信号的频域分析.ppt

1、连续周期信号的频域分析： 一、周期信号的傅里叶级数展开 二、傅里叶级数的基本性质 三、周期信号的频谱及其特点 四、周期信号的功率谱,第四章 信号的频域分析,由时域到频域：信号的频域分析,级数展开的思想源于矢量的分解。如图：一个矢量可以用一维平面的两个正交矢量表示，也可以用n维空间的n个正交矢量来表示，称为矢量的正交分解。 类似于此，在满足一定条件下，一般的信号也可以用一个正交函数集中的函数来表示。傅里叶级数展开的思想类似于此。,用这个三角函数集表示一般信号即是傅里叶级数的三角函数形式。用复指数函数集表示的一般信号即是傅里叶级数的指数形式。,理论已证明： 三角函数集， n=0,1,2,是一个完备

2、正交函数集，正交区间为(t0, t0+T) 。 复函数集 是一个完备正交函数集，,不是所有的函数都可以展开为傅里叶级数，函数必须满足的条件称为Dirichlet（狄里赫勒 / 狄利克雷）条件。,Fourier， 法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔， 1830年5月16日卒于巴黎。9岁父母双亡，被当地教堂收养 。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔 省地方长官。1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委 员会主席。 主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。提出任一函数都可以展

3、成三角函数的无穷级数。傅里叶级数（即三角级数）、傅里叶分析等理论均由此创始。,一、周期信号的傅里叶级数展开,周期信号能展开为傅里叶级数的充要条件： 周期信号 f (t) 应满足 Dirichlet 条件，即： （1）在一个周期内绝对可积，即满足 （2）在一个周期内只有有限个不连续点； （3）在一个周期内只有有限个极大值和极小值。,注意： 条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。,连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示：,其中傅里叶系数Cn（很多资料写为Fn）计算式(T0为周期)：,物理含义：周期信号f (t)可以分解为不同频率虚指数信号之和，信号

4、不同则Cn不同，为一一对应关系。,一、周期信号的傅里叶级数展开,1. 指数形式的傅里叶级数,周期信号在一个周期内的积分与信号起点t0选取无关，故计算时可以根据需要选择不同的t0值，常选：t0=0或t0=T0/2,连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示：,一、周期信号的傅里叶级数展开,1. 指数形式的傅里叶级数,两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量,的频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量,的频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量,物理含义：,周期信号f (t)可以分解为不同频率虚指数信号之和,利用这个性质可以将指数Fourier级数表示为：,由于C0是实的，

5、所以 b0= 0，即得三角形式的系数,若 f (t)为实函数，则指数形式的系数必为(课本中已证明)：,2. 三角形式的傅里叶级数,在满足狄氏条件时，可展成,直流分量,余弦分量的幅度,正弦分量的幅度,称为三角形式的傅里叶级数，其系数,2. 三角形式的傅里叶级数,一、周期信号的傅里叶级数展开,其中,a0/2称为信号的直流分量， An cos(n0 t + n) 称为信号的n次谐波分量。,3.*纯余弦形式的傅里叶级数：,幅度谱,相位谱,连续周期信号的频域分析,将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合,从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。,从系统分

6、析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。,意义：,例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的指数形式傅里叶级数展开式。,解: 信号f (t) 满足狄里赫勒的三个条件，必然存在傅里叶级数展开式。,例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的指数形式傅里叶级数展开式。,因此， f (t)的指数形式傅里叶级数展开式为,解: 信号f (t) 满足狄里赫勒的三个条件，必然存在傅里叶级数展开式。,不防记住这个结论，其中是脉宽，T是周期，A是幅度。,解:,例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的三角形式

7、傅里叶级数展开式。,可以按原始的表示式来求三角形式的傅氏级数：,解:,可得， f(t)的三角形式傅里叶级数展开式为,例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的三角形式傅里叶级数展开式。,已知Cn，也可以利用下式来求：,若 =T/2，则有,N=5,N=15,N=50,N=500,吉伯斯（Gibbs）现象,吉伯斯（Gibbs）现象,用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点 出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少， 且 为跳变值的9% 。,吉伯斯现象产生原因:,时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。,例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。,解: 该

8、周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在:,例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。,解:,周期三角脉冲信号的指数形式的傅里叶级数为：,例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。,解:,周期三角脉冲信号的三角形式傅里叶级数展开式为,由,例3 求傅氏级数的系数Cn 。,解:,根据指数形式傅里叶级数的定义式，得：,线性特性,时移特性,二、傅里叶级数的基本性质,时移 相移,二、傅里叶级数的基本性质,卷积性质,微分特性,若 f1(t) 和 f2(t) 均是周期为T0的周期信号，且,周期卷积为：,对称特性,(1) 若 f(t) 为实信号,二、傅里叶级数的基本性质,对称

9、特性,(2) 纵轴对称信号 f (t) = f (-t),纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含有直流项与余弦项。,二、傅里叶级数的基本性质,原点对称周期信号其傅氏展开式中只含正弦项，无其他项。,对称特性,二、傅里叶级数的基本性质,(3) 原点对称信号 f (t) = - f (-t),(4) 半波重叠信号: f (t) = f (tT/2),半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量（注意周期T的位置）。,对称特性,二、傅里叶级数的基本性质,(5) 半波镜像信号: f (t) = - f (tT/2),半波镜像周期信号只含有奇次谐波分量（包括正弦与余弦），而无直流分量

10、与偶次谐波分量。,对称特性,二、傅里叶级数的基本性质,说明 ：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性,去掉直流分量后，信号呈奇对称：只含有正弦各次谐波分量。(注意周期为T，所以半波不重叠),因此该信号含有正弦分量，直流分量。,例4 求图示周期信号f(t)的傅里叶级数（另法）,f (t) = f1(t) - f2(t),周期信号的频域分析： 一、周期信号的傅里叶级数展开 二、傅里叶级数的基本性质 三、周期信号的频谱及其特点 四、周期信号的功率谱 *离散Fourier级数（DFS）,信号的频域分析 （重点：连续时间信号）,三、周期信号的频谱及其特点,1. 频谱的概念,周期信号f(t)

11、可以分解为不同频率虚指数信号之和,Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波的幅度和相位随频率变化的规律，简称Cn为频谱函数。,不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。,2. 频谱的表示,直接画出信号各次谐波对应的Cn线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。,三、周期信号的频谱及其特点,|Cn|随角频率变化的特性，称为幅度频谱 n 随角频率变化的特性，称为相位频谱,例1 周期矩形脉冲信号的频谱图,例2 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的Fourier级数表示式。,解：,由图可知,(1)频谱的离散特性,信号周期T 越大，w0（间隔）就越小

12、，则谱线越密。 反之，T 越小，w0越大，谱线则越疏。,三、周期信号的频谱及其特点,周期信号的频谱是以w0=2/ T0为间隔进行抽样所得，为离散的谱线。（若T0，则变为非周期信号的连续谱线）。,3. 频谱的特性,当周期信号的幅度频谱随着谐波nw0增大时，幅度频谱|Cn|不断衰减，并最终趋于零。 若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。,三、周期信号的频谱及其特点,f(t)不连续时，Cn按1/n的速度衰减 f(t)连续， f (t)不连续时，Cn按1/n2的速度衰减 如果f(t)前k-1阶导数连续，k阶不连

13、续时，则Cn按1/nk+1的速度衰减。,(2) 幅度衰减特性,3. 频谱的特性,3. 频谱的特性,(3) 信号的有效带宽（有多种定义方法）,02 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度,即（这里定义在第一个过零点处，带宽的单位:）,信号的有效带宽与信号时域的脉冲宽度 成反比。 即 越大，其wB 越小；反之， 越小，其wB 越大。,三、周期信号的频谱及其特点,3. 频谱的特性,(3) 信号的有效带宽,物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。,当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。,信号的有效带宽

14、有多种定义方式，一般从功率谱的角度来定义。,三、周期信号的频谱及其特点,N=5,N=15,N=50,N=500,吉伯斯（Gibbs）现象,四、周期信号的功率谱,物理意义：任意周期信号的平均功率可以用频域的傅氏系数来确定。1式时域；2、3式频域，信号是实信号时可简化为第3式计算。（往往是哪种方法简单就采用那种方法） 信号的平均功率等于其所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。,周期信号的功率频谱： |Cn|2 （频谱的模的平方）随 nw0 的分布情况称为周期信号的功率频谱，简称|Cn|2为功率谱。,平均功率P：（帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理）,解：,求包含在有效带宽(0 2p

15、/t )内的各谐波平均功率，此时若采用时域的计算方法较麻烦。由于周期矩形脉冲的傅里叶系数为：,信号的平均功率为：,例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02p /t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。,解：,信号的平均功率为：,例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02p /t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。,将A=1，T=1/4， = 1/20，w0= 2p/T = 8p 代入上式,解：,信号的平均功率为：,例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02p /t)内谐波分

16、量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。,周期信号的功率谱：(区别于频谱图),例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02p /t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。,求f (t)的功率。,解：,法1),例4,求f (t)的功率。,解：,法2)利用欧拉公式:,例4,信号的平均功率等于其所包含的直流、基波以及各次 谐波的平均功率之和。,分析问题使用的数学工具为傅里叶级数 最重要概念：频谱函数 Cn 要点 1. 频谱的定义、物理意义 2. 频谱的特点 3. 频谱的性质，应用性质分析复杂信号的频谱

17、4. 功率谱的概念及在工程中的应用,周期信号的频谱分析小结,1、如图示周期信号，其傅里叶系数: C0,4,则此信号的平均功率,42,3、如图示周期为 T 的信号，定性判断其频谱成份： .,*离散Fourier级数（DFS）,DFS的定义 常用离散周期序列的频谱分析 周期单位脉冲序列d Nk 正弦型序列 周期矩形波序列 DFS的性质,一、周期为N的序列的DFS定义,IDFS:表示离散傅里叶级数反变换,DFS:表示离散傅里叶级数正变换,DFS的物理含义,周期为N 的任意序列可分解为基本序列,的和.,二、常用离散周期序列的频谱分析,1. 周期单位脉冲序列dNk,=1,2. 正弦型序列,周期序列 fk

18、 = cos(pk/6) 的频谱,N=12,二、常用离散周期序列的频谱分析,3. 周期矩形波序列,当m=0, N, 2N, 时有,二、常用离散周期序列的频谱分析,3. 周期矩形波序列,N=30M=2,N=30 M=12,二、常用离散周期序列的频谱分析,三、DFS的基本性质,1. 线性特性,2. 位移特性,位移(时移),三、DFS的基本性质,相移,频移,相移,3. 对称性,fk为实序列,fk为偶对称实序列,fk为奇对称实序列,Fm为奇对称虚序列 (实部为零),Fm为偶对称实序列,三、DFS的基本性质,3. 对称性,周期序列的对称,偶对称,奇对称,三、DFS的基本性质,4. 周期卷积定理,三、DF

19、S的基本性质,周期卷积,周期卷积,周期卷积与线性卷积的关系,(1) 周期卷积的结果一般和线性卷积不一样。,(2) 通过对序列补零可使周期卷积的结果和线性 卷积的结果一样。,非周期信号的频域分析： 一、连线非周期信号的频谱 二、常见连续信号的频域分析 三、连续时间傅里叶变换的性质 *四、离散时间傅里叶变换及其主要性质,从傅里叶级数到傅里叶变换 频谱函数与频谱密度函数的区别 狄利克雷(Dirichlet)条件 非周期矩形脉冲信号的频谱分析,一、连线非周期信号的频谱,可见其物理意义: F(jw)是单位频率所具有的信号频谱。是一种密度谱、连续谱的概念，表达信号频谱密度的分布情况。常称F(jw)为非周期

20、信号的频谱密度函数，即傅里叶正变换。,从傅里叶级数到傅里叶变换,由周期信号的傅氏系数，讨论T（即周期信号变为非周期信号时）：,符号表示：(课本用花体字，这里用FT表示运算符）,傅里叶正变换FT： 从时域到频域,傅里叶反变换FT -1： 从频域到时域,注意变量符号的任意性！下式成立：,傅里叶反变换的物理意义：非周期信号可分解为无数个频率为，复振幅为F(j)/2pd 的虚指数信号ejw t的线性组合。,从信号分解的角度看，F(jw)与Cn的物理意义是可以统一的！所以，二者都常统称为 频谱函数。,傅里叶正变换FT： 从时域到频域,傅里叶反变换FT -1： 从频域到时域,（1）周期信号的频谱Cn为离散

21、频谱， 非周期信号的频谱F(jw)为连续频谱。,非周期信号频谱TCn的分布，表示每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，即频谱的密度。（可以理解为单位频率宽度内的值）,两者关系：,频谱函数Cn与频谱密度函数F(jw)的区别,（2）周期信号频谱Cn的分布，表示每一个谐波分量的复 振幅。（可以理解为频率点的值）,T时： nw0成为连续变量，用w表示。 w0成为无限小量，用dw表示。 即记为： nw0 = w w0 = dw 而无限小量的求和，可用积分表示。,*傅里叶反变换推导:,由周期信号的傅氏级数展开式，以及Cn与F(jw) 的关系，讨论T时情况：,w0 = 2p/T0,Dirichlet条件是充

22、分条件，不是必要条件。后续内容将会看到，有些信号不满足其充分条件，也存在傅里叶变换。,（1）非周期信号在无限区间上绝对可积,（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。,（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。,傅氏变换的条件：狄利克雷(Dirichlet)条件,一般地，能量信号都能满足Dirichlet的充分条件，故都存在傅氏变换，而很多功率信号（比如周期信号）虽然不满足绝对可积条件，但在引入广义冲激函数(t)后，也存在傅氏变换，因此对信号的分析方法就可以统一起来。对常见周期信号，既可展开为傅氏级数，也可用虚指数信号ejwt的线性组合来表示，即既可

23、求频谱Cn ，也可以求频谱密度函数 F(jw) 。,补充理解：,周期信号频谱Cn ，表示每一个谐波分量的复振幅分布情况，是离散的谱线；而非周期信号频谱 F(jw) ，表示每单位带宽内所有谐波分量合成后的复振幅分布情况，是连续的谱线。一定条件下， Cn 可以从F(jw)中取样得到，从信号的分解的角度看，二者完全一致！,可以说傅氏变换是本课程涉及的几大变换的基石。对信号进行频谱分析和对信号进行傅里叶变换、求频谱函数具有同样的含义。,例 求图示非周期矩形脉冲信号的频谱密度函数。,解： 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为,由傅里叶正变换定义式，可得,4,分析：,2. 周期信号的离散频谱可以通过对

24、非周期信号的 连续频谱等间隔取样求得。,3. 信号在时域有限，则在频域将无限延续。,4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点 之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。,5. 脉冲宽度 越窄，高频分量越多，有效带宽越宽。 即信号信息量大、传送信号所占用的频带越宽。（因为wB=2p/t）,周期信号当周期趋于无限大时，成为非周期信号， 离散频谱变为连续频谱，二者的包络线相似。,（一）常见非周期信号的频谱 单边指数信号 双边指数信号 e -a |t| 单位冲激信号 d (t) 直流信号 符号函数信号 单位阶跃信号 u(t),二、常见连续时间信号的频谱,（二）常见周期信号的频谱 虚指数信号 正弦型

25、信号 单位冲激串,1. 单边指数信号,幅度频谱,相位频谱,（一）常见非周期信号的频谱,求信号的频谱函数或频谱分析，实际上就是作傅里叶变换， 实数a 0，信号满足狄氏条件，则傅里叶变换为：,a为0的实数,单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱,（一）常见非周期信号的频谱,1. 单边指数信号,2. 双边指数信号 e-a|t|，a为0的实数,幅度频谱,相位频谱,（一）常见非周期信号的频谱,关于t为实偶函数的信号，其频谱是关于w的实偶函数。,3. 单位冲激信号d(t),单位冲激信号(时域里变化最剧烈的理想信号)的频谱是一种均匀谱，其频谱包括所有的频率分量，为一个常数，又称白色谱。,（一）常见非周期信号的频

26、谱,1,4. 单位直流信号 f(t)=1，-t ,不满足绝对可积条件，不好按定义求。将其与双边指数函数相乘，再取极限的方法求出。,（一）常见非周期信号的频谱,结果很像d函数的定义，若对其积分能得到一个常数，即能确定下来：,利用d(t) 的傅氏变换形式求之。已知d(t)的正变换：,（一）常见非周期信号的频谱,对F(jw)作傅氏反变换：,一般直流信号A：,也可将矩形脉冲的脉宽趋于 时求得,4. 单位直流信号 f(t)=1，-t ,还有什么方法求之？,对照冲激、直流时频曲线可看出一般规律:,时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄； 时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。,直流信号及其频谱,（一）常见非

27、周期信号的频谱,4. 单位直流信号 f(t)=1，-t ,5. 符号函数信号,显然也不满足绝对可积条件，类似方法：先将其与双边指数函数相乘，求得乘积信号的频谱函数后，再取极限的方法求出。,（一）常见非周期信号的频谱,符号函数的幅度频谱和相位频谱,（一）常见非周期信号的频谱,5. 符号函数信号,6. 单位阶跃信号 u(t),阶跃信号及其频谱,（一）常见非周期信号的频谱,由符号函数信号可以轻易得到 u(t)信号，即：,1. 虚指数信号,虚指数信号频谱密度,（二）常见周期信号的频谱,周期信号虽然不满足绝对可积条件（充分条件），但当引入(t)函数后，周期信号同样存在傅里叶变换。,不好按定义来求解，可利

28、用直流信号。,2. 正弦型信号,余弦信号及其频谱函数（显然相位谱jn=0）,（二）常见周期信号的频谱,2. 正弦型信号,正弦信号及其频谱函数,（二）常见周期信号的频谱,3. 一般周期信号（已知Cn）,两边同取傅里叶变换：,（二）常见周期信号的频谱,可见周期信号的Cn与F(jw) 的关系。今后可直接用此结果,T (t)为周期信号(单周期即 (t)，先求傅氏系数Cn，再利用周期信号的F(jw)与Cn的关系求F(jw)：,（二）常见周期信号的频谱,4. 单位冲激串,将 (t)信号作周期延拓，即可得到T (t)。,4. 单位冲激串,单位冲激串 及其频谱函数,（二）常见周期信号的频谱,部分常见信号的傅里

29、叶变换（其中 a 0）,1. 线性特性 2. 共轭对称特性 3. 互易对称特性 4. 展缩特性 5. 时移特性 6. 频移特性,7. 时域卷积特性 8. 频域卷积 (时域乘积）特性 9. 积分特性 10. 时域微分特性 11. 频域微分特性 12. 能量定理,三、连续时间傅里叶变换的性质,1. 线性特性,其中a和b均为常数。,2. 共轭对称特性,当f(t)为实函数时，有 |F( jw) | = |F(-jw ) | ， (w) = - (-w),F(jw)为复数，可以表示为,当f(t)为实偶函数时，有 F( jw ) = F* ( jw ) F ( jw )是w 的实偶函数,当f(t)为实奇函

30、数时，有 F( jw ) = -F* ( jw ) ， F ( jw )是w的虚奇函数,2. 共轭对称特性,3. 时移特性,式中t0为任意实数,证明：,令 x = t- t0，则 d x = d t，代入上式可得,信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。,例1 试求图示延时矩形脉冲信号f1 (t)的频谱函数F1( jw ),解： 无延时且宽度为 的矩形脉冲信号f(t) 如图，,因为,故，由延时特性可得,其对应的频谱函数为,4. 展缩特性,证明:,令 x = at，则 d x = a d t ，代入上式可得,时域压缩(|a|1)，则频域展宽；时域展宽，则频域压

31、缩。,4. 展缩特性,尺度变换后语音信号的变化,f (t),f (1.5t),f (0.5t),0,0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,0.3,0.35,0.4,-0.5,-0.4,-0.3,-0.2,-0.1,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 = 22050Hz,f(t),f(t/2),f(2t),5. 互易对称特性,证明见课本161,FT,FT,表明：时域波形与其对应的频谱函数的波形有互易对称关系,5. 互易对称特性的理解：波形的互易对称,应用例子：如何求 2/jt 的频谱函数？,?,已知,?,例：已知 ，求其频谱函数？,利用傅里叶

32、变换的线性特性,例：已知 ，求其频谱函数？,6. 频移特性（时域相移、调制定理）,若 则,式中w0为任意实数,证明：由傅里叶正变换定义有,信号f (t )与余弦信号cosw0 t相乘后，其频谱是将原来信号频谱向左右搬移w0，幅度减半。,同理,6. 频移特性（调制定理）,例2 试求矩形脉冲信号f ( t )与余弦信号cosw 0 t相乘后信号的频谱函数。,应用频移特性可得,解: 已知宽度为 的矩形脉冲信号对应的频谱函数为,解:,例2 试求矩形脉冲信号f ( t )与余弦信号cosw 0 t相乘后信号的频谱函数。,7. 时域卷积特性（频域乘积）,证明：,例 求如图所示信号的频谱。,解：,规定：单位

33、矩形脉冲信号用P1表示。下标表示脉冲宽度，幅度默认为1。P2则表示宽度2，幅度1（课本P152，P163）,图示信号可以用两个宽为2，高为1的矩形脉冲卷积得到：,例 计算其频谱 Y(jw)。,解：,利用Fourier变换的卷积特性可得,8. 频域卷积特性(时域乘积调制特性),证明：,9. 时域积分特性,证：,积分特性的应用特点：如果信号f(t)的导数 f (t) 的频谱容易求出，这时利用积分特性，就可以方便地求出f(t)的频谱。即：先知 f (t) 的频谱，再求f(t)的频谱！ (注意这时f(t)不含直流分量）,例 a 试利用积分特性求图示信号f(t)的频谱函数。,解：,利用时域积分特性，可得,先求f (t)的频谱。,f(t)微分后如右图y(t)所示，对应的频谱Y(jw)易求：,例 b 试利用积分特性求图示信号f(t)的频