第七章 应力状态与应变状态分析强度理论

1、,第七章 应力状态与应变状态分析,材料力学,第七章 应力状态与应变状态分析,71、2 应力状态的概念 73 平面应力状态分析解析法 74 平面应力状态分析图解法,75 三向应力状态研究应力圆法,78 复杂应力状态下的应力 - 应变关系 （广义虎克定律）,79 复杂应力状态下的应变能密度,710 强度理论概述,711 四种常用的强度理论,1、单元体： 单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质 a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。 如果一点的某个单元体的六个面的应力确定，那么该点的其它截面的应力也就确定了，所以该单元体的应力状态就可以

2、代表该点的应力状态。,一、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，不同截面上的应力不同，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）,应力状态与应变状态,7、2 应力状态的概念及实例,原始单元体（已知单元体）：,例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。,应力状态与应变状态,2、主单元体、主面、主应力：,主单元体(Principal bidy)： 各侧面上剪应力均为零的单元体。,主平面(Principal Plane)： 剪应力为零的截面。,主应力(Principal Stress ）： 主面上的正应力。,主应力排列

3、规定：按代数值大小，,应力状态与应变状态,s1,s2,s3,x,y,z,sx,sy,sz,三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。,二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态，也叫平面应力状态。,应力状态与应变状态,单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。,应力状态与应变状态,3、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上,如果有与相交边

4、垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。,x 表示面的外法线方向（第一个下标）,y 表示应力方向（第二个下标）,例2 薄壁圆筒的内压力为 p , 内直径为 D ，厚度为 t。,应力状态与应变状态,二、二向应力状态实例 -薄壁圆筒容器 ( ) 的应力状态,n,n,p,横截面上的应力,应力状态与应变状态,纵截面上正应力,d,ds=d*D/2,应力状态与应变状态,应力状态与应变状态,三、三向应力状态实例 1、滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点处的应力状态,2、三轴拉压,规定： 拉应力为正； t a 绕研究对象顺时针转为正； a 从x到n逆时针为正。,一、任意斜截面上的应力,

5、应力状态与应变状态,73 平面应力状态分析解析法,应力状态与应变状态,考虑剪应力互等和三角变换，得：,设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：,应力状态与应变状态,Example 1. Determine normal and shearing stresses on the inclined plane when .,解:,(compression),(clockwise),二、极值应力,应力状态与应变状态,max在剪应力相对的项限内，且偏向于x 及y大的一侧。,极值剪应力,应力状态与应变状态,例2 分析受扭构件的破坏规律。,解：确定危险点并画其原 始单元体,求极值应力,应力状态与应变状态,O

6、,破坏分析,应力状态与应变状态,铸铁,74 平面应力状态分析图解法,一、应力圆（ Stress Circle）,应力状态与应变状态,Radius:,Center:,Mohrs Circle,此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）,应力状态与应变状态,Without loss of generality, let,二、应力圆的画法,建立应力坐标系，如下图所示，(注意选好比例尺）,在坐标系内画出点D( x，xy)和D (y，yx),DD与sa 轴的交点C便是圆心。,以C为圆心，以CD为半径画圆应力圆,应力状态与应变状态,注意： 单元体内任意斜面上的应力都对应着应力圆

7、上的一个点,F,20,应力状态与应变状态,Point E,应力状态与应变状态,应力状态与应变状态,三、单元体与应力圆的对应关系,面上的应力( ， ) 应力圆上某一点 的( ， ),面的法线旋转方向 应力圆的半径旋转方向相同,两面夹角 两半径夹角2 ；且转向一致。,四、从应力圆上读出极值应力,应力状态与应变状态,Example 1. The plane stressed state is shown in figure. Determinate and their directions.,Solution:,(1) Construct a Mohrs circle,(2) Determine a

8、nd,(3) Determine and their direction,应力状态与应变状态,(3) Determine and their direction,x,应力状态与应变状态,x,在剪应力相对的项限内，且偏向于x 及y大的一侧。,例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa),A,B,解：主应力坐标系如图,AB的垂直平分线与sa 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆,应力状态与应变状态,s1,s2,在坐标系内画出点,应力状态与应变状态,s1,s2,主应力及主平面如图,A,B,应力状态与应变状态,如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q0，试确定截

9、面上各点主应力大小及主平面位置。,单元体：,三、梁的主应力及其主应力迹线,应力状态与应变状态,梁的主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。,实线表示拉主应力迹线,虚线表示压主应力迹线。,应力状态与应变状态,应力状态与应变状态,y,1,1 截面,2,2 截面,3,3 截面,4,4 截面,i,i 截面,n,n 截面,75 三向应力状态研究应力圆法,应力状态与应变状态,1、空间应力状态,2、三向应力分析,弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。,图a,

10、图b,整个单元体内的最大剪应力为：,应力状态与应变状态,例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）,解：由单元体图知：y z面为主面,建立应力坐标系如图，画应力圆和点1,得:,应力状态与应变状态,50,40,30,A,B,C,(3) Determine and their direction,应力状态与应变状态,max,77 复杂应力状态下的应力 - 应变关系 （广义虎克定律）,一、单拉下的应力-应变关系,二、纯剪的应力-应变关系,应力状态与应变状态,1、 广义虎克定律 2、体应变,三、复杂状态下的应力 - 应变关系,依叠加原理,得:,应力状态与应变状态,满足各向同性、小变形、线弹性，

11、则只与有关，只与有关。,x-direction,y-direction,z-direction,应力状态与应变状态,广义胡克定律,四、平面状态下的应力-应变关系:,四、主应力 - 主应变关系,应力状态与应变状态,主应力与主应变方向一致,五、体积变化与应力之间的关系,体应变：,体积应变与应力分量间的关系:,应力状态与应变状态,78 复杂应力状态下的应变能密度,应力状态与应变状态,体积改变能密度vV,形状改变畸变能密度vd,即畸变能，也称形状改变比能或歪形能。,应力状态与应变状态,例9 用能量法证明三个弹性常数间的关系。,纯剪单元体的比能为：,纯剪单元体比能的主应力表示为：,应力状态与应变状态,强

12、度理论,一、失效的概念与分类,材料的力学行为使构件丧式正常功能的现象构件失效,失效分类:,强度失效 刚度失效 屈曲失效 疲劳失效 蠕变失效 松弛失效,常温、静载,屈服（塑性）,断裂（脆性）,710 强度理论的概念,1、单向应力状态下材料的失效判据(由实验获得)，及强度条件,失效判据: 塑性材料,脆性材料,max= xj= b,max= xj= s,难 点 应力状态的多样性 试验的复杂性 不可能性与可能性,2、复杂应力状态下强度失效判据与设计准则,材料断裂/屈服的可能原因（假说；与应力状态无关）： a、正应力 b、剪应力 b、线应变 d、畸变能（变形比能）,利用单向拉伸试验的结果建立复杂应力状态

13、下的失效判据 及强度条件,强度理论,强度理论,二、强度理论,(是关于“构件发生强度失效起因”的假说),强度条件：,711 四种常用的强度理论及其相当应力,一、最大拉应力（第一强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。,1、破坏判据：,2、强度准则：,3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。,强度理论,二、最大伸长线应变（第二强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。,1、破坏判据：,2、强度准则：,3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。,强度理论,三、最大剪应力（

14、第三强度）理论： 认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。,1、破坏判据：,3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。,2、强度准则：,强度理论,四、形状改变比能（第四强度）理论： 认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。,1、破坏判据：,2、强度准则,3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。,强度理论,五、强度条件的统一形式,强度条件可统一写作：,r 称为相当应力,强度理论,四个强度理论的相当应力表达式,第4强度理论 形状改变比能理论,第1强度理论 最大拉应力理论,第2强度

15、理论 最大伸长线应变理论,第3强度理论 最大剪应力理论,强度理论,在大多数应力状态下,脆性材料将发生脆性断裂.因而应选用第一、第二强度理论;而在大多数应力状态下,塑性材料将发生屈服和剪断.故应选用第三强度理论或第四强度理论. 但材料的破坏形式不仅取决于材料的力学行为,而且与所处的应力状态,温度和加载速度有关.实验表明,塑性材料在一定的条件下(低温和三向拉伸),会表现为脆性断裂.脆性材料在三向受压表现为塑性屈服.,强度理论,铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀而被胀裂，而管内的冰却不会破坏。这是因为（ ）。,A.冰的强度较铸铁高；,B.冰处于三向受压应力状态；,C.冰的温度较铸铁高；,D.冰的应力等于零

16、。,强度理论,强度理论的应用,一、强度计算的步骤：,1、外力分析：确定所需的外力值。,2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。,3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体， 求主应力。,4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行 强度计算。,强度理论,二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。,1、脆性材料：通常使用第一或第二强度理论；,3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用：,2、塑性材料：当3大于等于零时（三向拉伸）用第一理论；,4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！,当3小于零而1大于零时，使用莫尔理论。,当1小于等于零时（三向压缩）用第三或第四理论,其它应力状态时，使用第三或第四理论。,强度理论,解：危险点A的应力状态如图：,例1 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, 为铸铁构件，=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。,故，安全。,强度理论,例2 薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4, y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa，=170MPa,泊松比=0.3，试用第三强度理论校核其强度。,解：由广义虎克定律得:,所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。,强度理论,例3 图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作