第四章关系和函数_函数.ppt

1、函 数,函数是特殊的关系。,4-8 函数,1）定义1 设f是集合XY的关系,若xdom(f),有唯一的y ran(f),使得f, 称f为函数, 若 f 亦可记作: y = f(x).,1、 函数的定义和性质,4-8 函数,2）定义2:函数f 满足：,且记 f(X)= f(x)| xX = y| f ,f,X,f (X)=ran fY,Y,dom f=X,(1)dom(f)=X. (2)ran(f)Y,称f为从X到Y的函数,记作f:XY.,例如 A= 1, 2, 3 , B= a, b, c, d f1= , , ? f2= , , ? f3= , , ?,例3 判别下列关系那些能构成函数 a)

2、 f1= | x1, x2 N,且 x1+x2 | y1, y2 R,且 y22 =y1 ? c) f3= | x1, x2 N,且 x2 为小于x1的素数个数 ?,1) 函数的定义域为整个X而非X的真子集(每个x均有象).,2) 每个x只能对应唯一的y, 即如果y=f(x) 且 z=f(x),则 y=z .,3) 不同的x可对应相同的y.,4) f(X)Y, 即Y的元素不一定有原象 .,定义2 设 f 和 g 为 AB的函数,若对所有的 xA, 有 f(x)=g(x),则称 f 和 g 相等,记作f=g。,由于函数是一种特殊的关系,故关系的一般性概念及结果均适用于函数.,设A和B是任二集合,

3、从A到B的全体函数的集合记作BA,2）函数的性质,例如 X=a, b, c , Y=0, 1, 从X到Y的函数为23 =8 个,f1=, ,f2=, ,f3=, ,f4=, ,f5=, ,f6=, ,f7=, ,f8=, ,若A和B为有限集,则BA中函数的个数为,|B|A|。,定义：设 f : XY 1) 如果 ranf =Y (即 f(X)=Y ),称f 为满射.,2) 若对x1,x2X, 当 x1x2 时,有f(x1) f(x2) 称f为单射。,3) f 既是满射又是单射,称f为双射(或一一对应).,注：f为满射, 则 | Y |=| f (X) | | X |,f 满射 yY, xX ,

4、使得 y =f(x),f为单射, 则 | X |= | f(X) | | Y |,f为双射, 则 | X |= | f(X) | = | Y |,2、 单射，满射，双射,例1：设,（1）证明 f 是单射,（2）证明 f 是满射,1）设 f: AB, g: BC,则关系的复合fog =|y(y=f(x)z=g(y)是AC函数,即f og yB,使得 y=f(x)且 z=g(y),f o g亦记作 z= (fog)(x) =g(f (x),3 复合函数,X=1,2,3,Y=p,q,Z=a,b, f= , , , g= , , 求 fog,例1,解 (1) (fog)(x)=gf(x)=g(x+2)

5、= (x+2)-2=x,R为实数集合, 对xR, 有 f(x)=x+2, g(x)= x-2, h(x)= 3x 求 fog, (fog)oh, fo(goh),fog= | xR ,(2) (fog)oh)(x)= hg(f(x)= h(x)=3x,(fog)oh = | xR ,f o(goh) = | xR ,(3) (fo(goh)(x),=(goh)(f(x)= (goh)(x+2),=h(g(x+2)= h(x+2)-2 )=h(x)=3x,例 2,2）定理 令fog是一个复合函数。 a) 若 f和 g是满射的,则 f og是满射的。 b) 若f和g是单射的,则 f og单射的。

6、c) 若 f和 g是双射的,则 fog 是双射的。,f -1= |x= ,定理 设 f: XY是一双射函数,那么f -1是 YX的双射函数.,4 逆函数,定义 设f: XY是一双射函数,称YX的双射函数f -1为f 的逆函数,记作f -1,又例 f: II , f= |y=x2 ,例如 A= 1, 2, 3 , B= a, b, c ,函数 f 的逆关系f -1还是函数吗？,f= , ;,f -1= , , ,f=, , ;,f -1= , , ,（2） 称IX=|xX为恒等函数.,（3） 单调函数.,（4） 特征函数.,（5） 自然映射.,3）几个定义 （1）函数f: XY称为常函数,如果存

7、在某个y0Y, 对每个xX, 都有 f (x)= y0. 即f (X)=y0.,定理4-2.3 设 f: XY, 则 f =f o IX = IY o f,定理4-2.4 如果函数f: XY有逆函数 f -1 : YX 则 f -1of= IX且 f o f-1= IY.,定理4-2.5 若 f: XY是双射,则 (f -1)-1=f.,定理4-2.6 若f: XY, g:YZ 均为双射函数, 则 (gof)-1=f-1og-1。,4）几个结论（运算律）,重点掌握的基本方法(关系),1.求给定关系的图形和矩阵表示,4.关系的运算,集合运算,复合运算(矩阵)和逆关系,闭包运算(自反,对称,传递),3.判定关系的性质,偏序关系的判定(图形,矩阵),5.等价关系,等价关系的判定(图形