2014届高考数学一轮复习 8.5椭圆讲解与练习 理 新人教A版

1、 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质2.了解圆锥曲线的简单应用3.理解数形结合的思想.1.椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点考查内容，三种题型均有可能出现，如2012年山东T10等2.直线与椭圆位置关系问题一直是高考的重点，多以解答题形式考查，难度相对较大，如2012年陕西T19等.归纳知识整合1椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆在平面内；与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点(3)焦距：两焦点间的距离探究1.在椭圆的定义中，若2a|F1F2|或2a|F1F2|，则动点的轨迹如何？提示：

2、当2a|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0,0)顶点A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e，e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2探究2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率e越接近1，a与c就越接近，从而b就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆自测牛刀小试1椭圆1的离心率为()A.B.C.

3、D.解析：选Da216，b28，c28，e.2已知F1，F2是椭圆1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A6 B5C4 D3解析：选A根据椭圆定义，知AF1B的周长为4a16，故所求的第三边的长度为16106.3椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A. B.C2 D4解析：选A由题意知a2，b21，且a2b，则4，得m.4若椭圆1过点(2，)，则其焦距为()A2 B2C4 D4解析：选C把点(2，)的坐标代入椭圆方程得m24，所以c216412，所以c2，故焦距为2c4.5设F1、F2分别是椭圆1的左

4、、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为_解析：由题意知|OM|PF2|3，则|PF2|6.故|PF1|2564.答案：4椭圆的定义、标准方程例1(1)已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC是周长是()A2B6C4 D12(2)(2012山东高考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1自主解答(1)根据椭圆定义，ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4.(2)由离

5、心率为得，a24b2，排除选项B，双曲线的渐近线方程为yx，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为(2,2)，代入选项A、C、D，知选项D正确答案(1)C(2)D用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程1(ab0)或1(ab0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2ny

6、21(m0，n0).1已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_解析：设椭圆方程为1(ab0)，根据椭圆定义2a12，即a6，又，得c3，故b2a2c236279，故所求椭圆方程为1.答案：12已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且12.若PF1F2的面积为9，则b_.解析：设椭圆的焦点坐标为(c,0)根据椭圆定义和PF1F2是一个面积等于9的直角三角形，有式两端平方并把、两式代入可得4c2364a2，即a2c29，即b29，故b3.答案：3椭圆的几何性质及应用例2(2012安徽高考)如图

7、，F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值自主解答(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以e.(2)法一：a24c2，b23c2，直线AB的方程可为y(xc)将其代入椭圆方程3x24y212c2，得B.所以|AB|c.由SAF1B|AF1|AB|sin F1ABaca240，解得a10，b5.法二：设|AB|t.因为|AF2|a，所以|BF2|ta.由椭圆定义|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at.再由余弦定理(3at)2a2t

8、22atcos 60可得，ta.由SAF1Baaa240知，a10，b5.椭圆离心率的求法求椭圆的离心率(或范围)时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式(或不等式)，利用a2b2c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围3椭圆1(ab0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A.B.C. D.解析：选B根据已知a2b2a2(ac)2，即c2aca20，即e2e10，解得e，故所求的椭圆的离心率为.4椭圆1(a为定值，且a)的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_解析：

9、设椭圆右焦点为F，由图及椭圆定义知，|AF|AF|BF|BF|2a.又FAB的周长为|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a，当且仅当AB过右焦点F时等号成立，此时4a12，则a3，故椭圆方程为1, 所以c2，所以e.答案：直线与椭圆的综合例3如图，椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分(1)求椭圆C的方程；(2)求ABP面积取最大值时直线l的方程自主解答(1)设椭圆左焦点为F(c,0)，则由题意得解得所以椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与

10、x轴垂直时，直线AB的方程为x0，与不过原点的条件不符，舍去故可设直线AB的方程为ykxm(m0)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx4m2120，则64k2m24(34k2)(4m212)0，所以线段AB的中点M.因为M在直线OP：yx上，所以.得m0(舍去)或k.此时方程为3x23mxm230，则3(12m2)0，所以|AB|x1x2|.设点P到直线AB距离为d，则d.设ABP的面积为S，则S|AB|d.其中m(2，0)(0,2)令u(m)(12m2)(m4)2，m2，2 ，u(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1)(m1)所以当且仅当m1时，u(m)取到最大值故当且仅当m1

11、时，S取到最大值综上，所求直线l方程为3x2y220.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式中点弦或弦的中点点差法5(2013洛阳模拟)已知椭圆1(ab0)的离心率为，短轴的一个端点为M(0,1)，直线l：ykx与椭圆相交于不同的两点A，B.(1)若|AB|，求k的值；(2)求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.解：(1)由题意知，b1.由a2b2c2可得cb1，a，椭圆的方程为y21.由得(2k21)x2kx0.k24(2k21)16k20恒成立设A(x1，y1)，B(x2，x2)，则x1x2，x1x2，|AB|x1x2|，化简得23k413

12、k2100，即(k21)(23k210)0，解得k1.(2)证明：(x1，y11)，(x2，y21)，x1x2(y11)(y21)(1k2)x1x2k(x1x2)0.不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.1个规律椭圆焦点位置与x2、y2系数之间的关系给出椭圆方程1时，椭圆的焦点在x轴上mn0；椭圆的焦点在y轴上0mn.1种思想数形结合思想在椭圆几何性质中的运用求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系2种方法求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，

13、确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程3种技巧与椭圆性质、方程相关的三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为ac，最小距离为ac.(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2a2c2就可求得e(0e0”是“方程mx2ny21的曲线是椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B因为当m0，n

14、0，n0，mn0.2已知椭圆：1的焦距为4，则m等于()A4 B8C4或8 D以上均不对解析：选C由得2mb0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A. B.C. D.解析：选C根据题意直线PF2的倾斜角是，所以ac|PF2|F1F2|2c，解得e.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7若椭圆1(ab0)与曲线x2y2a2b2恒有公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是_解析：由题意知，以半焦距c为半径的圆与椭圆有公共点，故bc，所以b2c2，即a22c2，所以.又1，所以eb0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.

15、若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_解析：依题意得|F1F2|2|AF1|BF1|，即4c2(ac)(ac)a2c2，整理得5c2a2，得e.答案：9已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆C相交于A，B两点若3，则k_.解析：根据已知，可得a2c2，则b2c2，故椭圆方程为1，即3x212y24c20.设直线的方程为xmyc，代入椭圆方程得(3m212)y26mcyc20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则根据3，得(cx1，y1)3(x2c，y2)，由此得y13y2，根据韦达定理y1y2，y1y2，把y13y2代入

16、得，y2，3y，故9m2m24，故m2，从而k22，k.又k0，故k.答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程解：设两焦点为F1，F2，且|PF1|，|PF2|.由椭圆定义知2a|PF1|PF2|2，即a.由|PF1|PF2|知，|PF2|垂直焦点所在的对称轴，所以在RtPF2F1中，sinPF1F2.可求出PF1F2，2c|PF1|cos，从而b2a2c2.所以所求椭圆方程为1或1.11已知椭圆G：1(ab0)的离心率为，右焦点为(2，0)斜率为1

17、的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积解：(1)由已知得c2，解得a2，又b2a2c24.所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm.由得4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1b0)，右焦点为F2(c,0)因AB1B2是直角三角形，又|AB1|AB2|，故B1AB2为直角，因此|OA|OB2|，得b.结合c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2.由题

18、设条件SAB1B24，得b24，从而a25b220.因此所求椭圆的标准方程为1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为xmy2.代入椭圆方程得(m25)y24my160.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1y2，y1y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，得0，即16m2640，解得m2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x2y20和x2y20.1设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足120，则的值为_解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，|F1F2|2c，由题意得|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|22a2a.又120，PF1PF2.|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即2a2a4c2.222，即2，即2.答案：22已知F1，F2为椭圆1(0b10)的左、右焦点，P是椭圆上一点(1)求|PF1|PF2|的最大值；(2)若F1PF260且F