自动控制原理课件 第五章.ppt

1、第五章 线性系统的频域分析法,5.1引言 5.2频率特性 5.3 开环系统的典型环节和开环频率 特性曲线的绘制 5.4频率域稳定判据 5.5 稳定裕度 5.6 闭环系统的频域性能指标,本章重点,开环频率特性的绘制(包括极坐标图和对数坐标图)； 奈奎斯特稳定性判据及其在Bode图中的应用； 对数频率特性和闭环系统性能的关系； 开环频率特性指标； 闭环频率特性指标。,本章难点,1.开环频率特性的绘制； 2.奈奎斯特判据的原理及其应用； 3.剪切频率及相角、幅值裕度的求取； 4.二阶系统频率特性指标和时域指标的换算； 5.典型二型系统频、时域指标的定性关系。,时域方法准确、直观。但用解析法求解系统的

2、时域响应不易。,正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量称为频率响应。 系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率特性。,频域分析法是一种图解分析法，不仅可以反映系统的稳态性能，而且可以用来研究系统的稳定性的暂态性能。,返回,5.1引言,频率特性（又叫频率响应） 频率特性是控制系统在频域中的一种数学模 型，是研究自动控制系统的一种工程求解方法。 系统频率特性能间接地揭示系统的动态特性和 稳态特性，可简单迅速地判断某些环节或参数对系 统性能的影响，指出系统改进方向。 频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动 态模型的系统来说，很有用处。,5.2频率特性,设系统结构如图，,由劳斯判据知系统稳定。,给

3、系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，,Ar=1 =0.5,=1,=2,=2.5,=4,曲线如下:,给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入,同频率的正弦，幅值随而变，相角也是的函数。,A,B,相角问题, 稳态输出迟后于输入的角度为：,该角度与有,A,B,该角度与初始,一频率特性的定义 1.频率响应: 在正弦输入作用下，系统输出的稳态值称为频率响应。 2.频率特性: 频率响应c(t)与输入正弦函数r(t)的复数比。,例5-1：如图所示电气网络的传递函数为,若输入为正弦信号：,其拉氏变换为：,输出拉氏变换为：,其拉氏反变换为：,其稳态响应为：,上式表明：,对于正弦输入，其输出的稳态响应仍然

4、是一个同频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。,幅值频率特性,相角频率特性,例题中输入信号的复数表示为：,例题中输出信号的复数表示为：,它们之比为：,例5-1：无源RC网络 输入：r(t)=Asin t 电容C的等效复阻抗为 则输出量： 式中： 电路输出电压与输入电压的复数比： （RC=T） 这就是无源RC网络的频率特性。,二、频率特性的性质 1、与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型。 它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定，则 频率特性也完全确定。 2、频率特性是一种稳态响应。 系统稳定的前提下求得的，不稳定系统则无法直接观察到稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分

5、量总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。因此，我们仍可以用频率特性来分析系统的稳定性、动态性能、稳态性能等。 3、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。 当频率改变，则输出、输入量的幅值之比A（）和相位移（）随之改变。这是系统中的储能元件引起的。,4、实际系统的输出量都随频率的升高而 现失真，幅值衰减。 所以，可以将它们看成为一个“低通”滤波器。 5、频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去。 三、频率特性的求取： 1、根据定义求取。 即对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出 其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。 2、根据传递函数求取。 即用s=j代入系

6、统的传递函数，即可得到。 3、通过实验的方法直接测得。,幅频特性和相频特性数据,线性定常系统的传递函数表达式为,输入为r(t)=Msin(t)，,若无重极点，上式可写为,四、频率特性与传递函数的关系,若系统稳定，pi都具有负实部，则稳态分量为：,G(j)是一复数，可写为,得到线性系统的幅频特性和相频特性：,频率特性和传递函数的关系为,系统的频率特性也是输入信号的傅氏变换和输出信号的傅氏变换之比。,系统的单位脉冲响应为：,其中,经过傅氏反变换,五、频率特性的几种图示方法,1. 幅相频率特性曲线,它是在复平面上以极坐标的形式来描述的。又称极坐标图。又称Nyquist曲线。,系统的频率特性可表示为：

7、,当=0变化时, A()和j()随而变。以A()作幅值, j()作相角,G(j)H(j)的矢量终端在复平面上运动形成的轨迹,称 Nyquist曲线。,实频特性是的偶函数，虚频特性是的奇函数。为什么？,惯性环节G(j),() = -tg-10.5 ,0,1,-14.5,0.97,-26.6,0.89,-45,0.71,-63.4-68.2 -76 -84,0.450.370.240.05,2. 对数频率特性曲线（Bode图）,在半对数坐标纸上绘制，由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线所组成。,频率的对数分度,半对数坐标：横坐标不均匀，而纵坐标是均匀刻度。,十倍频程,十倍频程,十倍频程,十倍频程,

8、十倍频程,对数幅频特性：,指G(j)的对数值20lg|G(j)|和频率的关系曲线。,对数相频特性：,指G(j)的相角值()和频率的关系曲线。,即纵坐标,L()称为对数幅值，单位是dB(分贝)。,纵坐标是的单位是“”。采用线性刻度。,2.对数坐标图-Bode图,对数幅频 L()=20lgG(jw)H(jw)=20lgA(w) (dB) 对数相频 j()= G(j)H(j) (rad),横坐标是的对数分度, 纵坐标是L()和j()的线性分度，此坐标系称为半对数坐标。,对数坐标系,采用对数坐标图的优点：,（1）将低频段展开，将高频段压缩。,（2）当系统由多个环节串联而成时，简化运算。,（3）所有典型

9、环节乃至系统的频率特性可用分段直线近似表示。,（4）容易将频率实验数据用分段直线拟合，从而得到对数频率特性或传递函数。,3. 对数幅相特性曲线（Nichols图),由对数幅频特性和对数相频特性合并而成。,可以方便求出系统闭环频率特性及有关特征参数，作为评估系统性能的依据。,返回,、典型环节的幅相频率特性,步骤：,（1）求环节或系统的传递函数G(s)； （2）令s=j,求出频率特性表达式G(j)； （3）G(j)分为实部P()和虚部Q()，若G(j)的分母为复数或虚数需要做有理化处理； （4）求出幅频特性A()和相频特性()的表达式，根据不同的值计算和在极坐标上描点并绘制成曲线。,5.3开环系统

10、的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制,1比例环节,比例环节的传递函数为：G(s)=K=const,频率特性表达式为：,2惯性环节,惯性环节的传递函数为：,频率特性表达式为：,此惯性环节的幅相频率特性是一个以(1/2,j0)为圆心，以1/2为半径的半圆。,0,ReG(j),ImG(j),1,惯性环节1G(j),3积分环节,积分环节的传递函数为 ：,频率特性表达式为：,4微分环节,（1）纯微分环节,纯微分环节的传递函数为 ：,频率特性表达式为：,（2）一阶微分环节,一阶微分环节的传递函数为 ：,频率特性为：,5振荡环节,(00.707),0,ReG(j),ImG(j),1,A,B,A:,B:,振

11、荡环节G(j),二阶微分环节,传递函数为 ：,频率特性为 ：,6延迟环节,图的近似绘制:,Gi(s)为除1/s、k外的其他典型环节,二、系统开环幅相频率特性的绘制,1.将开环传递函数按典型环节分解,（1） 起点 低频段,如图5-4所示,2.粗略画三个特殊点,图5-4 频率特性的低频段形状,（2） 终点 高频段,图5-5 频率特性的高频段形状,（3） 与坐标轴的交点, 曲线与实轴的交点, 曲线与虚轴的交点,例5-2设系统的开环频率特性为,已知：K10，T11，T25， 绘制开环幅相频率特性。,解：,返回例5-9,例5-3设某系统的开环频率特性为,绘制开环幅相频率特性。,Im,Re,0,-K(T1

12、+T2),0,GH平面,例5-4 绘制 的幅相曲线。,解：,求交点：,曲线如图所示：,开环幅相曲线的绘制,解得,无实数解，与虚轴无交点,三、典型环节对数频率特性的绘制,1比例环节,比例环节的传递函数为：G(s)=K=const,频率特性表达式为：,L()/dB,0dB,0,(),20lgK,比例环节的Bode图,2惯性环节,频率特性表达式为：,采用近似方法，即用渐近线分段表示频率特性。,对数幅频特性为：,在低频段：1/，即1 ，可略去 22。,频率特性可近似为：L()0dB,低频渐近线,频率特性可近似为：L()-20lg,的频率增大10倍时,L()=L(101)-L(1)=-20(dB),高频

13、渐近线具有-20dB/10倍频程的斜率，记为-20db/dec或-20。高频渐近线正好在1处与低频渐近线相交，交点处的频率称为转折频率。,高频渐近线,对数幅频特性为：,在高频段，1/，即1 ，可略去 1。,0db,20db,40db,-20db,-40db,L(),-20,8db,惯性环节L(),3积分环节,积分环节的传递函数为：,频率特性表达式为：,1时，L()-20lg1=0dB,10时，L()-20lg10=-20dB,0db,20db,40db,-20db,-40db,L(),-20,积分环节L(),4微分环节,纯微分环节,纯微分环节的传递函数为 ：,频率特性表达式为：,1时，L()2

14、0lg1=0dB,10时，L()20lg10=20dB,0db,20db,40db,-20db,-40db,L(),+20,微分环节L(),（2）一阶微分环节,一阶微分环节的传递函数为 ：,频率特性为：,在低频段，即1 ，可略去 22。,在高频段，即1 ，可略去 1。,0db,20db,40db,-20db,-40db,L(),+20,-8db,一阶微分L(),5振荡环节,在低频段，即1 ，可略去 22。,在高频段，即1 ，可略去 1。,振荡环节L(),-40,振荡环节的对数频率特性曲线,振荡环节再分析,(0 0.707),-40,提醒:,二阶微分,幅相曲线,对数幅频渐近曲线,+40,n,00

15、.707时有峰值：,0db,20db,40db,-20db,-40db,L(),返回,0.1,1,10,100,40,二阶微分L(),6延迟环节,如果已知几个串联环节的开环频率特性，则系统的开环对数频率特性为：,步骤求出低频渐近线的斜率和位置。 再确定转折频率和转折和的直线的斜率。 由低频到高频绘出开环频率特性。,四、系统开环对数频率特性的绘制,1.低频渐近线的绘制,0时，G(j)低频段表达式为：,则幅频特性为：,两个特殊点： 无论v为何值，=1时，总是L()20lgK(dB)； 与0dB相交点的频率为K1/v。,低频渐近线的斜率为20v(dB/dec),0,K,=0,=1,=2,2.转折频率

16、及转折后斜率变化量的确定,经过i后，斜率变化量为+20dB/dec。,经过k后，斜率变化量为+40dB/dec。,经过j后，斜率变化量为-20dB/dec。,经过l后，斜率变化量为-40dB/dec。,相频特性的表达式为：,定义：若 L(c)0dB，则c称作剪切频率，也叫0dB 频率。剪切频率下的相角为(c)。,例5-5,-20,-40,-20,-40,c-剪切频率,0.5,2,8,12dB,-20,-40,-20,-60,五. 最小相位系统、非最小相位系统和开环不稳定系统,1. 最小相位系统,在系统的开环传递函数中，没有位于S右半平面的零点和极点，且没有纯时间延迟环节的系统为最小相位系统，反

17、之为非最小相位系统。,2. 非最小相位系统,系统传递函数G(s)有一个或多个零点或极点落在右半s平面上。,3. 开环不稳定系统：系统传递函数G(s)有一个或多个极点落在s平面的右半部。,最小相位系统的特点：,（1）最小相位系统的幅频特性和相频特性是密切相关的。,若L()特性的斜率变得更负，则对数相频特性的相位也要朝着更负的方向变化；,若L()特性的斜率向正的方向变化，则对数相频特性的相位也将向正的方向变化。,(2)对于最小相位系统，对数幅频特性和相频特性是一一对应的。对于最小相位系统一般只画出幅频特性就够了，而对于非最小相位系统，要同时画出幅频和相频特性。,(3)当=时，其相角等于-90（n-

18、m），对数幅频特性曲线的斜率为20(nm)dB/dec。有时用这一特性来判别该系统是否为最小相位系统。,非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能差，响应缓慢。对响应要求快的系统，不宜采用非最小相位元件。,例5-6：两个系统的开环传递函数分别为（T1T2）,它们的对数幅频和相频特性为,显然,两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同。由 图可见， 的变化范围要比 大得多。 最小相位系统 非最小相位系统,例5-7 试将系统开环传递函数按典型环节分解,解:,返回,1映射定理（幅角定理）,S2,S1代入F(S) 得F(S1)，S2代入F(S)得F(S2)；S沿s连续变化一周（不穿过F(S)的极点），则F(

19、S)沿 封闭曲线F连续变化一周。,5.4频率域稳定判据,s不包围F(s)的零点，当S1沿s顺时针连续变化一周，(S-Zi)不积累角度;,s包围一个F(s)的零点，当S1沿s顺时针连续变化一周，(S-Zi)的相角积累 -2 ，或者说，F顺时针绕F平面零点一周;,s包围 Z个F(s)的零点，当S1沿s顺时针连续变化一周，(S-Zi) 的相角积累Z * (-2) ，或者说，F顺时针绕F平面零点Z圈。,如果：s包围一个F(s)的极点，当s1沿s顺时针连续变化一周，因为pi 映 射到F(s)上是在无穷远，因此，F逆时针绕F平面零点一周；( s-pi )的相角积累是2角度；,s包围P个F(s)的极点，当s

20、1沿s顺时针连续变化一周，s-pi 积累的相角为2*P，或者说， F逆时针绕F平面零点P周；,s包围P个F(s)的极点，又包围Z个F(s)的零点，当s1沿s顺时针连续变化一周后，F顺时针绕F平面零点（Z-P）周，或： F逆时针绕F平面零点R = （P- Z ）周,若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的Z个零点。则在F(s)平面上映射的曲线将按顺时针方向围绕着坐标原点Z周。,若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的P个极点。当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时，则在F(s)平面上映射的曲线将按逆时针方向围绕着坐标原点P周。,映射定理(幅角定理)： 设s平面上不通过F(s)任何奇异点的某条封闭

21、曲线，它包围了F(s)在s平面上的Z个零点和P个极点，当s以顺时针方向沿封闭曲线移动一周时，则在F平面上相对应于封闭曲线的像将以顺时针的方向围绕原点旋转R圈。R与Z、P的关系为: R=ZP。,映射定理： 设F(s)除平面上的有限个奇点外，为单值解析函数，若在S平面上任选一条封闭曲线s ，并使它不通过F(s)的奇点，则 s 映射到F(s) 平面上仍为一条封闭曲线F ；当解析点S1沿s顺时针连续变化一周时，则从F平面原点指向F 上对应点的向量F(s1)按逆时针方向旋转周数N等于S包含F(s)的极点数目P与零点数目Z之差，即R=P-Z 当PZ则R0， F逆时针包围零点R圈 当PZ则R0 ，F顺时针包

22、围零点R圈 当P=Z则R=0 ，F不包围零点,奈奎斯特稳定判据,设系统的开环传递函数为,构造辅助函数,辅助函数F(s)具有以下特点：,(1)辅助函数F(s)是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。,(2)F(s)的零极点数目相同，都为n。,(3)F(s)与开环传递函数G(s)H(s)之间只差一个常量1，F(s)=1+ G(s)H(s)的几何意义为：F平面的坐标原点就是GH平面的( -1, j0 )点。,为了确定辅助函数F(s)位于右半s平面内的所有零点和极点数，将封闭曲线扩展为整个右平面。为此，曲线由以下3段所组成：,. 正虚轴s=j，从0变化到+；,. 半

23、径为无限大的右半圆，s= R ej，R，由/2变化到-/2；,. 负虚轴s=j，从-变化到0。,R ej R,奈奎斯特回线,Re,Im,奈氏曲线肯定包围了F(s)位于s平面右半部的所有零点和极点。,根据映射定理，当s沿着平面上的奈奎斯特曲线移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线将按逆时针方向围绕坐标原点旋转R=P-Z。,设复变函数F(s)在s平面的右半部有Z个零点和P个极点。,闭环系统稳定的充要条件是：F(s)在s平面的右半部无零点，即Z=0。,如果在s平面上，s沿着奈奎斯特曲线顺时针移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针方向旋转R=P周，则系统是稳定的。,G(s)H(s)

24、=F(s)-1，这意味着F(s)的映射曲线围绕原点的运动情况，相当于G(s)H(s)围绕着( -1, j0 )点的运动情况。,奈奎斯特稳定判据闭环控制系统稳定的充分和必要条件是，当从-变化到+时，系统的开环频率特性G(j)H(j)按逆时针方向包围( -1, j0 )点P周，P为位于s平面右半部的开环极点的数目。,例5-8：,画出奈氏曲线如图， 负频特性以实轴对称,所以，该封闭曲线就是包围S平面右半平面的封闭曲线在F(s)平面上的映射。,由于F(s)=1+G(s),所以，映射在F(s)平面上的曲线只要将纵坐标左移一个单位，如图：,另外，该封闭曲线“包围F(s)的原点”=“ 包围 G(j)平面的（

25、-1，j0）点”。,即映射定理修改为： 奈氏曲线当 从- 0+ 变化，按逆时针方向包围（-1，j0）点的圈数等于F(s)的极点数目P与零点数目Z之差，即R=P-Z,在G(j)图中，曲线没有包围（-1，j0）点， N=0，可知F(s)的零、极点在右半面上的个数相等。,由闭环特征方程：,可见，F(s)的零点就是闭环极点，而F(s)的极点就是开环极点。,则公式 R=P-Z 应用如下：,1、根据系统开环传函，可知P值（在右半平面的开环极点个数）。 2、绘制奈氏曲线，从-到+，判别逆时针包围（-1，j0）点的次数R，即知包围零、极点个数和(P-Z)。 3、公式 R=P-Z 求出Z，Z=0则系统稳定，否则

26、不稳定。,若P=0（即系统开环稳定）时，上述条件简化为：当从- 到+变化时，系统的开环频率特性G(j )H(j )不包围（-1，j0）点 。,如果：提高系统增益，曲线就可能包围(-1, j0)点(R0)， R=P-Z得Z 0，所以该系统闭环变成不稳定。,例如：上例中，若已知系统开环稳定（P=0） 而频率特性不包围（-1,j0）点（R=0）， R=P-Z得Z=0，所以该系统闭环稳定。,例5-9 设系统的开环频率特性为,用奈氏判据判别系统的稳定性。,系统的右半平面的开环极点数P0,系统的开环频率特性不包含( -1, j0 )点。R0。,RPZ,所以Z0，则闭环系统稳定。,系统的奈氏曲线见例5-2,

27、例5-10设系统的开环频率特性为,=，终止在原点。,R=-2，R=P-Z，P=0，Z=2，F(s)有两个不稳定的零点，闭环系统有两个不稳定的极点。,判断何时系统稳定？,例5-11,已知系统开环传递函数 试应用奈氏判据判别K=0.5和K=2时的闭环系统稳定性。,分别作出K=0.5和K=2时开环幅相特性曲线,K=0.5时，闭环系统不稳定。 K=2时，闭环系统稳定。,系统开环幅相特性曲线,判断系统的稳定性并讨论K值对稳定性的影响。,K1时，不包含(-1,j0)点，R=0，而P=1，所以Z=P-R=1，系统不稳定。,K1时，逆时针包含( -1, j0 )点一周，R=1，所以Z=P-R=0，系统稳定。,

28、例5-12 分析如下系统的稳定性。设开环传递函数中， T5T1T2、T3和T4。,解：若某K值下GH曲线如图，因R=0，且P=0，系统稳定。,1.K增大，使（-1，j0）位于c、d间，曲线顺时针包围（-1，j0）两圈，系统不稳定。 2.K减小，使（-1，j0）位于a、b之间，曲线顺时针包围（-1，j0）点两圈，系统仍不稳定。 K再减小，使（-1，j0）点位于a点左边，那么闭环系统又稳定了。这样的系统称为条件稳定系统。即要使系统稳定，K必须满足一定的条件。,.奈氏判据在型和型系统中的应用,按照幅角定理的规定，在s平面的奈氏曲线不能通过F(s)的奇异点。 重新定义奈氏曲线如下：,. 正虚轴s=j，

29、从0+变化到+；,. 半径为无限大的右半圆，s= R ej，R，由/2变化到-/2。,. 负虚轴s=j，从-变化到0-；,IV半径为无穷小的右半圆，s= ej，0，由-/2变化到/2。,R ej R,修改的奈奎斯特回线,Im,c,b,d,e,a,0,j,jR,当s沿着小半圆移动时,若开环特性中含有积分环节，当s0时其特性近似为,从0-0+时，从-/2 /2。,G(S)H(s)平面上的映射曲线将沿着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从v/2 -v/2。,Re,s平面,K/,Re,Im,=0-,a1,b1,c1,d1,e1,=0+,=0,Re,Im,GH平面,K/,=0,=0-,=0+,b2,c2,d

30、2,e2,a2,型系统对小半圆路径的映射曲线,型系统对小半圆路径的映射曲线,小半圆路径,w = 0- 0 0+,q = -900 00 900,GH=+n900 00 -n900,讨论无限小半圆在GH平面的映射,n=1 w=0- 0+,GH=+900-900,n=2 w=0- 0+,GH=+1800-1800,从0+逆时针补画n900的无穷大圆弧即为 w=0点,由幅角原理可知,R = P - Z,闭环右极点数,开环右极点数,GH曲线在GH平面绕（-1,j0）逆时针转的圈数,逆时针转: R0;,顺时针转: R0,不转: R= 0,例5-13 某I型系统的开环频率特性如图所示，没有开环不稳定极点，

31、判断系统的闭环稳定性。,R=0，P=0，Z=P-R=0 没有闭环不稳定极点。闭环稳定。,例5-14 试判断系统的稳定性 ：,先作+j 0到+j时的 G(j)H(j)曲线。 再根据对称性，作出-j 0到-j时的G(j)H(j)曲线。,解:,题中 ，即当s从- j0转到+j0时，G(j)H(j) 曲线以半径为无穷大，顺时针转过角（虚线）。并可求得， = 1时，G(j)H(j)与实轴交于 。,从图可见，G(s)H(s)的奈氏曲线顺时针绕 ( -1, j0 ) 点一圈，R =-1，又因为P =0，所以 Z = P R = 1， 说明为不稳定系统，有一个 闭环极点在s的右半平面。,四 一种简易的奈氏判据

32、 （1）正、负穿越的概念 G(j)H(j)曲线对称实轴。应用中只画 部分。 所谓“穿越”是指 轨迹穿过 段。 正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用 表示。 负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用 表示。 正穿越 负穿越,若G(j)H(j)轨迹起始或终止于 (-1, j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+ 1/2 次穿越和-1/2次穿越。,若频率特性只画出从0+部分，则有,若闭环系统稳定，则Z=0，从而有,正负穿越,随着的增大，若频率特性曲线GH (j)以逆时针方向包围(-1，j0)点一圈，则GH(j)曲线的正半段必然从上至下穿过G(s)平面负实轴的(-，-1)区段一次。

33、这种穿越伴随着相角的增加而穿越的，故称为正穿越。反之叫负穿越。,若曲线从(-，-1)上出发，则相应的穿越次数只能算半次。,闭环系统稳定的充要条件是：当 由0变化到 时，G(j)H(j)曲线在（-1，j0）点以左的负实轴上的正负穿越之和为 P/2 圈。 P为开环传递函数在s右半平面的极点数。此时 Z=P-2N 若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即 ，则闭环系统稳定的充要条件应该是N=0。 注意：这里对应的变化范围是 。,如果G(j)H(j)按逆时针方向绕(-1, j0) 一周，则必正穿越一次。反之，若按顺时针方向包围点(-1, j0) 一周，则必负穿越一次。这种正负穿越之和即为G(j)H(j

34、)包围的圈数。故奈氏判据又可表述为：,例5-15 某系统G(j)H(j)轨迹如下，已知有2个开环极点分布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。 解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2）， G(j)H(j)轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有2次正穿越，1次负穿越，因为：N= 求得：Z=P-2N=2-2=0 所以系统是稳定系统。,例5-16 已知一半奈氏曲线，试分析系统稳定性。 解: (a) : N= N+ - N =（0-1）= -1，且已知P =0，所以 Z=P-2N=2 系统不稳定。 (b) ：K1时，N= N+ - N - =1-1/2= 1/2，且已知P=1，所以 Z= P-

35、2N=0，闭环系统稳定； K1时， N = N+ - N - =0-1/2= -1/2，且已知P =1，所以 Z= P-2N=2，闭环系统不稳定； K=1时，奈氏曲线穿过 (-1,j0) 点两次，说明有两个根在虚轴上，所以系统不稳定。,3、对数频率稳定判据,若开环系统稳定（p=0），则闭环系统稳定的充要条件是：在 的所有频段内， 正负穿越 线的次数差为0。,注意：在开环对数幅频特性大于零的频段内，相频特性曲线由下（上）往上（下）穿过负1800线为正（负）穿越。N+（N-）为正（负）穿越次数，从负1800线开始往上（下）称为半个正（负）穿越。,根据伯德图判别系统的稳定性,闭环系统稳定的充要条件时

36、：当从0变化到+时，在开环对数幅频特性L()0的频段内，相频特性()穿越-线的次数(正穿越和负穿越之差)为P/2。P为s平面右半部开环极点的数目。,采用伯德图时奈奎斯特稳定判据的表述如下：,幅相曲线（a) 及对应的对数频率特性曲线(b),系统闭环稳定的条件是： 在开环对数幅频 的频段内，对应的开环对数相频特性曲线对 线的正、负穿越次数之差为 。即 为系统开环传递函数位于 右半平面的极点数。,例5-17,已知系统开环传递函数,试用对数频率稳定判据判别闭环稳定性。,解：绘制系统开环对数频率特性如图。,由开环传递函数可知P=0。,图535,所以闭环稳定,例5-18,已知系统开环传递函数,试用对数稳定

37、判据判别闭环稳定性。,解：绘制系统开环对数频率特性如图,在 处振荡环节的对数幅频值为,闭环特征方程的正根数为,返回,若Z=P-2N中P=0，则G(j)过(-1, j0)点时，,系统临界稳定，见下图：,G(j)曲线过(-1, j0)点时，,同时成立！,特点：, G(j) = -180o,G(j),5.5 稳定裕度,人们常用系统开环频率特性G(j)H(j)与GH平面上与（-1，j0）点的靠近程度来表征闭环系统的稳定程度。一般来说，G(j)H(j)离开（-1，j0）点越远，则稳定程度越高；反之，稳定程度越低。 1、相角裕度 剪切频率 ：指开环频率特性G(j)H(j)的幅值等于1时的频率，即: 在控制

38、系统的剪切频率c上，使闭环系统达到临界稳定状态所需附加的相移（超前或迟后相移）量，称为系统的相角裕度，记作。,2、幅值裕度 在系统的穿越频率x（x0）上，开环频率特性的倒数，称为控制系统的幅值裕度，记作h，即 以分贝表示时 h大于1，则对数幅值裕度为正值，系统稳定。 h小于1，则对数幅值裕度为负值，系统不稳定。,相角裕度： 当0时，相角裕试 为正，系统稳定；,相角裕度： 当0时，相位裕度为负，系统不稳定。,结论： 一般而言 L(c)处的斜率为20db/dec时，系统稳定。 L(c)处的斜率为40db/dec时，系统可能稳定，也 可能不稳定，即使稳定， 也很小。 L(c)处的斜率为60db/dec时，系统肯定不稳定。 为了使系统具有一定的稳定裕量， L()在c处的 斜率为20db/dec。,一般说来为了得到满意的性能，相角裕度应当在30 60之间，而幅值裕度应当大于6dB。,20lg,幅值裕度:,j,0,1,c,x,G(j),G(jc),G(jc) = 180o,-1,开环频率特性与系统阶跃响应的关系,系统开环对数幅频渐近特性曲线,低频段通常是指 的渐近曲线在第一个转折频率以前的区段，这一段的特性完全由积分环节和开环增益决定。,1、低频段,曲线位置越高，K值越大；低频段斜率越负，积分环节数越多。系统稳态性能越好。因此,低频段反