图像有最低点 （顶点） ， 顶点 （h,k） ； 当 x=h 时，函数有最小值 k. 在对称轴的左边，图像从左至右呈下降趋势； 当 xh 时，y 随 x 增大而减小； 在对称轴的右边，图像从左至右呈上升趋势； 当 xh 时，y 随 x 增大而增大； 开口向下， 图像有最高点 （顶点） ， 顶点 （h,k） ； 当 x=h 时，函数有最大值 k. 是轴对称图形；对称轴是直线 x=h； 在对称轴的左边，图像从左至右呈上升趋势

8、； 当 xh 时，y 随 x 增大而增大； 在对称轴的右边，图像从左至右呈下降趋势； 当 xh 时，y 随 x 增大而减小. 可知抛物线可知抛物线y a(xh) k(a 0)【h0，k0】可由】可由y ax向右平移向右平移h个单位，再个单位，再 向上平移向上平移k个单位得到个单位得到. .平移规律：左加右减，上加下减平移规律：左加右减，上加下减. . （2 2）一般式）一般式y ax bxc(a 0)的图像和性质的图像和性质 a a 的符号的符号图像特征图像特征 开口向上，图像有最低点(顶点)， 2 22 函数性质函数性质 当 x= - b4acb2 顶点（-, 4a2a 是轴对称图形； b

9、2a 时，函数有最小值 ）； 4acb2 4a . 对称轴是直线 x=- 当x- b ； 2a 在对称轴的左边， 图像从左至右呈 下降趋势； 在对称轴的右边， 图像从左至右呈 上升趋势； 开口向下， 图像有最高点 （顶点） ， b4acb2 顶点（-, 4a2a 是轴对称图形； b 时， y随x增大而减小； 2a b 当x-时， y随x增大而增大； 2a b 当 x= - 时，函数有最大值 2a 4acb2 4a . ）； 对称轴是直线 x=- 当x- b ； 2a 在对称轴的左边， 图像从左至右呈 上升趋势； 在对称轴的右边， 图像从左至右呈 下降趋势. 4 b 时， y随x增大而增大； 2

10、a b 当x-时， y随x增大而减小. 2a 二次函数的图象与各项系数之间的关系二次函数的图象与各项系数之间的关系 （1）二次项系数a 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大 即即|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大. 【注：注：抛物线形状相同，指的是|a|相同】 （2）一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 （左同右异b 为 0 对称轴为 y 轴） 注意：注意：当对称轴在 y 轴左侧时，a 与 b 同号（即 ab0）；当对称轴在 y 轴

11、右侧时，a 与 b 异号（即 ab0）. （3）常数项c 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 四二次函数与一元二次方程的关系：四二次函数与一元二次方程的关系： 一元二次方程 ax+bx+c=0 是二次函数 y=ax+bx+c 当函数值 y=0 时的特殊情况. 当0 时，图象与 x 轴没有交点. 当 a0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y0；

12、 当 a0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y0 函数的平移函数的平移（平移对一次函数来说不改变一次项系数（平移对一次函数来说不改变一次项系数 k k，对二次函数来说不改变二次项系数对二次函数来说不改变二次项系数 a a） 1.图像的平移和图像上点的平移（一样）：左减右加，上加下减. 2.解析式的平移：左加右减，上加下减. 一般式的平移：如将二次函数y ax bxc向右平移 m(m0)个单位，再向下平移 n （n0）个单位，得到 2 y a(xm)2b(xm)cn ax2(2amb)x am2bmcn 顶点式的平移：如将二次函数y a(xh) k向右平移 m(m0)个单

13、位，再向下平移n （n0）个单位，得到y a(xhm) k n 五二次函数图像的三大变换（平移、轴对称、旋转）五二次函数图像的三大变换（平移、轴对称、旋转） 抛物线解析式常见的三种形式抛物线解析式常见的三种形式 名称名称 一般式一般式 解析式解析式使用范围使用范围 已知任意三点 2 2 y ax2bxc （a0） y a(xh)2k （a0） 顶点式顶点式已知顶点（h,k）及另一点 交点式交点式 y a(x x 1)(x x2 )（a0） 已知与 x 轴的两个交点（x1,0）、（x2,0）及另一个点 5 2.2.二次函数抛物线简单的图形变换二次函数抛物线简单的图形变换 （1 1）顶点式【）顶点

14、式【y a(xh) k（a0）】 名称名称 平移平移 a a a 顶点（顶点（h h，k k） (h， k) 左加右减 上加下减 对对 称称 关于关于 x x 轴对称轴对称 关于关于 y y 轴对称轴对称 关于原点对称关于原点对称 旋转（绕顶点旋转旋转（绕顶点旋转 180180） 2 2 -a a -a -a (h，-k) (-h，k) (-h，-k) (h，k) （2 2）一般式【）一般式【y ax bxc（a0）】 平移平移：如将二次函数y ax bxc向右平移 m(m0)个单位，再向下平移 n（n0） 个单位，得到 2 y a(xm)2b(xm)cn ax2(2amb)x am2bmcn

15、 对称对称 名称名称a a、b b、c c 的变化的变化 关于关于 x x 轴对称轴对称 关于关于 y y 轴对称轴对称 关于原点对称关于原点对称 a-a; b-b; c-c a不变；b-b；c不变 a-a；b不变；c-c 注：注：无论是平移、轴对称还是旋转，最好先把二次函数化成顶点式，然后再根据需要进行求 解. 五两点间距离公式五两点间距离公式 A(A(x1、y1) )，B(B(x2、y2) )是平面直角坐标系中的两点，那么是平面直角坐标系中的两点，那么 A A、B B 两点的距离为：两点的距离为： |AB|=|AB|=(x 1 x 2 ) (y 1 y 2 ) 六两点关于一条直线对称：即这

16、两点的连线被该直线垂直平分六两点关于一条直线对称：即这两点的连线被该直线垂直平分. . 已知点 A 和 A关于直线l对称，则 AA被直线l垂直平分. 22 （）（） 七已知直线七已知直线l1: y1 k1xb和直线和直线l2: y2 k2xb， 1 k 1 0 2 k 2 0 若若l1 l2，则，则k1.k2 1 6 八三点共线，且中间的点是中点，则中间点的横坐标八三点共线，且中间的点是中点，则中间点的横坐标= = 两个端点横坐标相加 ，中间点，中间点 2 的纵坐标的纵坐标= = 两个端点纵坐标相加 【图形旋转【图形旋转 180180后求点的坐标常用到】后求点的坐标常用到】 2 若若 A(A(

17、x1, y1) )，B(B(x2, y2) )，M(M(m，n) )共线，且共线，且 MM 为线段为线段 ABAB 的终点，则有的终点，则有 m x 1 x 2 y y 2,n 1 22 十平均数、中位数、众数十平均数、中位数、众数 平均数平均数 （1 1）算术平均数：）算术平均数：一般地，对于 n 个数x1,x2,x3xn,那么x （2 2） 加权平均数：加权平均数：x x 1 x 2 x 3 x n n 1 其中f1, f 2 ,，f k 分别表示x1,x2,xk(x 1 f 1 x 2 f 2 x k f k )， n 出现的次数，n f1 f 2 f k . 中位数：中位数：将 n 个

18、数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果n 是奇数，则中间位置的 数是中位数；如果 n 是偶数，则中间两个数的平均数是中位数. 众数：众数：一组数据中出现次数最多的数据，可能不唯一.(也就是众数可能不止一个) 十一方差和标准差十一方差和标准差 方差：方差：S 2 1 2(x 1 x)2(x 2 x)2 （x n x） 【其中，x n 是样本数据，n是样本容 n 量，x是样本平均数】 标准差（标准差（S S）：）：是方差的算术平方根 无论是方差还是标准差无论是方差还是标准差 , ,都可以反映数据的波动性，都可以反映数据的波动性， S（或S）越大，数据越不稳定； 越大，数据越不稳定； 2S（或

19、S） 越小，数据越稳定越小，数据越稳定. . 2 十二一元一次不等式组解集的表示方法十二一元一次不等式组解集的表示方法 7 十三列表法或画树状图求随机事件的概率十三列表法或画树状图求随机事件的概率 1.1.利用树状图法求随机事件发生的概率，需备具两个条件：利用树状图法求随机事件发生的概率，需备具两个条件： （1）两步或两步以上试验的事件发生的概率，且各种情况出现的总次数不是很大； （2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等 2 2.利用列表法求随机事件发生的概率利用列表法求随机事件发生的概率 （1）涉及两步试验的随机事件发生的概率，且各种情况出现的总次数不是很大； （2）一次试验中，各种结果发

20、生的可能性相等 列表法注意事项列表法注意事项 不放回实验：所列表格对角线上无数据；不放回实验：所列表格对角线上无数据； 放回实验：所列表格对角线上有数据放回实验：所列表格对角线上有数据. . 注：注：列表或画图时，要注意不能遗漏任何一种等可能的结果，也不能重复列举 游戏公平是否公平游戏公平是否公平：看游戏双方获胜的机会是否相等. 3.3.用频率估计概率：用频率估计概率：当试验次数足够大时,频率将稳定在一个常数附近，此时可以用这个稳 定的数值估计事件发生的概率. 几何部分几何部分 一三角形一三角形 1.1.三角形的面积公式：三角形的面积公式： 1 ah（ （a 是三角形的底，h 是底所对应的高）

21、 2 111 S acsin B bcsin AabsinC( (其中，三个角为A，B，C，对边分别为 222 S a，b，c) ) 1 水平宽铅垂高 2 S hl（l为高所在边的中位线）为高所在边的中位线） S S p(pa)(pb)(pc)（海伦公式）【（海伦公式）【其中，三个角为A，B，C，对边分 abc 】 2 别为 a，b，c，p S abc ( (其中，其中，R R 是外接圆半径是外接圆半径) ) 4R 注：边长为注：边长为 a a 的等边三角形的面积的等边三角形的面积S 3 2a 4 2.2.三角形的四心：三角形的四心： （1 1）重心：三角形三条中线的交点叫做三角形重心）重心：

22、三角形三条中线的交点叫做三角形重心. . 性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2 2：1 1 重心和三角形重心和三角形 3 3 个顶点组成的个顶点组成的 3 3 个三角形面积相等个三角形面积相等. . 8 (2)(2)外心外心 三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心. 过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心即三角形外心， 外心到三顶点距离 相等. 这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形有且只有一个外接圆. (3)(3)内心内心 三角形内心为三角形三条内角平分线的交点. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内

23、切圆， 内切圆的圆心即是三角形内心， 内心到三角 形三边距离相等.这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形有且只有一个内切圆. （4 4）垂心）垂心 三角形三边上的三条高或其延长线交于一点，称为三角形垂心. 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角的顶点； 钝角三角形的垂心在三角 形外.三角形只有一个垂心. （5 5）直角三角形）直角三角形 性质 1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.若BAC=90，则 AB+AC=BC（勾 股定理) 性质 2:在直角三角形中，两个锐角互余.若BAC=90，则B+C=90 性质 3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心

24、位于斜边的 中点，外接圆半径R c ）. 2 性质 4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.(等积法) 性质 5:如图，RtABC 中，BAC=90，AD 是斜边 BC 上的高，则有射影定理如下： （1）AD=BDDC；（2）AB=BDBC；（3）AC=CDBC 性质 6:在直角三角形中， 如果有一个锐角等于 30， 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30. （5 5）三角形全等证明方法：）三角形全等证明方法： 9 一般三角形：SSS、SAS、ASA、AAS； Rt 三角形：SSS、SAS、ASA、

25、AAS、HL （6 6）三角形相似）三角形相似 相似三角形的判定方法: 一般三角形一般三角形直角三角形直角三角形 基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所 截得的三角形与原三角形相似. 一个锐角对应相等;两角对应相等;（AA） 两边对应成比例,且夹角相等;（SAS） 两条边对应成比例: 三边对应成比例.(SSS)a.两直角边对应成比例; b.斜边和一直角边对应成比例.(HL) 黄金分割：黄金分割：如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果 ACBC ,那么称线段 AB 被 ABAC 点 C 黄金分割,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,AC

26、 与 AB 的比叫做黄金比. AC : AB 5 1 0.618:1 2 相似三角形的性质相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等； 相似三角形的对应边成比例； 相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； 相似三角形的周长比等于相似比； 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 全等三角形是相似三角的特例全等三角形是相似三角的特例, ,这时相似比等于这时相似比等于 1 1. 【注意注意: :证两个相似三角形,与证两个 全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.】 基本类型基本类型 （7 7）比例的基本性质）比例的基本性质 比例的基本性质是 ac ad bc

27、(a、b、c、d都不为零). bd 将其进行变形，可以得到如下比例式： abbdcd ； ； cdacab acabcd 合比性质：合比性质：如果 ，那么 ； bdbd 1 0 等比性质：等比性质：如果 acemace.ma .(bd f .n 0)，那么 ； bdfnbd f .nb 【如果 acema-c-e-.-ma .(b-d - f -.-n 0)，那么 】 bdfnb-d - f -.-nb （8）平行线分线段成比例 平行线分线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图：虽然图（1）和图(2)是两种形式，但是结论是相同的. 用数学表达式表示为： 上上

28、上上ABDEABDEBCEF (简记为：)；(简记为：)；(简记为： 下下全全BCEFACDFACDF 左左左下下ABBCAC )；(简记为： 上下全) 全全DEEFDF右 上 右 下 右 全 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. （9 9）位似图形）位似图形 定义：定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行，像这 样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 性质性质 a.位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上， 它们到位似中心的距离之比等于相似比； b.位似图形对应线段的比等于相似比； c.

29、位似图形的对应角都相等； d.位似图形对应点连线的交点是位似中心； e.位似图形面积的比等于相似比的平方； f.位似图形高、周长的比都等于相似比； g.位似图形对应边互相平行或在同一直线上. 给出一个图形和位似中心，在位似中心的两侧各有一个符合要求的图形，最好做两个. 1 1 例如：如何把三角形例如：如何把三角形 ABCABC 放大为原来的放大为原来的 2 2 倍倍? ? 二三角函数三角函数 1.1.正弦值（正弦值（sinsin）= = 对边邻边对边 余弦值（余弦值（coscos）= =正切值（正切值（tantan）= = 斜边斜边邻边 【坡度或坡比即坡角的正切值】 2.2.特殊角的三角函数值

30、表特殊角的三角函数值表 名称名称 sinsin coscos tantan 0 0 0 1 0 3030454560609090 1 0 不存在 1 2 3 2 3 3 2 2 3 2 2 2 1 1 2 3 3.3.图形记忆法：图形记忆法： 三四边形三四边形 （1 1）平行四边形的对角线分成的四个三角形面积相等；）平行四边形的对角线分成的四个三角形面积相等； （2 2）对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半；）对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半； （3 3）一般平行四边形与特殊平行四边形的关系：）一般平行四边形与特殊平行四边形的关系： 平行四边形+一个角是直角=矩形 平行四边形+对角线相等=矩形 平行四边形+一组邻边相等=菱形 平行四边形+对角线互相垂直=菱形 平行四边形+一组邻边相等+一个角等于 90=正方形 1 2 平行四边形+对角线