透镜的位相变换作用

1、2.6.3 透镜的一般变换特性,2.6 透镜的ft变换性质,2.6-1透镜的相位变换作用,2.6.2 透镜的ft特性,透镜：光密介质（玻璃、塑料等），v c 。,薄透镜：忽略光线在透镜内由于折射而产生的平移， 0,薄透镜的作用:若忽略吸收，仅使入射波前产生相位延迟，其大小正比于透镜各点的厚度。（把透镜看成是一个相位型的衍射屏）,2.6-1透镜的相位变换作用,光波通过透镜时产生的总相位延迟：,其中：n是透镜材料的折射率； kn(x,y) 是由透镜引起的相位延迟， (x,y) 是透镜的厚度函数， k0-(x,y)是由两个平面之间剩下的自由空间区域引 起的相位延迟。,透镜的相位变换函数（复振幅透过率

2、函数）：,设： 为紧贴透镜前面的光场分布， 为紧贴透镜后面的平面上的光场复振幅分布， 二者之间有关系如下：,该式表示了透镜的作用,只要知道了厚度函数(x,y) 的表示式，则tl(x,y)就知道了下面分别用两种方法求(x,y)的表示式,推导方法：,研究无像差、孔径无限大的正薄透镜对点光源的成像过程。如图所示：,几何光学观点：点物成点像； 波动光学观点：透镜将一个发散球面波变换成一个会聚球面波。,在傍轴近似下,忽略常数和常相位因子,f 为透镜焦距,考虑到实际透镜的有限孔径大小, 引入光瞳函数p(x,y), 透镜的相位变换函数(复振幅透过率函数）可写成:,理解透镜相位变换的物理意义,可通过考察透镜对

3、垂直入射的单位振幅平面波的效应，来理解透镜相位变换的物理意义,第一项是常数相位延迟，第二项可理解球面波的二次曲面近似。,球面透镜将平面波变换成球面波的结论, 在很大程度上依赖于傍轴近似。在非傍轴条件下, 即使透镜表面是理想球面，出射波前（波面）也将显示出对理想球面的偏离（像差）。事实上，常常把透镜表面磨成非球面形式，以减少出射波前对球面的偏离，从而“校正”透镜的像差。,2.6.2 透镜的ft特性,会聚透镜除具有成像性质外，另一个最突出和最有用的性质就是它能够进行二维ft。 正因如此，傅立叶分析方法才得以用于光学。,下面以三种常用的光路结构形式，说明透镜的ft性质,设物体的复振幅透过率函数为to

4、(x,y), 其频谱为to(u,v). 即: to(u,v)=ftto(x,y),（1）物体紧靠透镜前,略去exp(jkf),由上式可见，后焦面的光场分布与透镜孔径所包围的那一部分入射光场的ft成正比,若物体尺度小于透镜孔径,p(x,y)可以略去;同时,令a=1,可得到：,后焦面上坐标 (xf,yf)处的光场的振幅和相位，由物体中频率为(u,v)的傅立叶分量的振幅和相位决定。,可见：后焦面上空间坐标与空间频率坐标的关系为:,注意：此时, 积分号前有一个二次相位因子，焦平面和物面的光场分布之间的ft不是准确的，但对强度分布不影响。,强度分布为:,(2) 物体位于透镜之前,暂时不考虑透镜孔径的有限

5、大小，即令,则后焦面上的光场分布为：,一般情况下，ft前面仍有二次相位因子 ，不是准确的ft，但不影响强度分布。,当 do=f 时，二次相位因子消失，为零。得到准确的ft关系：,考虑透镜孔径的有限大小,物体的渐晕,方向余弦,空间频率成分,由于透镜孔径有限所引起的对物体大小的有效限制, 称为渐晕（vignetting）效应。（透镜有限孔径对物面空间频率成份传播的限制成为渐晕）。,当物体越靠近透镜，透镜孔径比物体大越多时，物平面上的渐晕效应越小。实际上，往往喜欢把物体放在紧贴着透镜的地方以尽量减小渐晕，但在理论分析时，一般把物体放在前焦面上要方便些，因为这时ft关系准确成立。,3物体在透镜之后,在

6、傍轴近似下，投射到物体上的是一个向透镜后焦点会聚的球面波,入射到物体上的球面波的振幅，近似为,照明物体光波是会聚球面波,在傍轴近似下，表示为：,因为透镜孔径有限大小，物体受到照明的特定区域由光束的会聚圆锥与物平面的交线确定。 如果透镜是一个直径为d的圆透镜，那么物平面上有一个直径 dd/f 为的圆形区域被照明。 照明光斑的有限大小在数学上可以把透镜的光瞳函数沿着光束圆锥投影到物面上来表示，结果给出一个物平面上的一个有效光瞳函数:,物体所透射的光场分布为：,焦面上的光场分布为：,将o(xo,yo) 代入，并略去常相位因子exp(-jkd) , 得:,此式表明: 焦平面上的振幅分布是由投影后的透镜

7、孔径所覆盖的那一部分物体的ft. 只差一个二次相位因子。,上式, 实质上与当物体紧靠着透镜放置时相同，只不过孔径函数的取值范围产生了变化；当df时，则与之完全相同。,当物体孔径完全被照明，其中透镜有效孔径函数可以略去，可得到物体ft,这种放置的好处是：ft的大小尺寸可以受实验者控制。通过改变d，频谱区的尺寸可以改变。d ，变换的空间尺寸也变大，直到df ；d ，变换的空间尺寸也变小。增加了灵活性，在空间滤波中应用。,上面考虑透镜的ft性质时，均假设用平面光波照射；这相当于光源位于无穷远；ft面（频谱面）均在透镜的后焦面上（光源的共轭面上）。 若用发散球面波照明，即光源在有限远处，则在光源的共轭

8、面（像面）上得到物体的ft（频谱），一般会相差一个常相位因子。,透镜的ft特性(教材上得方法)：,(1) 物在透镜前：,先写出单色点源在物平面前的光场分布， 再写出透过物面后的光场分布， 用菲涅尔衍射写出透镜前表面的光场， 再乘上透镜的相位变换函数和孔径函数，写出透镜后的光场分布， 再由菲涅尔衍射得到像平面上的光场分布。,步骤:,(c),(d),(e),(f),将c和e两式代入d式, 再代入f式, 再整理得到,当不考虑孔径大小的影响时：,由此式可以看出：点光源共轭面上的光场分布，除二次相位因子外，就是物函数的ft.,其中:,(2.4.9),当 p , q = f , 即光源在无穷远, 平行光入

9、射时, 上式变成:,频谱面在后焦面, 其中,当p , q = f , 即光源在无穷远, 平行光入射时; 且 d0 = f , 即物在前焦面时, 上式变成:,物体位于前焦面，在后焦面上得到准确的ft。,(2.4.10),当p , q = f ,即光源在无穷远, 平行光入射时; 且 d0 = 0 时, 即紧贴透镜时, 上式变成:,(2.4.11),(2) 物在透镜后：,写出单色点源在透镜前表面的光场分布， 写出透镜后表面的光场分布， 由菲涅尔衍射写出物面前的光场分布， 物面后的光场分布， 再由菲涅尔衍射得到光源在共轭面上的光场分布。,(2.4.12),(a),(b),(2.4.13),(c),(d),将 b式和 d式代入 c式, 再代入2.4.13式, 经整理得:,(