中职数学-三角函数教案

1、三角函数三角函数 一、任意角一、任意角 1.1. 角的概念的推广角的概念的推广 “旋转”形成角 B O “正角”与“负角”“0 角” A 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角， 把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负 角，如图，以 OA 为始边的角 210， 150， 660。 660 0 210 0 -150 0 特别地，当一条射线没有作任何旋转时， 我们也认为这时形成了一个角， 并把这个角叫 做零角。记法：角或 可以简记成。 2.2. “象限角”“象限角” 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象 限， 我们就说这个角是第几象限的角 （角的终边落在坐标轴

2、上， 则此角不属于任何一个象限） 3.3. 终边相同的角终边相同的角 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合。S | k 360 ,k Z 二、弧度制二、弧度制 1.1. 定义：定义： 长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1 弧度的角它的单位是 rad， 读做弧度， 这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制 说明： （1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角的弧度数的绝对值公式： 2.2. 角度制与弧度制的换算：角度制与弧度制的换算： l （l 为弧长， r 为半径） r 3602 rad 180 rad 1 180 rad 0.01745rad 180 1

3、rad 57.30 57 18 3.3. 两个公式两个公式 1）弧长公式：l r 由公式： lnr 简单l r比公式l r180 1 lR 其中l是扇形弧长，R是圆的半径 2 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 S 4.4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 弧度 角度 弧度 0 0 30 /6 45 /4 60 /3 90 /2 120135150180 2 /33 /45 /6 210225240270300315330360 11 7 /65 /44 /33 /25 /37 /4 /6 2 5.

4、 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与 实数的集合之间建立一种一一对应的关系 正角 零角 负角 正实数 零 负实数 任意角的集合实数集 R 三、任意角三角函数的定义三、任意角三角函数的定义 1. 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x，y） 则 P 与原点的距离r x y 22 x2 y2 0 (x,y) r yy 叫做的正弦记作：sin rr xx （2）把比值叫做的余弦记作： cos rr yy （3）把比值叫做的正切记作： tan xx 上述三个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上 （1）把比值 时，即 k

5、 2 (k Z)时，终边上任意一点P的横坐标x都为 0，所以 tan无意义； 三角函数。它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数. 三角函数值的定义域：三角函数值的定义域： sin y R r x cos R r tan y | k,k Z 2x 2.2. 三角函数的符号三角函数的符号 sin 为正全正 costan 为正为正 3.3. 终边相同的角的同一三角函数值相等终边相同的角的同一三角函数值相等 例如 390和330都与 30终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值 相同，即 sin390sin30 cos390cos30 sin（330）sin30cos（330）cos30

6、诱导公式一（其中诱导公式一（其中k Z Z）: :用弧度制可写成用弧度制可写成 sin( k 360) sinsin( 2k) sin cos( k 360) coscos( 2k) cos tan( k 360) tantan( 2k) tan 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为02间角的三角函数值问 题。 4.4. 三角函数的集合表示：三角函数的集合表示： yy sin y MP r1 cos tan y 1P T xx x OM r1 1 OM A1 x 1 yMPAT AT xOMOA 例例 1 1. .在 0 到 360 度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是

7、哪个象限的角 (1)120(2)640(3)95012 例例 2.2. 写出终边在写出终边在 y y 轴上的角的集合（用轴上的角的集合（用 0 0 到到 360360 度的角表示）度的角表示） 例例 3.3. 用集合的形式表示象限角 第一象限的角表示为|k3600A0 且且 A A 1 1，00） 的图象的图象 （一）函数图象的三种变换（一）函数图象的三种变换 1. 振幅变换 y=Asinx，xR（A0 且 A1）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐 标变为原来的 A 倍而得到。A 称为振幅（物体振动时离开平衡位置的最大距离） 。 2. 周期变换:函数 y=sin x，xR（ 0 且 1）

8、的图象，可看作把正弦曲线上所有点的 横坐标变到原来的 1 倍（纵坐标不变） 。 决定了函数的周期。 3. 相位变换: 函数 ysin（x） ，xR R（其中0）的图象，可以看作把正弦曲线上 所有点向左（当0 时）或向右（当0 时）平行移动个单位长度而得到。 例 1. 比较tan 例 2. 求函数y tan3x 1317 与tan的大小 45 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性 3 巩固练习巩固练习 1. 判断正误 yAsin x 的最大值是 A，最小值是A yAsin x 的周期是 2 y-3sin4x 的振幅是 3，最大值为 3，最小值是-3 2. 函数 ytan（ax ） （

9、a0）的最小正周期为（） 6 A. 22 B.C.D. a| a | a |a 3. 已知函数 yAsin（ x） （A0， 0，02 图象的一个最高点是（2， 3） ，由这个最高点到相邻最低点的图象与x 轴交于点（6，0） ，试求函数的解析式。 4. 如图，某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ x+ ）+B。 （1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式。 八、两角和与差的余弦八、两角和与差的余弦 设向量a OPsin) 1 (cos， b OP 2 (cos， sin) 所以a b | a | b | cos( ) cos( ) 又a b

10、coscossinsin 所以cos( ) coscossinsin 以代得：cos( ) coscossinsin 两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式: : cos()coscossinsincos()coscossinsin 九、两角和与差的正弦两角和与差的正弦 sin(+)cos (+)cos() 22 cos()cos+sin()sin 22 sincos+cossin 即：sin( ) sincos cossin S（+） 以代得：sin( ) sincoscossin S（） 两角和与差的正弦公式两角和与差的正弦公式 sin( ) sin cos cos sin sin( )

11、 sin cos cos sin 十、两角和与差的正切十、两角和与差的正切 tan(+)公式的推导 cos (+)0 tan(+) sin()sincoscossin cos()coscossinsin 当 coscos0 时, 分子分母同时除以 coscos得： tan() tan tan 1 tantan tan tan 1 tantan 以代得：tan() 其中R,R,都不等于k 两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式 2 ,k Z tan() tan tantan tan tan() 1 tantan1 tantan 小结：两角和与差的正、余弦、正切公式小结：两角和与差的正、余弦、正

12、切公式 cos() coscossinsincos()coscossinsin sin()sincoscossinsin()sincoscossin tan() tan tantan tan tan() 1 tantan1 tantan 例例 1 1. 计算 cos105cos15cos 33 cossinsin 101055 例例 2.2. 已知 sin(+) 巩固练习巩固练习 tan22 ,sin()求的值 tan35 1. 已知x 0, ，求函数y cos( x) cos( x)的值域 2 1212 5 2cos10sin 20 2. 求的值 cos20 十一、二倍角公式的推导十一、二倍

13、角公式的推导 在公式(S )，(C )，(T )中，当时，得到相应的一组公式： sin2 2sincos；(S 2) cos2 cos tan2 2sin2 ；(C 2) 2tan ；(T2) 21 tan 因为sin2 cos21，所以公式(C 2 )可以变形为 22 )1或c o s 21 2s in(C 2 cos2 2cos )，(T 2) 统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式。公式(S 2) ，(C 2 )，(C 2 二倍角公式二倍角公式 sin2 2sincos cos2 cos sin 2cos 11 2sin tan2 注意： （1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数

14、来表达二倍角的三角函数，它适用于二 倍角与单角的三角函数之间的互化问题。 （2）二倍角公式为仅限于2是的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的。 （3）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想 相应角的公式。 （4）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角降次，降角升次） （5）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 2222 2tan 1 tan2 cos2 1 cos2 , 2 sin2 1cos2 这两个形式今后常用。 2 几个三角恒等式几个三角恒等式 1 1、积化和差公式的推导、积化和差公式的推导 1 sin( + ) + sin( ) 2 1 sin(

15、+ ) sin( ) 2cossin cossin sin( + ) sin( ) 2 1 cos( + ) + cos( ) 2coscos coscos cos( + ) + cos( ) 2 1 cos( + ) cos( ) 2sinsin sinsin cos( + ) cos( ) 2 sin( + ) + sin( ) 2sincos sincos 2 2、和差化积公式的推导、和差化积公式的推导 若令 + ， ，则 ， 代入得： 22 11 sincossin()sin()(sinsin) 22222222 sinsin 2sin 2 cos 2 s in s in 2c o s

16、 2 s in 2 c o s c o s 2c o s 2 c o s 2 c o s c o s 2s in 2 s in 2 例例 1. 1. 已知sin 5 13 , ( 2 ,)，求 sin2，cos2，tan2的值。 例例 2 2. 求 sin10sin30sin50sin70的值。 例例 3. 3. 若 270 360，则 1 2 11 22 1 2 cos2 等于 （ A. sin 2 B. cos 2 C. sin 2 D. cos 2 ） 巩固练习巩固练习 1、不查表，求下列各式的值 （1）(sin 5555 cos)(sincos) 121212 （2）cos4 2 si

17、n4 2 （3） 11 1 tan 1 tan （4）1 2cos2cos2 2、求值：cos280sin250sin190 3、化简：cos20cos40cos80 4、化简下列各式： （可直接写答案） （1）4sin 4 cos 4 （2） tan40 1 tan240 （3）2sin2157.5 1 （4）sin 5 12 sin 12 12 cos320 课后作业课后作业 一、选择题 1、sin1050的值为（） A、2 3 B、2 3 C、 6 26 2 D、 44 2、若tan x 0, cos x 0，则 2x在（） A、第一、二象限 B、第三、四象限 C、第二、三象限 D、第二

18、、四象限 3、在ABC中，已知a 00 6,b 3 2, A 300则 B 为（） 0000 A45 B、60 C、60 或 120 D 45 或 135 4、已知,为锐角，sin 000 510 sin 则为（） 510 00 A、45 B、135 C、225 D、45 或 135 5、已知a 8,b 6且 C 30则S ABC 为（） A、48 0 B、24C、16 3D、24 3 6、在ABC中，acosBbcosA 0则这个三角形为（） A、直角三角形 B、锐角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形、 7、下列与sin(x 45 )相等的是（） A、sin(45 x) B、sin(x 135 ) C、cos(135 x) D、sin(135 x) 8、在ABC中，若a2 b2 c2则ABC一定为（） A直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定 10、若 cos x sin x 0000 0 2 sin(x )，则tan 为（） A、 1B、C、 二、填空题