第 10 章 无限脉冲响应滤波器.ppt

1、第 10 章 无限脉冲响应滤波器,10.1 无限脉冲响应滤波器基础 10.2 低通模拟滤波器 10.3 双线形变换 10.4 巴特沃斯滤波器设计 10.5 切比雪夫型滤波器设计 10.8 带通、高通和带阻 IIR 滤波器,返回,infinite impulse response filter(IIR)无限脉冲响应滤波器 bilinear transformation 双线性变换 prewarping equation 预扭曲方程 Butterworth filter 巴特沃斯滤波器 Chebyshev Type I filter 切比雪夫I 型滤波器 Chebyshev Type II fil

2、ter 切比雪夫II 型滤波器 elliptic filter 椭圆滤波器 Impulse invariance method 脉冲响应不变法,10.1 无限脉冲响应滤波器基础,滤波器新的输出，和过去的输出及过去的输入和现在 输入有关。,差分方程 akyn-k= bkxn-k,N k=0,M k=0,若 a0=1，则 yn=-a1yn-1 - - aNyn-N + b0 xn+b1n-1+bMxn-M,传输函数,H(z)=,b0+b1z-1+ b2z-2+bMz-M 1+ a1z-1+a2z-2+aNz-N,这种递归滤波器的极点由分母多项式确定，这就可能使滤波器不稳定，同时递归滤波器很难实现线

3、性相位，也就是递归滤波器使相位失真，但实现某种性能要求时比非递归滤波器所需要的系数少。 设计递归滤波器的方法是选择具有待求特性的原型模拟滤波器，然后将其转换为数字滤波器。,返回,10.2 低通模拟滤波器,在连续域中，滤波器用 S 而不用 Z 来描述。 简单低通模拟滤波器的传输函数为 H(s)=,1 s+1,频率响应为 H()= s用 j代替,1 j +1,幅度 |H()|=,1 2 +1, |H()|0 |H()|1,具有低通特性,=1弧度/秒 |H()|= 20log( )=-3dB,1 2,即 f=/2=1/2 Hz 为它的带宽 为使滤波器更通用，传输函数变为,H(s)=,p1 s+p1,

4、H()= =,p1 j+p1,1 1+j/p1,其幅度|H()|=,1 (/p1)2+1,=p1 时，出现 3dB,图10.3,通常模拟滤波器类型包括：巴特沃斯、切比雪夫型、 切比雪夫型和椭圆滤波器等。,图10.4,返回,10.3 双线性变换,它为模拟滤波器和数字滤波器之间的转换提供了一种 方法。 s 2fs,z 1 z+1,z用 ej 代替可得到离散时间傅立叶变换,逆双线性变换 2tan-1 (/2fs) 图 10.5 给出了数字频率 和模拟频率 之间的关系。,双线性变换建立了数学域和模拟域之间的另一种联系： 数字滤波器的稳定区域是 Z 平面单位圆内，模拟滤波器 的稳定区域在 S 复平面的左

5、半部,图 10.6,例1：一阶模拟低通滤波器的传输函数 H(s)=wp1/(s+wp1)。滤波器的-3dB频率是2000弧度/秒。求出与此模拟滤波器相对应的数字滤波器的传输函数H(z),采样频率为1500Hz.,预扭曲的数字滤波器幅度响应如图 10.10 所示，可 看出预扭曲的滤波器的截止频率非常接近所要求的值 318.3 Hz。,图 10.10,返回,10.4 巴特沃斯滤波器设计,巴特沃斯滤波器是 IIR 无限脉冲响应滤波器中最简单的。,它的传输函数 H(s)=,p1 S+p1,|H()|=,1 (/p1)2+1,一阶模拟巴特沃斯滤波器,n阶模拟巴特沃斯滤波器具有负责的传输函数 H(s)，,

6、其滤波器形状|H()|= ，与一阶相似。,1 (/p1)2n+1,阶数越高，滚降越陡，图10.12 显示 n=1,2,3,4时模拟 巴特沃斯滤波器形状。,图10.12,描述数字 IIR 滤波器的术语：(由图10.13(a)、(b)看),图10.13,p 通带波纹：通带内最大和最小增益之差 p 取 3dB (巴特沃斯滤波器) 1 p : 通带边缘增益（对应的频率fp1） (或20log(1 p)dB) s ：阻带波纹，对应的阻带边缘增益， 对应频率 fs1 阻带边缘频率。 阻带边缘的增益为20logsdB,设计时阻带边缘频率和阻带衰减（-20logs）或阻 带增益（20logs）要给出。图 10

7、.14 说明非线性相 位响应，表明滤波后的信号在某种程度上有相位失真。 对于 n 阶巴特沃斯滤波器，满足通带和阻带设计要求 所需的阶数 n,s1 : 模拟滤波器预扭曲阻带边缘频率。 p1 : 模拟滤波器预扭曲通带边缘频率。,设计低通巴特沃斯滤波器步骤： 1) 确定待求通带边缘频率 fp1 Hz 、待求阻带边缘频率 fs1 Hz 和待求阻带衰减 - 20logsdB(或待求阻带增 益 20logsdB)。通带边缘频率必须对应 3dB增益。,4) 由已给定的阻带衰减 - 20logs(或增益- 20logs) 确定阻带边缘增益 s 。,3) 计算预扭曲模拟频率以避免双线性变化带来的失真。 由 =2

8、fs tan(/2) 求得 p1和 s1，单位是弧度/秒。,2) 用式 =2f/fs 把由 Hz 表示的待求边缘频率转成 由弧度表示的数字频率，得到 p1 和s1 。,5) 用下式计算所需滤波器的阶数：,n 取整数,例 10.6 设计具有巴特沃斯特性的低通 IIR 滤波器， - 3 dB 频率为 1 200 Hz。在 1 500 Hz 处 增益降到 25 dB。采样速率为 8 000 Hz。 选择合适的滤波器阶数并画出滤波器形状。,解： 1) fp1=1200Hz， fs1=1500HZ -20logs=25， fs=8000Hz 2) p1= 2 fp1/fs=0.3 弧度 s1= 2 fs

9、1/fs=0.375 弧度 3) p1=2fs tan(p1/2)=8152.4 弧度/秒 p1= 2fs tan(s1/2)=10690.9弧度/秒,4) 20logs =-25 s=10-25/20=0.0562,5) =10.6 取 n=11,6) 模拟滤波器形状,1 (/p1)2n+1,|H()|= =,1 (/8152.4)22+1,|H()|=,1 (16000tan(/2)/8152.4)22+1,返回,10.5 切比雪夫型滤波器设计,切比雪夫滤波器传输函数非常复杂，但滤波器形状 表达式非常简单，n 阶切比雪夫型滤波器的形状定义为,|H()|=,1 1+2Cn2(/p1),Cn(

10、x)=,cos(ncos-1(x) 对于|x|1 cosh(ncosh-1(x) 对于|x|1,参数 取决与通带波纹,滤波器阶数大于 1，切比雪夫滤波器具有比巴特沃夫 滤波器更陡峭的滚降特性。,图 10.17,切比雪夫滤波器的参数示于图 10.18,图 10.18,切比雪夫滤波器的阶数可由,n,cosh-1(/) cosh-1(s1/p1 ),= (1/s2) 1,低通切比雪夫型滤波器的设计步骤：,3）对数字频率采用预扭曲以避免双线性变换引起的误差。 由 =2fs tan(/2) 得到p1和 s1，单位是弧度/秒。,2）用公式 =2f/fs 将待求的边缘频率转换为数字频率 （用弧度表示），得到

11、 p1 和 s1 。,1）确定待求的通带与阻带边缘频率 fp1 和fs1 、待求的 通带边缘增益 20log(1- p) 和待求的阻带衰减 -20logs（或待求的阻带增益 20logs ）。,5）由指定的衰减-20logs（或增益 20logs），确定 阻带边缘增益 s 。计算式如下：,例 10.9 对于采样频率为 20 KHz 的系统，设计具有切 比雪夫型特性的 IIR 滤波器。通带最大增益 为 0 dB，通带边缘在 5 kHz 处，其增益为 -1 dB。阻带边缘在 7.5 kHz处，其增益为 - 32 dB。,解： fp1=5000 Hz , fs1=7500Hz , 20log(1-

12、p) =-1 fs =20000Hz , 20logs= - 32,p1 = 2fp1/fs =0.5 弧度 s1 = 2fs1/fs =0.75 弧度,p1 = 2fs tan(p1/2) =40000弧度/秒 s1 = 2fs tan(s1/2) =96568.5弧度/秒,7),|H()|=,1 1+2Cn2(/p1),=,1 1+0.2589C42(/40000),=2fs tan(/2) 代入上式,|H()|=,1 1+ 0.2589C42(/2),C4(x)=,cos(4cos-1(x) 对于|x|1 cosh4(4cosh-1(x) 对于|x|1,返回,10.8 带通、高通和带阻

13、IIR 滤波器,带通和高通滤波器的阶数要通过对低通滤波器的原 型的计算来选择。 图 10.22 表明了设计步骤,图 10.22,传输函数,高通 HH(s)=HL(pp/s) p 为低通滤波器的截止频率 p为高通滤波器的截止频率,带通 HBP(s)=HL(p(s2+lu)/s(u - l) l：带通滤波器的低端截止频率 l u：带通滤波器的高端截止频率 u,带阻 HBS(s)= HL(ps(u- l)/(s2+ul),从上的p ，p ，l ，u 都要进行预扭曲计算，避免滤波器失真。 =2fs tan(/2),* 带通和带阻滤波器的阶数都为其低通原型的两倍。,IIR滤波技术的一个应用就是产生和恢复

14、用于按键电话机的双音多频信号（DTMF),FIGURE 10-25 Touch-Tone keypad.,Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal Processing,Copyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.,FIGURE 10-26 Tone generation filter.,Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal Processing,Copyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.,FIGURE 10-30 DTMF generator.,Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal Processing,Copyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Sadd