混合积,平面与直线的方程(课后修改版2).ppt

1、,几何与代数,主讲: 王小六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,关于评分,平时成绩5%+数学实验成绩5%+期末考试成绩90%,关于答疑,本周开始公共答疑时间是周二下午3-4 节课， 地点是教八400 ；如需联系本 人答疑，可在上课期间预约。,关于作业,88页22题： 学会通过将矩阵化为阶梯形矩阵求秩的方法，建议用行变换，虽然列变换也可以,88页23题： A,初等变换,1 -2 3k 0 2k-2 3k-3 0 0 -3k-3k+6,:=B,r(A) = r(B),关于B的秩，分 |B| 0 和 |B| =0 两种情况讨论,88页25题： n阶方阵A可逆,存在B使得AB=BA= E,存在B

2、使得AB =E (BA= E),|A| 0,Ax = 0 只有零解(Ax=b有唯一解),r(A) = n,A E (等价记号最好用),A可以写成若干个初等矩阵的乘积,(最好用),88页27题： X(A-2E)=B,A-2E B,初等列变换,E B(A-2E)-1,或者将方程组化为 (A-2E)TXT=BT,( (A-2E)T, BT ),初等行变换,( E, XT ),注意答案有误！,注意，不要轻易 X-1,X=B(A-2E)-1,88页30题： 由 A2=E 得不到 A=E ，例如 P-1(i, j) = P(i, j),88页31题： (1) r(A) =n, 容易推得 |A*| 0 或A

3、*可逆. 自然r(A*) =n. (2) r(A) =n-1, 易知A*至少有一个元素不为零，所以 r(A*)0. 又因为 r(A) + r(A*) r(AA*) + n, 且AA*= |A|E =0，所以 r(A*) 1. 最终可得r(A*) = 1. (3) A*=0,问：如果两个同阶方阵是 等价的，那么它们的伴随 矩阵是否等价？反之呢,问：方阵A经过初等变换变成B，那么 A* 和 B* 有什么关系呢？,另外在作业中易犯的一个错误： 由 r(An n) = n-1， 假设A有一个 零行.,事实上，只能得到A的等价标准形有一个零行.,回 顾,向量积（外积，叉积）,数量积（内积，点积）,得到的

4、是一个数,得到的是一个向量,例. 已知向量, , 有共 同起点但不共面, 求 以它们为棱的平行 六面体的体积V.,V = (),S = |,h = (),第三章几何空间,更准确的说，应该是 V =| () |,3.3 向量的向量积和混合积,二. 三个向量的混合积,1. 定义3.5：, , 的混合积: () , 记为 (, , ).,2. 几何意义.,三个不共面向量, , 混合积() 的绝对值等于以它们为相邻棱所作的 平行六面体的体积V. 当, , 符合右 (或左)手法则时() = V (或V).,第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,三个向量, , 共面的充分必要条件 是它们的混合积(

5、) = 0.,(2) 轮换对称性.,() = ( ) = () .,3. 注: (1),第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,4. 性质.,(1) (, , ) = 0.,(2) (, , ) = (, , ).,(3) (1+2, , ) = (1, , ) + (2, , ).,(4) (m, , ) = m(, , ), 其中m为一实数.,(5) (, , +m) = (, , ), 其中m为一实数.,注: 结合轮换对称性,由这些性质还可派生出更 多类似的性质. 如(, , ) = 0; (, 1+2, ) = (, 1, ) + (, 2, ); (, m, ) = (, ,

6、m) = m(, , ); (, , +m) = (, , ), 等等.,第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,例.在空间中任取三个不共面的, , 后, 空间中任一向量 都可以唯一地表示 成, , 的线性组合, 即存在唯一 的实数组(x, y, z), 使得 = x + y + z. 求x, y, z的值.,(, , ) = (x + y + z, , ),= (x, , )+ (y , , )+ (z, , ),= x(, , ).,第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,解,5. 用向量的坐标计算向量的混合积.,设 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3)

7、, = (c1, c2, c3),第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,i j k = a1 a2 a3 b1 b2 b3,5. 用向量的坐标计算向量的混合积.,设 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3),则 = (a2b3a3b2), (a3b1a1b3), (a1b2a2b1),() = (a2b3a3b2)c1+(a3b1a1b3)c2+(a1b2a2b1)c3,= a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2a3b2c1a1b3c2a2b1c3,a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3,第三章几何空间,3.3 向量的

8、向量积和混合积,5. 用向量的坐标计算向量的混合积.,设 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3),() = (a2b3a3b2)c1+(a3b1a1b3)c2+(a1b2a2b1)c3,= a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2a3b2c1a1b3c2a2b1c3,于是采用行列式的记号, 我们有,() =,第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,则 = (a2b3a3b2), (a3b1a1b3), (a1b2a2b1),三个向量 =(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3), = (c1, c2, c3)共面的充分必要

9、条件是,三个向量, , 共面的充分必要条件 是它们的混合积() = 0.,由注(1)：,第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,例.由行列式的性质证明混合积的性质.,以及轮换对称性,() = ( ) = () .,第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,下面证明轮换对称性,设 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3), 则,() = ( ) = () .,() =,( ) =,( )=,第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,a1 a2 a3 b1 b2 b3 , c1 c2 c3,答案：,其实也可以转化为方程组的问题，利用

10、Cramer法则求解,第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,例.在空间中任取三个不共面的, , 后, 空间中任一向量 都可以唯一地表示 成, , 的线性组合, 即存在唯一 的实数组(x, y, z), 使得 = x + y + z. 求x, y, z的值.,设 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3), = (d1, d2, d3), 则 = x + y + z 等价于,a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2 . a3x + b3 y + c3 z = d3,例 教材104页例3

11、.9,设四面体P-ABC的顶点坐标依次为 P(p1, p2 ,p3 )， A(a1 ,a2 ,a3 )， B(b1 ,b2 ,b3 )， C(c1 ,c2 ,c3 ). 证明该四面体的体积V = |D|/6, 其中,第三章几何空间,3.3 向量的向量积和混合积,3.4 平面和直线,一. 平面的方程, P,设平面过点P0(x0, y0, z0)且 与非零向量n = (A, B, C)垂直, 则点P(x,y,z)在平面上的充要条件是,n P0P = 0.,3.4 平面和直线,一. 平面的方程,1. 点法式方程., P,过点P0(x0, y0, z0)且与非零 向量n = (A, B, C)垂直的平

12、面的方程为,A(xx0)+B(yy0)+C(zz0) = 0.,一. 平面的方程,1. 点法式方程., P,过点P0(x0, y0, z0)且与非零 向量n = (A, B, C)垂直的平面的方程为,A(xx0)+B(yy0)+C(zz0) = 0.,2. 一般方程.,Ax+By+Cz+D = 0.,总结 平面方程是三元一次方程, 而三元一 次方程必然表示一个平面.,3.4 平面和直线,3. 在特殊位置的平面.,(1)过原点的平面: Ax+By+Cz = 0.,(2)平行于x轴的平面: By+Cz+D = 0.,平行于y轴的平面: Ax+Cz+D = 0.,平行于z轴的平面: Ax+By+D

13、= 0.,(3)平行于xoy面的平面: Cz+D = 0.,平行于yoz面的平面: Ax+D = 0.,平行于xoz面的平面: By+D = 0.,第三章几何空间,3.4 平面和直线,包括经 过x轴,给定不共线的三点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3), 一定可以确定一个平面，如何求此平面的一般方程？,Ax+By+Cz+D = 0.,问：将三点坐标代入，只能得到三个方程， 是否能够确定四个未知数 A,B,C,D?,分析：联想方程组求解！,(1)具体求解时， 可利用点法式方程，,法向量可以由 P1P2 P2P3 来确定。,(2)或者利用向量

14、P1P , P1P2 , P1P3 共面的充要条件： ( P1P , P1P2 , P1P3 ) = 0,第三章几何空间,3.4 平面和直线,(2)或者利用向量P1P , P1P2 , P1P3 共面的充要条件： ( P1P , P1P2 , P1P3 ) = 0,第三章几何空间,3.4 平面和直线,三点式方程.,经过不共线的三点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3)的平面的方程为,5. 截距式方程.,第三章几何空间,3.4 平面和直线,例. 求通过点P0(1,2,3), 且 (1)通过x轴; (2)平行于yoz平面 的平面方程, 并且分别

15、作出它们的图形.,注: 确定A, B, C, D的值;,作图时应标注一些特殊点, 如与坐标轴 或坐标平面的交点.,第三章几何空间,3.4 平面和直线,二. 空间直线的方程,P(x,y,z),求过点P0(x0, y0, z0)且与非零 向量s = (l, m, n)平行的直 线L的方程.,第三章几何空间,3.4 平面和直线,P0P 与 L 平行,即 (x-x0 , y-y0 ,x-x0 ) = t (l, m, n),存在实数 t 使得 P0P = t s,二. 空间直线的方程,1. 参数方程.,P,过点P0(x0, y0, z0)且与非零 向量s = (l, m, n)平行的直 线L的参数方程

16、为,x = x0+lt, y = y0+mt, z = z0+nt, t R.,2. 标准(对称)方程. ( lmn 0 ),第三章几何空间,3.4 平面和直线,注： 标准(对称)方程. ( lmn 0 ),等价于,=,(一般方程),第三章几何空间,3.4 平面和直线,若 l=0, mn 0, 则L的参数方程为,x = x0, y = y0+mt, z = z0+nt.,或,x,y,z,O,L,x0,若 l=m=0, n 0, 则L的参数方程为,x = x0, y = y0, z = z0+nt.,或,x = x0, y = y0.,3. 一般方程.,A1x+B1y+C1z+D1 = 0,A2

17、x+B2y+C2z+D2 = 0,第三章几何空间,3.4 平面和直线,与该直线平行的向量(方向向量)是什么？,如何由一般方程得到标准方程？ 参见教材108页例3.12 x+2y-z-3=0 x-2y+2z+1=0,4. 两点式方程.,过两点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2)的直线L的 方程为,第三章几何空间,3.4 平面和直线,例. 求直线与平面的交点坐标。参见教材108页例3.11,法一：将直线的参数表达式代入平面方程，求出参数 t 的值；,法二：联立直线的一般方程和平面的方程，得到一个方程组，求解方程组的根（根存在唯一当且仅当交点存在唯一）,注意：所谓交点，就是同

18、时满足直线 方程和平面方程的点,例. 考察三个平面的交点或交线情况。参见教材108页例3.13,注意：所谓交点或交线，就是同时满足 三个平面方程的点或由这些点组成的线,例. 求过点(7,6,5), 垂直于直线L0:,且平行于平面0: x+y+z+1=0的直线方程.,解:(法一)直线L0的方向向量s0可取为,= (9, 5, 1).,所求直线L的方向向量s可取为,= (4, 8, 4).,所求直线L的方程为,第三章几何空间,3.4 平面和直线,L0,0,例. 求过点(7,6,5), 垂直于直线L0:,且平行于平面0: x+y+z+1=0的直线方程.,解:(法二)直线L0的方向向量s0可取为,x 2y + z + 3 = 0,2x 3y 3z 9 = 0,= (9, 5, 1).,过点(7,6,5)且以s0为法向量的平面1为,9(x+7)+5(y6)+1(z5)=0, 即: 9x+5y+z+28=0.,过点(7,6