《数列通项公式求法》PPT课件

1、数列通项公式的求法,26.数列通项公式求法1,课时序号：36,重点: 1、理解数列通项公式的意义,掌握等差、等比数列的通项公式的求法； 2、根据数列的递推公式构造等差、等比数列求数列的通项公式. 3、掌握数列通项公式的常用方法:公式法、累加法、累乘法 、辅助数列法等等 难点： 1、根据数列的递推公式构造等差、等比数列求数列的通项公式. 2、掌握数列通项公式的常用方法:公式法、累加法、累乘法 、迭代法 关键： 1、理解数列通项公式的意义,掌握等差、等比数列的通项公式的求法 2、掌握数列通项公式的常用方法:公式法、累加法、累乘法 、迭代法,2.公式法当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等

2、比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。 3.S n法,1.观察法,递推公式的概念,在数列 中，已知数列的首项 （或者是前几项），如果数列中任意一项 与它的前一项 （或者是前几项）之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做数列 的递推公式。,例如：,都是递推公式,由这些递推公式可以求出数列的每一项。,问题1 已知数列an中,a1=1,an=an-1+n,求数列an的通项公式。,解：an =an-1 + n an-1=an-2 +（n-1） a3= a2 + 3 a2= a1 + 2 各式相加得，an=a1+n+(n-1)+3+2 =1+ n+(n-1)+3+2 = n(n+1)/2 当n

3、=1时，a1=(12)/2=1, 故，an= n(n+1)/2,变形 已知数列an中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数列an的通项公式。,解： an - an-1 = 2n-1 - (n-1) an-1 - an-2 = 2n-2 - (n-2) a3 - a2 = 22 - 2 a2 - a1 = 21 - 1 各式相加得，an=a1+ (2n-1+2n-2+22+21) -(n-1) +(n-2)+2+1 =1+( 2n-2)+ n(n-1)/2 = 2n + n(n-1)/2 1,当n=1时，a1=2+0-1=1,故，an= 2n + n(n-1)/2 - 1,（1）若f(n)为

4、常数,即：an+1-an=d,此时数列为等差数列，则an=a1+(n-1)d （2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下： 由 an+1=an+f(n)得：当n1时，有 an=an-1+ f(n-1) an-1 =an-2+ f(n-2) a3= a2 + f(2) a2 = a1 + f (1) 所以各式相加得an-a1 =f(n-1)+ f(n-2)+ f(2)+ f(1).,一般地，对于型如 an+1=an+f(n)的通项公式，只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。,4. 叠加法,也可用横式来写：,(也称累加法）,已知,a1=a， an+1=an+f(n),其中f(n)可以是

5、关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. 若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。,备 注：,本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出.,问题2,（1）当f(n)为常数,即： （其中q是不为0的数）, 此时,数列为等比数列，an=a1qn-1. （2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 由 得n1 时， ，,5.叠乘法,

6、对于型如：an+1=f(n)an 类的通项公式，当f(1)f(2)f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。,(也称累乘法、累积法）,问题3 已知数列an中，a1=3,an+1=2an+3,求数列的通项公式,解法1：由an+1=2an+3得 an+1+3=2（an+3） 所以an+3是以a1+3为首项，以2为公比的等比数列，所以:an+3=（ a1+3） 2n-1 故an=62n-1-3,解法2：因为an+1=2an+3，所以n1时， an=2an-1+3，两式相减，得：an+1 - an=2(an-an-1). 故an-an-1是以a2-a1=6为首项，以2为公比的等比数列. an-an-1=(a2-a1)2n-1=62n-1, an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ +(a2-a1)+a1 =6(2n-1-1)+3= 3(2n-1-1),（1）若c=1时，数列an为等差数列; （2）若d=0时，数列an为等比数列; （3）若c1且d0时，数列an为线性递推数列， 其通项可通过构造辅助数列来求.方法1：待定系数法 设an+1+m=c( an+m),得an+1=c an+(c-1)m, 与题设an+1=c an+d,比较系数得: (c-1)m=d, 所以有：m=d/(c