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文档简介

1、留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。,一.孤立奇点及其分类,定义1 若 在 不解析，但在 的某一去心邻域,内解析，则称 是 的孤立奇点。,第6节 解析函数的孤立奇点,（1） 为 的可去奇点：,若 中无负幂项,根据Laurent级数的形式分类：,设 为 的孤立奇点,在 的去心邻域,内， 的Laurent 展式为:,（3） 为 的本性奇点：,（2） 为 ( m 级)极点：,负幂项无穷多项,定义2,根据 的极 限分类：,性质1,性质2,例1 求下列函数的奇点，并指出其类型：,解：,解：,解,Laurent 展式为:,Laurent 展式为:,二.留数,设 为

2、 的孤立奇点,在 的去心邻域,内 ， 的Laurent 展式为:,留数计算法：,证明,2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m,也可,当作级数为m 来计算。这是因为表达式,这不影响证明结果。,的系数 中可能有一个或几个为零而已，,解,例2 求下列函数的有限奇点并计算留数：,无穷远点处的留数,例3 求下列函数在无穷远处的留数：,解,法1,所以，0为 的三级极点，且,法2,因为0是分子的一级零点，是分母的四级零点，,所以0是 的三级极点，取 m=4,由公式 2 得,三.留数定理,定理1 设函数 在区域D内除有限个孤立奇点,外处处解析，L是D内包围诸奇点的一,条逆时针方向简单闭曲线，那么,由复合闭路定理,得,利用这个定理，可将求沿封闭曲线L的积分，,转化为求被积函数在L中的各孤立奇点处的留数。,定理2 如果函数 在扩充的复平面内除有限个,点总

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