第一章行列式.ppt

1、山东经济学院统计与数学学院,线 性 代 数,目 录,第二章 矩阵,第三章 线性方程组,第一章 行列式,第四章 矩阵的特征值,第五章 二次型,第一章 行列式,第二节 行列式的性质,第四节 Cramer法则,第一节 n 阶行列式的定义,第三节 行列式按行（列）展开,第一节 n 阶行列式的定义,一、二阶与三阶行列式,二阶行列式的计算（对角线法）,如,主对角线,次对角线,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元 素的乘积冠以负号.,说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.,三阶行列式的计算（对角线法）,例1 (1) 计算 的值,(2) 求 的根.,=15+2-(-5)=22,=3x2+4x+18

2、-12-2x2-9x = x2-5x+6,请设想n阶行列式.,没有对角线法则，如何定义？,二、n阶行列式,1.排列与逆序 定义1.1 由1，2，n组成的有序数组，称为一个n级排列.记作 i1i2in . 例如：123，132，213，231，312，321都是3级排列. n级排列共有n!个 定义1.2 在一个n级排列i1i2in中，如果有较大数is排在较小的数it前面，则称is与it构成一个逆序排列中逆序的总个数叫做这个排列的逆序数.,排列i1i2in 的逆序数记为N(i1i2in).,N(314265)=,1+2+1=4,定义1.3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列

3、. 定义1.4 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列，这样一个变换称为一个对换. 定理1.1 一个排列中任意两个元素对换一次，排列改变奇偶性. 定理1.2 所有n 级排列中(n 1)，奇排列与偶排列各占一半.,请在所有3级排列中，找出奇、偶排列.,如：45213是奇排列,15243,是偶排列,再考察3阶行列式：,(1) 展开式中共有3！= 6项,其中正、负项各占一半；,(2) 展开式中的每一项都是取自不同行不同列的3个元素的乘积；,(3) 每一项的符号是：当行标按自然序排好后，列标排列的奇偶性决定该项的正负.,= a11a22a33+a12a23a31+a13a21

4、a32 -a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32,得到规律：,2.n 阶行列式的定义 叫做n阶行列式其中 表示对所有 的排列求和.共有n!项 .,注:每一项是n个元素的乘积，且这n个元素取自不同的行不同的列,其符号由列标排列的逆序数所确定.,元素aii所在的斜线称为行列式的主对角线.,n阶行列式简记为D=|aij|.,展开式的一般项,例3 计算下列行列式,特别地, 定义一阶行列式,= 0,24,重要结论 下三角形行列式,上三角形行列式的值 和对角形行列式（主对角线元素以外的元素全为零的行列式）的值也等于主对角元素的连乘积.,上三角形行列式,对角形行列式,= a11a22an

5、n,上三角形行列式与下三角形行列式统称为三角形行列式.,注：,非对角形行列式.,因为数的乘法满足交换律，所以，n阶行列式还有如下定义：,本节要求：,1.熟练掌握二阶、三阶行列式的定义、计算. 2.理解排列、排列的逆序数、奇排列与偶排列的定义. 3.理解n阶行列式的定义，会用定义计算简单行列式.,第二节 行列式的性质,1.行列式的性质,行列式 称为行列式 的转置行列式.,性质1 行列式转置值不变，即,一般地,=,即：行列式的行与列地位相同，对于行成立的结论，对列也同样成立.,性质2 交换行列式的某两行（列）元素，行列式变号.,推论 若行列式中有两行（列）元素对应相同，则行列式的值为零.,D1=

6、-D,2,2,性质3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用k去乘此行列式.,推论1 若行列式中某行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式的外面. 推论2 行列式中若有两行（列）对应元素成比例，其值为零.,即,=0,D=0,性质4,性质5 把某一行（列）元素的k倍加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变.,k,=,相当重要,例1 计算行列式 的值.,0 1 1 4,0 3 4 -4,0 3 -1 0,0 0 1 -16,0 0 -4 -12,= -76,2.行列式的计算,=,=,0 1 1 4,=,0 1 1 4,0 0 1 -16,0 0 0 -76,例2 证明,提

7、示：第一列利用性质4拆分.,=,例3 证明,证 左边=,=0,1,注意观察！,例4 计算n阶行列式,特点：每一行或列的元素之和相等.,方法:将第2，3，n列都加到第1列.,(-1),本节要求：,1.熟练掌握行列式的五条性质计算行列式的值.,在n阶行列式中，把元素 所在的第i 行第j 列划去后，余下的n-1阶行列式叫做元素 的余子式，记作 . 叫做元素 的代数余子式.,一、行列式按一行(列)展开,元素a11的余子式M11=,代数余子式A11=M11,元素a12的余子式M12=,代数余子式A12=-M12,元素a13的余子式M13=,代数余子式A13=M13,第三节 行列式按行（列）展开,=a11

8、(a22a33-a23a32),-a12(a21a33-a23a31),+a13(a21a32-a22a31),=a11,- a12,+ a13,= a11M11- a12M12+a13M13,= a11A11+a12A12+a13A13,第一行元素与其代数余子 式乘积求和.,定理1.3.1 行列式D等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.,或,即,例1,=3A11+1A21+0A31,有何想法？,选零元多的行(列),例2,显然，按第一列展开.,1 2 3 1,若没有太多的零元，又该如何？,=11,注：行列式的性质+展开定理,按第一列展开,例3 计算n阶行列式：,例4 计

9、算行列式：,最后一列始，每列乘x加到前一列,再按第一列展开=,例5证明,证 从第2行开始，自上而下，将下一行乘以-1加到上一行，得,从第2行开始，自上而下，将下一行乘以-1加到上一行，得,例6 计算n行列式,解 按第1行展开，得,继续使用此公式，得,例6 证明：,Vandermonde行列式,(n2),证：(数学归纳法)当n=2时，,结论成立,假设对n-1阶范德蒙德行列式结论成立，则,n-1阶,例7 计算,(-1),(-1),定理1.3.2 行列式D的任一行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零.,或,证：构造,i行,k行,按第k行展开：,0 =,综合定理1.3.1与定理1

10、.3.2得：,练习：,一般应选取零元素最多的行或列进行展开;或者选取一行或列,利用行列式的性质,将这一行或列的元素尽可能多的化为零,然后按一行或列进行展开;这样以便计算.,二、行列式按k行（列）展开,定义 在n阶行列式D中，任意选取k行k列（1k n）， 位于这些行列交叉点处的k2 个元素，按照原来的相对位置不变，构成一个k阶行列式N，称N为D的一个k阶子式.在行列式D中划去k阶子式N所在的行和列后，剩下的元素按照原来的相对位置不变，作成一个n-k阶行列式M，称M为N的余子式.,设行列式D的k阶子式N所在的行标为,列所在的列标为,则,称为N的代数余子式，其中M为N的余子式.,定理1.3.3（L

11、aplace展开定理） 在n阶行列式D中，任意取定k行(列) (1kn-1)，则由这k行(列)元素所组成的一切k阶子式,例 按第1、2行展开计算行列式,-11,本节要求：,1.理解余子式与代数余子式的概念. 2.熟练掌握按行（列）展开定理及行列式的性质计算行列式的值. 3.了解行列式按k行（列）展开.,第四节 Cramer法则,含有n个未知量n个方程的线性方程组一般形式为:,其中 称为方程组的系数;,称为常数项.,特别地， 称为n元齐次线性方程组 .记作,由系数构成的行列式:,叫做方程组的系数行列式 ,引例：,(1) (2),(1) a22- (2) a12,0,同理,有唯一解,注意D1、D2

12、的构成,定理1.4.1,当D0时，有唯一解：,其中,此即克莱姆（Cramer）法则,0 0 0,(),=0,0 0 0,=0,推论 若齐次线性方程组的系数行列式,如果齐次线性方程组有非零解，则它的系 数行列式等于零,则它只有唯一零解,逆命题也成立.,定理1.4.2 齐次线性方程组()有唯一零解的充分必 要条件是其系数行列式,D0,例1 解线性方程组,解,=27,方程组有唯一解,=81,= -108,=-27,=27,解,=-(-226+189),=-300,所以方程组仅有零解.,例3 设方程组有非零解，问k应取何值？,解,因为方程组有非零解，,所以D=0,例4 若齐次方程组有非零解，试确定a,b,c满足的条件.,D=0,而,(-1),所以a,b