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文档简介

1、1,第四节 分块矩阵,2,1、相等、加法与数乘,第四节 分块矩阵,设A、B为同型矩阵且分法相同:,2、乘法,3,3、转置,第四节 分块矩阵,4、分块对角阵,4,第四节 分块矩阵,4、分块对角阵,5,第四节 分块矩阵,5、分块对角阵求逆,其中, A1,A2,As均为可逆矩阵,则A可逆,且,6,第四节 分块矩阵,6、分块三角阵求逆,称为分块上(下)三角阵,第五节 矩阵的初等变换,7,定义:初等变换 如下3种变换称为矩阵的初等行(列)变换 互换矩阵中的两行(列) ; 用一个非零的数乘以矩阵的某一行(列) ; 将矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列) 。,以上3种变换在行列式中采用过,8,定义:矩阵

2、等价 如果矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B, 则称A与B等价,记作AB,性质: (1) 反身性:AA (2)对称性: AB,则BA (3)传递性: AB, BC,则AC.,9,定义:阶梯型矩阵 具有如下特征: (1)若有零行,全部位于零行的下方 (2)由上至下的各非零行中,首零元素的个数随行数的 增加而增加,10,定义:行最简阶梯型矩阵 (1)行阶梯型矩阵 (2)各非零行的首非零元均为1; (3)各首非零元所在列的其余元素皆为零,11,定理: 任一非零矩阵都可经过初等行变换变换为行阶梯形矩阵,推论: 任一非零矩阵都可经过初等行变换变换为行最简阶梯形矩阵,定理: 任一非零矩阵都可经过初等行变换

3、变换为标准形矩阵,定义:标准型矩阵 矩阵分块后具有如下特征: (1)位于左上角的子块是一个r阶单位阵 (2)其余的子块(如果有的话)都是零矩阵,12,定理: 矩阵的初等变换不改变方阵的可逆性,定理: n阶矩阵A可逆的充要条件是它的标准型是单位矩阵,推论: 可逆矩阵必可经过一系列初等变换化为单位矩阵,定义:矩阵的k级子式(请与行列式的子式对比) 在一个mn级矩阵A中,选定k行k列,位于这些行列交点上的k2个元素按原来的次序组成一个k级行列式,称为A的k级子式。,第六节 矩阵的秩,定义:矩阵的秩 一个mn级矩阵A,如果矩阵中至少有一个r级子式不为零,且全体r+1阶子式全为零,则矩阵A的秩为r,记作

4、R(A). (1)零矩阵没有非零子式,因此规定R(0)=0 。 (2)0 R(A mn ) minm,n。 (3)因A的一个k阶子式的转置也是AT的一个k阶子式,所以 A与AT有相 同的秩。 定理:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,定义:满秩矩阵 一个mn级矩阵A,如果R(A)= m,则称A为行满秩矩阵;如果R(A)= n,则称A为列满秩矩阵; 若A为n阶矩阵,且R(A)=n,则称A为满秩矩阵. 推论:n阶矩阵A可逆的充要条件是A为满秩矩阵,16,定义:(初等矩阵) 由单位矩阵经一次初行变换得到的矩阵称初等矩阵。 1) 矩阵I中互换i与j行的位置,第七节 初等矩阵,17,2) 矩阵I中的第i行乘以k0,3) 矩阵I的第j行的k倍加到第i行,18,定理:对矩阵进行一次初等行变换等价于左乘初等矩阵; 对矩阵进行一次初等列变换等价于右乘初等矩阵;,定理:n阶矩阵A可逆的充要条件是: A可表示为一系列初等矩阵的乘积,19,定理:n阶矩阵A可逆的充要条件是: A可表示为一系列初等矩阵的乘积,推论:两个mn阶矩阵A,B等价的充要条件是:

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