特征函数和矩母函数_第1页
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文档简介

1、一、矩母函数,矩母函数和特征函数,1定义,称 的数学期望,为随机变量x的矩母函数。,2原点矩的求法,利用矩母函数可求得x的各阶矩，即对 逐次求导，并计算在 点的值：,3和的矩母函数,定理1,设相互独立的随机变量 的 矩母函数分别为 ， ， ，,则其和,的矩母函数为,4. 母函数 定义：设x是非负整数值随机变量，分布律 px=k=pk，k=0,1, 则称 为x的母函数。,性质： (1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母函数p(s)唯一确定 (2)设p(s)是x的母函数， 若ex存在，则ex=p(1) 若dx存在，则dx= p(1) +p(1)- p(1)2,(3)独立随机变量之和的母函数等于母

2、函数之积。 (4)若x1,x2,是相互独立同分布的非负整数值随机变量，n是与x1,x2,独立的非负整数值随机变量，则 的母函数h(s)=g(p(s) , ey=enex1 其中g(s),p(s)分别是n, x1的母函数。,证明：(1),(2),设离散型非负整数随机变量x,y的分布律 分别为px=k=pk，py=k=qk，k=0,1, ， 则z=x+y的分布律为pz=k=ck,其中 ck= p0 qk +p1qk-1 + + pk q0 设x,y,z的母函数分别为px(s), py(s), pz(s)，即有,(3),(4),欧拉公式：,二、特征函数,1 .特征函数,设x为随机变量，称复随机变量

3、的数学期望,为x的特征函数，其中t是实数。,还可写成,分布律为p(x=xk)=pk（k=1,2,）的离散型随机变量x，特征函数为 概率密度为f(x)的连续型随机变量x，特征函数为,对于n维随机向量x=(x1, x2, , xn)，特征函数为,性质： (1) 。 (2) 在（-， ）上一致连续。 (3)若随机变量x的n阶矩exn存在，则 , k n 当k=1时，ex = ； 当k=2时，dx = 。,(4) 是非负定函数。 (5)若x1, x2, , xn是相互独立的随机变量，则x=x1+x2+xn的特征函数为 (6)随机变量的分布函数与特征函数是一一对应且相互唯一确定。,如果随机变量x为连续型

4、，且其特征函数绝对可积，则有反演公式：,（相差一个负号的傅立叶逆变换）,（相差一个负号的傅立叶变换）,例1,设随机变量x服从参数为 的泊松分布， 求x的特征函数。,解,由于,所以,麦克劳林公式,例2,设随机变量x服从a，b上的均匀分布，求x的特征函数。,解,x的概率密度为,所以,例3：设x服从二项分布b(n, p)，求x的特征函数g(t)及ex、ex2、dx。,解: x的分布律为p(x=k)= ， q=1-p，k=0,1,2,n,例4：设xn(0,1)，求x的特征函数。 解:,例5 ：设随机变量x的特征函数为gx(t) ， y=ax+b，其中a, b为任意实数，证明y的特征函数gy(t)为 。 证：,例6：设随机变量yn( , 2) ，求y的特征函数为gy(t)。,解：xn(0 , 1)

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