一次函数讲义

1、第二十章：一次函数第一节：一次函数的概念一、一次函数的概念：一般地，形如的函数，叫做一次函数。其中当时，就是我们学过的正比例函数，所以正比例函数是一种特殊的一次函数。当时，即，这是一个常值函数，它不是一次函数。例一：下列函数中，哪些是一次函数？（1）（2）（3）（4）（5）（6）例二：已知函数是一次函数，求其函数关系式。例三：已知函数（1） 该函数是一次函数，求的取值范围；（2） 该函数是正比例函数，求的取值范围；（3） 该函数是常值函数，求的取值范围；二、用待定系数法求一次函数解析式例四：已知一个一次函数，当自变量，函数值；当时，求这个函数的解析式。例五：2010年9月，为了让我校师生及市民

2、更好的了解世博的相关知识，我们特别制作了宣传海报，甲印刷厂提出每份材料收0.2元印刷费，另收500元的制版费；乙印刷厂提出每份材料收0.4元印刷费，不收制版费，问：（1） 分别写出两印刷厂的收费（元）与印制数量（份）之间的函数解析式；（2） 我校要印制2400份宣传材料，选择哪家印刷厂较合算？（3） 我校拿出2000元用于印制宣传材料，哪家印刷厂印制的多?多多少份？第二节：一次函数的图像一、求函数与坐标轴的两交点坐标：求与轴的交点坐标_；求与轴的交点坐标_；例一、求下列函数与坐标轴的两个交点坐标：（1）（2）（3）二、一次函数的图像一次函数图像的确定_例二、在直角坐标系中画出的图像：三、一次函

3、数的截距:一次函数的截距是一次函数图像与轴交点坐标的纵坐标。注：截距不是距离，截距可以为负数。例三：写出下列直线的截距：（1）（2）（3）（4）例四：已知点A（2，-3）和点B（6,3）.（1） 求直线AB的表达式，并在直角坐标系中画出直线AB.（2） 求直线AB与两坐标轴交点P和Q的坐标，并求OPQ的面积 。（3） 点M（3.5，-0.7）是否在直线AB上？为什么？四、函数的平移法则：将分别向上、下、左、右平移3个单位后得到的函数解析式是什么？函数的平移法则是：五、两条直线的位置关系：直线（）和直线（）当时，且当与有交点时，。当重合时，且例五：已知直线与直线互相平行，求的值和两直线的解析式.

4、例六：已知直线与直线平行，且经过点（1,6），如果这条直线又经过点P(6，)，求的值.例七：已知：一条直线经过点A（0,4），点B（2,0）,将这条直线向左平移，与轴负半轴，轴负半轴分别交于点C、D，且使DB=DC，求直线CD的解析式.例八：已知直线与轴、轴分别交于A、B两点，若把AOB沿直线AB翻折，点O落在点C处。（1） 求点C坐标；（2） 求直线BC的解析式；（3） 直线BC与直线AC的斜率有怎样的数量关系？一条重要结论：六、一次函数与一元一次方程（组）的关系：一元一次方程的解就是一次函数的图像与轴的交点的横坐标；直线与直线的交点坐标就是联列方程组的解.例九：已知直线与直线，（1） 求这

5、两条直线的交点坐标；（2） 求这两条直线与轴围成的面积.例十：已知，直线PA是一次函数的图像，直线PB是一次函数的图像（1） 用、表示出A、B、P的坐标；（2） 若Q是PA与轴的交点，且四边形PQOB的面积是，AB=2,求直线PB、PA的解析式.七、一次函数与不等式的关系：例十一：一次函数图像经过A（-3,0）和B（0,1），（1） 当时，求的取值范围；（2） 如果一次函数的解析式是，那么关于的不等式的解集是什么？（3） 求在该直线上且位于点A向上一侧的点的从坐标的取值范围例十二：某水产品养殖加工厂有200名工人，每名工人每天平均捕捞水产品50千克，或将捕捞的水产品40千克进行精加工，已知每千

6、克水产品直接售出可获得利润6元，精加工后再售出，可获得利润18元，设每天安排名工人进行水产品精加工，如果每天精加工的水产品和未来得及加工的水产品全部出售，那么如何安排生产可使一天的利润最大？第三节：一次函数图像的性质一、一次函数图像的性质：一次函数：的图像1、增减性当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；（同正比例函数）2、象限当，时，图像经过一、二、三象限；当，时，图像经过一、三、四象限；当，时，图像经过一、二、四象限；当，时，图像经过二、三、四象限；例一：填表增减性象限例二：已知关于的一次函数的图像与轴交点在轴的上方，且随着的增大而减少，求的取值范围。例三：已知某一次函数与坐标轴围成的

7、图形面积为10，且函数值随着的增大而增大，求此函数解析式.例四：已知一次函数，（1） 如果图像经过一、三、四象限，求的取值范围；（2） 试判断图像能否经过一、二、四象限.第四节：一次函数的应用例一：为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县。根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。其余

8、的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220200200运往E县的费用（元/吨）250220210为即使将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？例二：某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，

9、可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。（1）按要求安排A、B两地产品的生产件数，有哪几种方案？请你给设计出来。（2）设生产A、B两种产品获总利润为y（元），其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？例三：某糖厂向B市销售糖块，如果从铁路托运，每千克需运费0.5元，若厂家派人从公路运送，需出差补助费240元，然后每千克需运0.26元。（1）设该厂向B市销售糖块为x千克，铁路运费为y1元，公路运送的费用为y2元，分别计算两种运送方案所需费用（建立表达式）。（2）当

10、向B市销售糖块多少千克时，两种运送的费用一样？（3）就销售的糖块的重量为x千克，讨论哪种运送方案更合算。例四：“5.12”汶川大地震后，某健身器材销售公司通过当地“红十字会”向灾区献爱心，捐出了五月份全部销售利润。已知该公司五月份只售出甲 乙 丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8台，五月份的支出包括这批器材的进货看64万元和其他各项支出（含人员工资和杂项开支）3.8万元。这三种器材的进价和售价如下表，人员工资y1和杂项支出y2分别于总销售量x成一次函数关系（如图）型号甲乙丙进价0.91.21.1售价1.21.61.3（1）求y1于x的函数关系式（2）求五月份该公司的总销售量（3）设公司五

11、月份售出甲型号t台，五月份总销售利润为w，求w与t的函数关系（销售利润=销售额-进价-其他各项支出）（4）请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值例五：某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1万元，其原材料成本价(含设备损耗等)为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产生.为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理.现有两种方案可供选择.方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元.方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理.每处理1吨废渣需付0.1万元的处理费.(1)设工厂每月生产x件产品，每月利润

12、为y万元，分别求出用方案一和方案二处理废渣时，y与x之间的函数关系式(利润=总收入-总支出)；(2)如果你作为工厂负责人，那么如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最合算.例六：某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知：生产一件A种产品需用甲种原料9kg、乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4kg、乙种原料10kg，可获利润1200元。（1）若安排A、B两种产品的生产，共有哪几种方案？请你设计出来。（2）设生产A、B两种产品获得的总利润是y元，其中一种产品的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案可以获得最大总利润。最大的总利润是多少？例七：杨嫂在再就业中心的支持下，创办了“润扬”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息.买进每份0.2元，卖出每份0.3元；一个月(以30天计)内，有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份.一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸，以每份0.1元退回给报社.(1)填表：一个月内每天买进该种晚报的份数 100 150 当月利润(单位：元) (2)设每天从报社买进这种晚报x份(120x200)时，月利润为y元，试求y与x之间的函数关系式