高中数学 第一章1.3.2《等比数列及其前n项和》课时训练 北师大版必修5（通用）

1、1.3.2几何级数及其前n项第一组问题几何级数的基本运算1.在所有项目都为正的几何级数中，a2、a3和a1是算术级数，则值为()A.不列颠哥伦比亚省或分析：让an的公比为q，a1 a2=a3， a1 a1q=a1q2，即Q2-q-1=0， q=,安 0， q 0，q=，=。答：答2.(2020浙江高考)让几何级数an的公比为Q=，前N项之和为Sn，则=_ _ _ _ _ _ _。解析：a4=a1(3)=a1，S4=a1，=15.回答：153.(2020宁夏和海南高考)几何级数中an的公比大于0。如果已知A2=1和An 2 An 1=6，则an和S4的前四项=_ _ _ _ _ _ _。分析结果

2、为：an u 2an 1=6an，an u 2an=6an(an0)，q2+q-6=0， q=-3或q=2。q0,q=2,a1=,a3=2,a4=4，S4=+1+2+4=.回答：问题组2几何级数的性质4.(2020广东高考)众所周知，几何级数an的公比是正的，A3a9=2a，A2=1，那么A1=()A.公元前2世纪分析：A3A9=2a=a，=0。a2=1=a1， a1=。回答：b5.如果S6: S3=1: 2，那么S9: S3等于()A.12 B.23 C.34 D.13分析： an 是几何级数。S3，S6-S3，S9-S6成为几何级数。即，(S6-S3) 2=S3 (S9-S6)，* S6:

3、S3=1:2， s=S3 (S9-S3)，即S3=S9，S9S3=34.答：c6.假设an是具有公共比率q的几何级数，q|1，并且假设bn=an 1 (n=1，2，)。如果序列bn在集合 53，-23，19，37，82中有四个连续的项，则6q=_ _ _ _ _分析结果是：* bn=an-1， an=bn-1，而bn在 53，-23，19，37，82集合中有四个连续的术语。an在这一组有四个连续的术语-54，-24，18，36，81。 an 是几何级数，其公比是q，|q|1。an的四个连续任期是-24，36，-54，81，q=-=-,6q=-9.回答：-9第三组问题几何级数的判断与证明7.如果

4、数列an满足=p (p是一个标准数，nN*)，那么an就叫做“等平方比数列”。a:数列an是等平方比数列；b:如果数列an是几何级数，那么()A.a是b的充分条件，但不是必要条件B.a是b的必要条件，但不是充分条件C.B的一个充要条件D.a既不是b的充分条件，也不是b的必要条件分析：如果数列an是几何级数，它是=q，如果它可以得到=Q2，那么an是等平方比数列。当an是等平方比级数时，它是=p (p是一个正常数，nN*)，当n1=，所以这个级数an回答：b8.让序列an的前n项之和为Sn，我们知道A1 2a2 3a3 nan=(n-1) Sn 2n (n n *)。(1)找出a2和a3的值；(

5、2)证明：序列sn 2是一个几何级数。(1)a1 2 a2 3 a3nan=(n-1)sn 2n(nn * ),当n=1时为，a1=21=2；当n=2时，a1 2a2=(a1 a2) 4，a2=4；当n=3时，a1 2a2 3a3=2 (a1 a2 a3) 6， a3=8。(2)a1+2 a2+3 a3+nan=(N-1)Sn+2n(NN *)，当n2，a1 2 a2 3 a3(n-1)an-1=(n-2)sn-1 2(n-1)。-获取nan=(n-1)sn-(n-2)sn-12=n(sn-sn-1)-sn 2sn-12=nan-sn 2sn-12。-sn 2sn-1 2=0，即sn=2sn-

6、1 2， sn 2=2 (sn-1 2)。S1+2=40,Sn-1+20,=2，因此，sn 2是一个几何级数，第一项为4，公共比率为2。问题组4几何级数的综合应用9.已知an是几何级数，a2=2，a5=，然后a1 a2 a3Anan 1=()a16(1-4-n)B16(1-2-n)c(1-4-n)d(1-2-n)分析：q3=， Q=，A1=4，系列Anan 1是一个几何级数，第一项为8，具有共同的比率。得到c的答案并不难.答：c(理论)在几何级数an中，an 0 (n n)，公比q(0，1)，a1a5 2a3a5 a2a8=25，a3和a5之间的等比例的中间项为2，bn=log2an，序列bn

7、的前n项为和A.8 B.9 C.8或9 D.17分析：* a1 a5 2 a3 a5 a2 A8=25。a+2a3a5+a=25，并且an 0， a3 a5=5，和q(0，1)， a3 a5，而a3 a5=4， a3=4，a5=1，q=,a1=16,an=16()n-1=25-n，bn=log2an=5-n，bn+1-bn=-1，bn是算术级数，B1=4作为第一项，而-1作为容差。Sn=,=，当n8时， 0；当n=9时，=0；当n 9时0，.n=8或9时最大。答：c10.众所周知，序列an的前三项对应于序列bn的前三项，并且a1 2 a2 2 a32n-1an=8n对于任何nN*都成立，并且序

8、列bn 1-bn是算术级数。(1)求出级数an和bn的通式；(2)问是否有kN*，以便(bk-AK)(0，1)？请解释原因。解决方案：(1)我们知道a1 2 a2 32n-1an=8n(nn *)当n2时，a1 2 a2 2 a32n-2an-1=8(n-1)(nn *)-得到2n-1an=8和an=24-n，在中设n=1，得到a1=8=24-1。an=24-n(nN*).根据问题的意思，B1=8，B2=4，B3=2，b2-b1=-4,b3-b2=-2，系列bn 1-bn的容差为-2-(-4)=2，bn+1-bn=-4+(n-1)2=2n-6，方法1:迭代方法：bn=B1+(B2-B1)+(B

9、3-B2)+(bn-bn-1)=8+(-4)+(-2)+(2n-8)=n2-7n+14(nN*)。方法2:可以使用累加法。即bn-bn-1=2n-8，bn-1-bn-2=2n-10，b3-b2=-2，b2-b1=-4，b1=8，添加bn=8 (-4) (-2) (2n-8)=8+=n2-7n+14(nN*)。(2)bk-AK=k2-7k+14-24-k。让f (k)=k2-7k 14-24-k。当k4时，f (k)=(k-) 2 -24-k单调增加。f (4)=1，当k4时，f (k)=k2-7k 14-24-k 1。f (1)=f (2)=f (3)=0， kN*不存在，所以(bk-AK)(

10、0，1)。(有理)算术级数an的前n项之和为Sn，S4=24，a2=5。对于每kN*，在ak和AK 1之间插入2k-1个，以获得一个新的序列bn，其前N个项的和为t n。(1)找到序列an的通项公式；(2)序列bn中的a11是什么项目？(3)是否有正整数m使得TM=2020？如果存在，计算m的值；如果没有，请解释原因。解决方案：(1)让an的容差为d，S4=4a1 d=24，a2=a1 d=5，a1=3,d=2,an=3+(n-1)2=2n+1.(2)根据问题的含义，a11前插入的1的总数是1 2 22.29=1023，1023 11=1034，因此a11是序列bn的第1034项。(3)根据问题，sn=na1 d=N2 2n，在之前插入的1的总数是1 2 22 2n-2=2n-1-1。因此，在序列bn中，an