概率论--连续型随机变量及其概率密度

1、第二节 连续型随机变量及其概率密度,连续型随机变量,取值是某个区间或整个实数集； 取值不能一一列出； 对于这种变量，我们关心的是它的取值落 在某个区间的概率。,离散型随机变量,取值是有限个或可列个，可一一列出； 变量的每一个可能取值都能计算出概率。,随机变量的分布函数,设x为一随机变量,则对任意实数x，(xx)是一个随机事件，称,为随机变量x的分布函数,f(x)是一个普通的函数！,distribution function,分布函数的定义,引进分布函数f(x)后，事件的概率都可以用f(x)的函数值来表示。,分布函数表示事件的概率,p（xb）=f(b),p（axb）=f(b) f(a),p（xb

2、）=1 p（xb） =1 - f(b),p（axb）=p(x b)-p(xa)= f(b)- f(a),一般地，对离散型随机变量 xpx= xkpk, k1, 2, 其分布函数为,例1 设随机变量x具分布律如右表,解,试求出x的分布函数。,分布函数的性质,f(x)是单调非减函数,0 f(x) 1, 且,不可能事件,必然事件,f(x)在 内是左连续的，即 有,问一问,是不是某一随机变量的分布函数？,不是,因为,分布函数 f(x)的图形,用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？,?,a,b,概率密度函数,定义,设x为一随机变量，若存在非负实函数 f (x

3、) , 使对任意实数 a b ，有,则称x为连续型随机变量， f (x) 称为x 的概率密度函数,简称概率密度或密度函数.,probability density function p.d.f.,密度函数的区间上的积分 = 区间上的概率,概率密度函数的性质,非负性,必然事件的概率,密度函数和分布函数的关系,积分关系,导数关系,概率密度函数的意义,由于在f(x)的连续点处，有,它表明了随机变量x在区间 上的平均概 率，故称f(x)为密度函数。,对于连续型随机变量x,它取任意指定实数值a的概率为0,即:,p(x=a)=0,对于连续型随机变量x,有,p(a x b)= p(axb)=p(a x b)

4、=p(axb),x在某区间的概率等于密度函数在此区间的定积分,用密度函数表示事件的概率,解:,当 x1 时,当1 x 5 时,例：已知密度函数求分布函数,已知连续型随机变量x的概率密度为,求 x 的分布函数,当 x5 时,所以,step1: 利用密度函数的性质求出 a,例：已知密度函数求概率,step2: 密度函数在区间的积分得到此区间的概率,例：已知分布函数求密度函数,（2)x 的密度函数,（2）密度函数为,均匀分布,若连续型随机变量x的概率密度为,则称x在区间 （a，b）上服从均匀分布记为 x u (a, b),uniform distribution,定义,分布函数,x“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可能”理解为：x落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。,意义,102电车每5分钟发一班，在任一时刻 某一乘客到了车站。求乘客候车时间不超过2分钟的概率。,设随机变量x为候车时间，x 服从（0，5）上的 均匀分布,解,例,xu（0，5）,练一练,设在-1，5上服从均匀分布，求方程,有实根的概率。,解 方程有实数根,即,而 的密度函数为,所求概率为,指数分布,若连续型随机变量x的概率密度为,则称x 服从参数为的