2012年全国高中数学联赛天津预赛

1、2012年全国高中数学联赛天津市预赛一选择题（每小题6分，共30分）1. 数列的前项和，则（ ）（A）（B）（C）（D）2. 若，则的值是（ ）（A）正数（B）零（C）负数（D）以上皆有可能3. 如果中，为锐角，且，则对的形状描述最准确的是（ ）（A）直角三角形（B）等腰三角形（C）等腰直角三角形（D）以上都不对4. 设椭圆与轴交于两点，已知对于椭圆上不同于的任意一点，直线与的斜率之积均为，则椭圆的离心率为（ ）（A）（B）（C）（D）5. 在正四面体中，、分别是和的中点，则直线和所成角的余弦值是（ ）（A）（B）（C）（D）6. 在半径为的球面上有不共面的四个点、，且，则等于（ ）（A）（B

2、）（C）（D）二填空题（每小题9分，共54分）7. 函数的图象与轴围成的区域的面积是_8. 已知是边长为的正六边形，一条抛物线经过、四点，则该抛物线的焦点到准线的距离是_9. 如果复数满足，且，其中、为实数，则的最大值为_10. 函数的最小值是_11. 极限_12. 如果对一切正实数、不等式都成立，则实数的取值范围是_三解答题（每小题20分，共60分）13. 如果双曲线的两个焦点坐标分别为和，双曲线的一条切线交轴于，且斜率为.（1）求双曲线的方程；（2）设该切线与双曲线的的切点为，求证：.14. 电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字或.将输出的前个数字之和被整除的概率记为.证明：（1）；（2）.

3、15. 已知三次函数（其中）满足：当时，求、的所有可能取值.参考答案：1、 C解析：当时，因此，2、 B解析：设则故原式3、A解析：若则故矛盾同理，时，也矛盾，故4、D解析：不妨设则的斜率为，的斜率为，故故椭圆方程为，5、C解析：不妨设正四面体的棱长为1.则，而，故，又，故AM与BN所成角余弦值为6、C解析：构造一个长方体，使得四面体ABCD的六条棱分别是长方体某个面的对角线其外接球直径为长方体的体对角线故7、解析：作出四条直线，则所给函数的图象落在上述四条直线所围成的长方形内部，且关于轴对称在第一象限内的部分，函数图象关于点成中心对称，因此，这部分函数图象与轴、轴所围成区域的面积等于相应长方

4、形面积的一半从而，整个函数图象与轴围成的区域面积为前述长方形面积的一半即为8、解析：建立平面坐标系，使得则可求得该抛物线方程为故抛物线焦点到准线的距离为9、解析：，故当时，10、25.解析：注意到，且等号当时成立同理，且等号分别当时成立因此，且当时等号成立故所求最小值为25.11、解析：12、解析：依题意知对一切正实数成立则不等式的左端比小于或等于右端的最小值3令故取，得；取，得当时，易证对任意的均有成立因此，三、13.解法一设双曲线方程为由于其与直线，即相切，则联立方程组只有唯一一组解故关于的方程有两个相等的实根其判别式，化简得：又则故，双曲线方程为可解得切点因此直线的斜率为，其中，是切线的

5、斜率又点与的横坐标相同，则轴故解法2 设双曲线方程为由，设点则过的切线方程为，与所给的切线方程比较知：代入双曲线方程得：，可解得，双曲线方程为从而，切点坐标为：余下同解法一14、证法一：这n个数字共有种可能情形设其中数字和被3整除的有种则不被3整除的有种对于各数字的情形，若其和被3整除，则前n个数字之和不被3整除；反之，对于前n个数字之和不被3整除的每种情形，有唯一的第个数字可使前个数字之和被3整除因此，这表明，概率满足递推关系式所以证法二：若输出的前n个数字之和被3整除的概率为，则不被3整除的概率为要使输出的前个数字之和被3整除，则必须使前n个数字之和不被3整除，且此时第个数字也随之确定所以，由条件概率的公式得，余下同证法一证法三：n个数字共有种可能情形下面计算其和被3整除的种数，这等于多项式的展开式种等项的系数之和，即其中，为三次单位根，是