数值分析5-计算方法5

1、第五章 数值积分 Newton-Leibniz 公式 = d= () 当被积函数 如 0 ，sin 2 ， 2 时， 的原函数()不能用初等函数表示。需考虑用数值计算方法计算定积分的近似值。 5.1 机械求积公式 按照积分中值定理，如果() , ，则 = d= ,从近似计算的角度来看，只要找到一种平均高度 的近似计算方法，则就得到一种定积分的近 似计算公式。 如() ,则有 = d() 左矩形公式 如() ,则有 = d() 右矩形公式 如( + 2 ) ,则有 = d( + 2 ) 中矩形公式,如 +() 2 ,则有 = d 2 +() 梯形公式 1、机械求积公式 上述公式中平均高度均为 的

2、估计均为被积函 数 的加权平均。由此，可构造更为一般性的 求积公式 = d =0 = =0 其中 = 称为机械求积公式， 求积系数， 求积节点,2、代数精度 定义5.1 如果某个求积公式对于次数不超过的 多项式均能准确成立，但对于+1次多项式不 能精确成立，称该求积公式具有次代数精度。 依上述定义，欲使机械求积公式具有次代 数精度，仅需令机械求积公式对 =1, 2 , 准确成立，而对 = +1 不能准确成立，即, 1 d= =0 d= 1 2 2 2 = =0 2 d= 1 3 3 3 = =0 2 d= 1 +1 +1 +1 = =0 而 +1 d =0 +1,例5.1 设有求积公式 1 1

3、 1 1 + 0 0 + 1 (1) 试求 1 , 0 , 1 系数，使该公式具有尽可能高的 代数精度。 解：令时 =1, 2 时，该公式准确成立 1 + 0 + 1 =2 1 + 1 =0 0 + 1 = 2 3 解得 1 = 1 3 ， 0 = 4 3 ， 1 = 1 3,于是，求积公式为 1 1 1 3 1 + 4 3 0 + 1 3 (1) 令 = 3 左 1 1 3 =0 右 1 3 1 + 4 3 0 + 1 3 1 = 1 3 +0+ 1 3 =0 再令 = 4 ，左边右边 所以，该求积公式具有三次代数精度。,3、插值型求积公式 设已知 在求积节点 0 1 的函数值 0 , 1

4、, ,在 , 上构造 Lagrange插值多项式 ，这里 = =0 其中 = = +1 () +1 这里 +1 = , d = =0 = =0 其中 = ， =0,1, 以上求积公式称为插值型求积公式。 积分余项 = = +1 +1 ! +1 ， ,显然，当 为一次数不超过的多项式时，有 =0 如果求积公式 d =0 具有次 代数精度，则有 d= =0 基函数 = 1 , = 0 , 于是 = ， =0,1,由此得如下定理 定理5.1 形如 d =0 的求积公式具有次代数精度的充要条件是，该 公式是插值型的。 4、求积公式的收敛性与稳定性 定义5.2 如果 lim =0 = 称 d =0 是收

5、敛的。,这里0 = max 1 1 记 = =0 且 为 含有误差的值， 为 含有误 差的值。 定义5.3 对0，0，当 max 1 有 成立，称求积公式是稳定的。,定理5.2 如果求积公式 d =0 的求积系数 0，则求积公式是稳定的。 证明：因 0 =0,1, ,当 max 1 0，取= ，有 = 证毕！,5.2 Newton-Cotes公式 1、Newton-Cotes公式的一般形式 将积分区间 , 划分为等分，求积节点为 =+ (=0,1,) 其中= 称为积分步长 令=+ 0 由 d = =0 = ， =0,1,得 d =0 其中 = 1 = 1 0 1 ( +1 ) 0 1 +1 =

6、 0 = 1 !()! 0 当=1时， = = 1 2 ，得, d= 2 +() 梯形公式 当=2时， = 1 6 ， = 4 6 ， = 1 6 ，得 d= 6 +4 + 2 +() Simpson公式 当=4时，得 d= 90 7 0 + 1 + 12 2 +32 3 +7 4 Newton-Cotes公式,表5.1(Cotes系数）,Cotes系数有如下性质： =0 =1 , = 表5.1中，当=8时，Cotes系数有负值出现，稳 定性得不到保障。不能用高阶Newton-Cotes公式 进行计算，一般采用4。 例5.2 sin ,试用梯形公式，Simpson公式和 Newton-Cote

7、s公式计算该积分。 解：= 1 2 1+ sin 1 0.92073549 = 1 6 1+42 sin 1 2 + sin 1 0.94614588,= 1 90 7+324 sin 1 4 +122 sin 2 4 + 324 sin 3 4 +7 sin 1 0.94608300 而 sin =. 定理5.3 当为偶数时，Newton-Cotes公式至少 具有+1次代数精度。,2、误差分析 梯形公式的积分余项 设() 2 , 插值余项 1 = 1 = (2) 2! 积分余项 = (2) 2! = (2) 2 积分中值定理 = 3 12 (2) ， ,Simpson公式的积分余项 = 18

8、0 2 4 (4) ， , Cotes公式的积分余项 = 2 945 4 6 (6) ， ,5.3 复化求积公式 1、复化梯形公式 将积分区间 , 划分为等分,节点为 =+ =0,1, 步长= 在每个等分小区间 , +1 =0,1,1 上应用梯形公式，有 = = =0 1 +1 =0 1 2 + +1 2 +2 =1 1 +() = ,余项 = 2 12 =0 1 (2) 2 12 (2) = 2 12 2、复化Simpson公式 取区间 , +1 =0,1,1 中点 + 1 2 = = =0 1 +1 , =0 1 6 +4 + 1 2 + +1 = 6 +4 =0 1 + 1 2 +2 =

9、1 1 +() = 余项 1 180 2 4 (3) (3) ,3、复化Cotes公式 将间 , +1 =0,1,1 划分为四等 分，等分节点记为 + 1 4 ， + 1 2 , + 3 4 = 90 7 +32 =0 1 + 1 4 + 12 =0 1 + 1 2 +32 =0 1 + 3 4 +14 =1 1 +7() 余项 2 945 4 6 (5) (5) ,例5.3 利用复化公式计算= 0 1 4 1+ 2 ，复化梯 形公式=8，复化Simpson公式=4。 解：将区间 0,1 划分为8等分，分别计算被积函 数 = 4 1+ 2 在9个求积节点上的函数值, 8 = 1 8 1 2 0

10、 +2 1 8 + 1 4 + 3 8 + 1 2 + 5 8 + 3 4 + 7 8 +(1) 3.138989 4 = 1 4 1 6 0 +4 1 8 + 3 8 + 5 8 + 7 8 +2 1 4 + 1 2 + 3 4 + 1 3.141593 准确值= 0 1 1 1+ 2 =3.1415926,5.4 Romberg算法 复化求积方法可提高计算精度，但事先要确定 步长，步长取太大精度不够，步长取太小计算量 增加，选择合适步长是一件困难的事情。 1、变步长求积方法 将区间 , 划分为等分，得 =+ =0,1, , = 对每个小区间 , +1 =0,1,1 应用梯 形公式计算并求和

11、，得 = =0 1 2 + +1 复化梯形值,再将个区间 , +1 划分为二等分，有 , + 1 2 + 1 2 , +1 对上述两个区间分别利用梯形公式并求和，得 2 2 + + 1 2 + 2 2 + 1 2 + +1 = 4 +2 + 1 2 + +1 于是 2 = =0 1 4 +2 + 1 2 + +1,= 4 =0 1 + +1 + 2 =0 1 + 1 2 = 1 2 + 2 =0 1 + 1 2 例5.4 利用变步长梯形公式计算= 0 1 4 1+ 2 ， 要求误差不超过 1 2 10 5 解 由 0 =4， 1 =2，得 1 = 1 2 0 +(1) =3 将区间 0,1 二

12、等分，计算 1 2 =3.2,得 = 1 2 1 + 1 2 1 2 =3.1 进一步做区间二等分，增加分点 1 4 =3.7647706 ， 3 4 =2.56 得 4 = 1 2 2 + 1 4 1 4 + 3 4 =3.131177 按上述方法不断做二分，得如下结果,因 2 9 2 8 =0.000002 1 2 10 5 故 = 0 1 4 1+ 2 3.141592 二分9次，计算513个分点函数值。,2、Romberg算法 由复化梯形公式积分余项 = 2 12 得 2 = 2 2 12 于是 2 4 即 2 1 3 2 事后估计式,于是 4 3 2 1 3 可验证 = 4 3 2

13、1 3 = 4 2 41 由复化Simpson公式积分余项 = 1 180 2 4 (3) (3) 得 2 16,即 2 + 1 15 2 = 16 15 2 1 15 可验证 = 16 15 2 1 15 = 4 2 2 4 2 1 将复化Cotes公式做类似处理，得如下Romberg公 式 = 64 63 2 1 63 = 4 3 2 4 3 1 外推公式 = 4 4 1 1 2 1 4 1 1 (),例5.5 利用Romberg公式计算= 0 1 4 1+ 2 。 共计算33个分点的函数,5.5 Gauss求积公式 1、Gauss求积公式的构造 考察定积分 d 做变量代换，令= 2 +

14、+ 2 ，则有 d= 2 1 1 2 + + 2 后续仅讨论定积分 1 1 d 由机械求积公式 1 1 d =1 ,插值型求积公式中，求积节点 事先确定。如果 将求积节点（Gauss点）和求积系数都待定，则可 在求积节点相同的情形下，构造比插值型求积公 式代数精度更高的求积公式，即Gauss求积公式。 例5.6 对于求积公式 、 1 1 d 0 0 、 1 1 d 1 1 + 2 2 确定公式中的求积系数 0 ， 1 和 2 ，使其具有 更高的代数精度。 解：讨论公式,令 =1,，得 0 =2 0 =0 由此，得 1 1 d2 0 中矩形公式 讨论公式 令 =1, 2 , 3 ，得 1 + 2

15、 =2 1 1 + 2 2 =0 1 1 2 + 2 2 2 = 2 3 1 1 3 + 2 2 3 =0,解得 1 = 2 =1 ， 2 = 1 = 1 3 由此，得 1 1 d 1 3 + 1 3 公式与分别具有1次和3次代数精度。 2、Gauss点的基本特性 设 =1,2, 为Gauss点，构造多项式 = 1 2 再设()为次数1的任意多项式，则有 () 次数21,故有 1 1 = =1 由于 =0，故有 1 1 =0 结论：以Gauss点为零点的多项式 与任意次 数不超过1次的多项式 正交。 其逆命题亦成立：如果 与任意1次的 多项式正交，则 的零点必为Gauss点。,3、Legend

16、re多项式与Gauss点 设 1 , 2 , 为Gauss点,构造多项式 = 1 2 对 做重积分,得 = 1 1 1 为2次多项式，且有 () = 1 = 1 = 1 1 =0 1为 的1重零点。 设()为任意1次多项式，显然 () =0,考察 1 1 = 1 1 =0 利用分部积分方法，得 1 1 () () = 1 1 1 1 2 1 + 1 1 1 1 1 =0 考虑到 的任意性，必有 1 = 1 = 1 1 =0 所以1都是()的1重零点，因而 ()= 2 1 ,为使 的首项系数为1，取 = ! 2 ! 于是，Legendre多项式为 = ! 2 ! 2 1 几个常用的低阶Legen

17、dre多项式 1 = 2 = 2 1 3 3 = 3 3 5 4 = 4 30 35 2 + 3 35 ,譬如，构造三点Gauss公式 1 1 1 1 + 2 2 + 3 3 令 3 = 3 3 5 =0，得 1 = 3 5 ， 2 =0 ， 3 = 3 5 再令 =1, 2 ，求积公式准确成立，则有 1 + 2 + 3 =2 1 1 + 2 2 + 3 3 =0 1 1 2 + 2 2 2 + 3 3 2 = 2 3,解得 1 = 5 9 ， 2 = 9 8 ， 3 = 5 9 三点Gauss求积公式为 1 1 5 9 3 5 + 9 8 0 + 5 9 3 5,习题 1、试确定下面求积公式

18、 1 1 0 + 1 + 2 使其具有三次代数精度。 2、试确定下列积分公式中的参数，使其具尽可能 高的代数精度。 0 1 0 +(1) + 0 (1),3、分别利用复化梯形公式与复化Simpson公式计 算 1 2 ln(+1) （取步长= 1 6 ） 4、用变步长梯形公式计算 0 1 精确到=0.002 5、用Romberg算法计算积分 0 1 ,1、解：分别令 =1, 2 , 3 由 =1，得 2= 1+1+1 ，于是= 2 3 由 =, 2 , 3 ，得 0 + 1 + 2 =0 0 2 + 1 2 + 2 2 =1 0 3 + 1 3 + 2 3 =0 令 0 =0 解得 1 = 2 2 ， 2 = 2 2,于是 1 1 2 3 0 + 2 2 + 2 2 2、解：取 =1，得 1=2 ， = 1 2 取 =，得 1 2 = 0+1 + 11 = 成立 取 = 2 ，得 1 3 = 0+1 + 02 =2,于是 =