1.2应用举例(共4课时).ppt

1、主备人：罗瑜唐强 审核人：牟必继,世上没有什么天才， 天才是勤奋的结果。,1.2.1 应用举例,（共4课时）,解斜三角形公式、定理,正弦定理：,余弦定理：,三角形边与角的关系：,2、 大角对大边，小角对小边 。,2.余弦定理的作用,（1）已知三边，求三个角；,（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角；,（3）判断三角形的形状。,推论:,三角形的面积公式,斜三角形的解法,用正弦定理求出另一对角,再由A+B+C=180，得出第三角,然后用正弦定理求出第三边。,正弦定理,余弦定理,正弦定理,余弦定理,由A+B+C=180,求出另一角，再用正弦定理求出两边。,用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出

2、一角，再由A+B+C=180得出第三角。,用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180得出第三角。,一边和两角 (ASA或AAS),两边和夹角(SAS),三边(SSS),两边和其中一 边的对角(SSA),解斜三角形中的有关名词、术语：,（1）坡度角：斜面与地平面所成的角度。 （2）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。 （3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角。 （4）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角,A,C,B,51o,55m,75o,一、测量距离,例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。,测量者在A

3、的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，BAC51o， ACB75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）,分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形,解：根据正弦定理，得,答：A,B两点间的距离为65.7米。,A,B,C,D,A,B,a,解：如图，测量者可以在河岸边选定两点C、D，设CD=a，BCA=，ACD=，CDB=， ADB=,分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。,解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=

4、, BDA=.在 ADC和 BDC中，应用正弦定理得,计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离,注：阅读教材P12，了解基线的概念,练习1.一艘船以32.2n mile / hr的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？,变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多少？,练习2自动卸货汽车的车厢采用液

5、压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）,（1）什么是最大仰角？,（2）例题中涉及一个怎样的三角 形？,在ABC中已知什么，要求什么？,练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）,已知ABC中AB1.95m，AC1.40m， 夹角CAB6620，求BC,解

6、：由余弦定理，得,答：顶杆BC约长1.89m。,二、测量高度,测量垂直高度,1、底部可以到达的,测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。,图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？,想一想,2、底部不能到达的,例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法,分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。,解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点

7、在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在 ACD中，根据正弦定理可得,例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法,分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长,CD=BD-BC177-27.3=150(m),答：山的高度约为150米。,解：在ABC中，BCA= 90 +, ABC= 90 -, BAC=-, BAD=.根据正弦定理，,例5：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北150的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北250

8、的方向上,仰角为80,求此山的高度CD,分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。,例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角8，求此山的高度CD.,解：在ABC中，A=15, C= 25 15=10. 根据正弦定理，,CD=BCtanDBCBCtan81047(m),答：山的高度约为1047米。,变式：某人在M汽车站的北偏西200的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东400。

9、开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？,例6 一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile）?,解：在 ABC中，ABC1807532137，根据余弦定理，,练习,解：（如图）在ABC中， 由正弦定理可得：,因为BCAB，所以A为锐角 ， A1415, B180（AC）8545,又由正弦定理：,

10、解 题 过 程,答：活塞移动的距离为81mm,解：如图，在ABC中由余弦定理得：,我舰的追击速度为14海里/小时，,练习,又在ABC中由正弦定理得：,故我舰航行的方向为北偏东,3. 3.5m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端离堤足1.2m的地面上，另一端沿堤上2.8m的地方，求堤对地面的倾斜角。,总 结,实际问题,作业： 课本19-20页习题分3次布置：14；57；810,（第4课时）,前面学习了用正弦定理和余弦定理解决实际问题，体现了两个定理的广泛应用和生活中的重要性.借助于正弦定理和余弦定理，我们也可以进一步解决一些有关三角形的计算问题，以及一些三角恒等式问题.,因此除了知道某条边和该边上的高

11、可求出三角形的面积外，如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦也可求出三角形的面积.,例7 在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0.1cm).,(1)已知a =14.8cm,c =23.5 cm,B=148.5；,(2)已知B=62.7,C =65.8,b=3.16cm；,（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm.,在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，认真观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.,例8 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m，88 m，127 m，这个区域的面积是多少（精确到0.1 m）?,分析：本题可转化为已知三角形的三