06年《线性代数与几何》(下) 第1次课_24719.ppt

1、1,第四节 分块矩阵,2,1、相等、加法与数乘,第四节 分块矩阵,设A、B为同型矩阵且分法相同：,2、乘法,3,3、转置,第四节 分块矩阵,4、分块对角阵,4,第四节 分块矩阵,4、分块对角阵,5,第四节 分块矩阵,5、分块对角阵求逆,其中， A1，A2，As均为可逆矩阵，则A可逆，且,6,第四节 分块矩阵,6、分块三角阵求逆,称为分块上（下）三角阵,第五节 矩阵的初等变换,7,定义：初等变换 如下3种变换称为矩阵的初等行（列）变换 互换矩阵中的两行（列） ； 用一个非零的数乘以矩阵的某一行（列） ； 将矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行（列） 。,以上3种变换在行列式中采用过,8,定义：矩阵

2、等价 如果矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B， 则称A与B等价，记作AB,性质： （1） 反身性：AA （2）对称性： AB，则BA （3）传递性： AB， BC，则AC.,9,定义：阶梯型矩阵 具有如下特征： （1）若有零行，全部位于零行的下方 （2）由上至下的各非零行中，首零元素的个数随行数的 增加而增加,10,定义：行最简阶梯型矩阵 （1）行阶梯型矩阵 （2）各非零行的首非零元均为1； （3）各首非零元所在列的其余元素皆为零,11,定理： 任一非零矩阵都可经过初等行变换变换为行阶梯形矩阵,推论： 任一非零矩阵都可经过初等行变换变换为行最简阶梯形矩阵,定理： 任一非零矩阵都可经过初等行变换

3、变换为标准形矩阵,定义：标准型矩阵 矩阵分块后具有如下特征： （1）位于左上角的子块是一个r阶单位阵 （2）其余的子块（如果有的话）都是零矩阵,12,定理： 矩阵的初等变换不改变方阵的可逆性,定理： n阶矩阵A可逆的充要条件是它的标准型是单位矩阵,推论： 可逆矩阵必可经过一系列初等变换化为单位矩阵,定义：矩阵的k级子式（请与行列式的子式对比） 在一个mn级矩阵A中，选定k行k列，位于这些行列交点上的k2个元素按原来的次序组成一个k级行列式，称为A的k级子式。,第六节 矩阵的秩,定义：矩阵的秩 一个mn级矩阵A，如果矩阵中至少有一个r级子式不为零，且全体r+1阶子式全为零,则矩阵A的秩为r，记作

4、R（A）. （1）零矩阵没有非零子式，因此规定R（0）=0 。 （2）0 R（A mn ） minm，n。 （3）因A的一个k阶子式的转置也是AT的一个k阶子式，所以 A与AT有相 同的秩。 定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,定义：满秩矩阵 一个mn级矩阵A，如果R（A）= m，则称A为行满秩矩阵；如果R（A）= n，则称A为列满秩矩阵； 若A为n阶矩阵，且R（A）=n，则称A为满秩矩阵. 推论：n阶矩阵A可逆的充要条件是A为满秩矩阵,16,定义：（初等矩阵） 由单位矩阵经一次初行变换得到的矩阵称初等矩阵。 1) 矩阵I中互换i与j行的位置,第七节 初等矩阵,17,2) 矩阵I中的第i行乘以k0,3) 矩阵I的第j行的k倍加到第i行,18,定理：对矩阵进行一次初等行变换等价于左乘初等矩阵； 对矩阵进行一次初等列变换等价于右乘初等矩阵；,定理：n阶矩阵A可逆的充要条件是： A可表示为一系列初等矩阵的乘积,19,定理：n阶矩阵A可逆的充要条件是： A可表示为一系列初等矩阵的乘积,推论：两个mn阶矩阵A，B等价的充要条件是：