人教版数学必修一 第二章 2.2对数函数

1、对 数 函 数 （一）,一、复习回顾：,1、对数的概念：,2、指数函数的定义:,如果a b n ，那么数b叫做以a为底n的对数，记作 log a nb（a0,a1）,函数 y = ax ( a 0, 且 a 1 ) 叫做指数函数,其中 x是自变量.函数的定义域是 r.,问题: 求指数函数 y ax ( a 0 ,且 a 1 )的反函数,解： 从 y ax 可以解得：x logay 因此指数函数 y ax 的反函数是 ylogax ( a 0 ,且 a 1 ),又因为 y ax 的值域为（0，） 所以 ylogax ( a 0 ,且 a 1 ) 的定义域为（0，）,一般地 函数 y = loga

2、x (a0,且a1)是指数函数 y = ax的反函数,函数 y = loga x (a0,且a 1 ),叫做对数函数.其中 x是自变量,函数 的定义域是（ 0 , +）,对数函数和指数函数 互为反函数,对数函数的定义：,y 2x,ylog2x,2、描点作出的图象；,、作直线y=x；,、描出关于y=x的对称点；,y 2x,、用平滑曲线连结所得的点。,作图过程,1、建立直角坐标系；,作出函数 y log 2 x的图象,y=,的函数图象也可以直接描点作出,1、列表,、建立直角坐标系,、描点,、用平滑曲线连结各点,y=,两个对数函数 的图象特征 和性质的分析,x,y,0,1,y = log2x,y=l

3、og 0.5 x,图象特征 函数性质,图像都在 y 轴右侧,图像都经过 (1,0) 点,1 的对数是 0,当底数a1时; x1 , 则logax0 0 x1 ,则 logax0 当底数0a1时; x1 , 则logax0 0 x1 ,则logax0,图像在(1,0)点右边的 纵坐标都大于0,在(1,0)点 左边的纵坐标都小于0; 图像则正好相反,自左向右看, 图像逐渐上升 图像逐渐下降,当a1时, ylogax在(0,+)是增函数 当0a1时, ylogax在(0,+)是减函数,定义域是( 0,）,对数函数y=log a x (a0, a1),(4) 01时, y0,(4) 00; x1时,

4、y0,(3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0,(1) 定义域： (0,+),(2) 值域：r,x,y,o,(1, 0),x,y,o,（1, 0),(5)在(0,+)上是减函数,(5) 在(0,+)上是增函数,对数函数的图象和性质,例1 比较下列各组数中两个值的大小： (1) log 23.4 , log 28.5 log 0.31.8 , log 0.32.7 log a5.1 , log a5.9 ( a0 , a1 ),解考察对数函数 y = log 2x,因为它的底数21, 所以它在(0,+)上是增函数,于是 log 23.4log 28.5,考察对数函数 y = log 0.

5、3 x,因为它的底数0.3, 即00.31,所以它在(0,+)上是减函数,于是 log 0.31.8log 0.32.7,解：当a1时,函数y=log ax在(0,+)上是增函数,于是 log a5.1log a5.9 当0a1时,函数y=log ax在(0,+)上是减函数,于是 log a5.1log a5.9, log a5.1 , log a5.9 ( a0 , a1 ),注: 例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大 小的, 对底数与1的大小关系未明确指出时, 要 分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.,分析：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指

6、出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论:,练习1: 比较下列各题中两个值的大小: log106 log108 log0.56 log0.54 log0.10.5 log0.10.6 log1.51.6 log1.51.4,练习2： 已知下列不等式，比较正数m，n 的大小： (1) log 3 m log 0.3 n (3) log a m log a n (a1),答案: (1) m n,(2) m n,(3) m n,(4) m n,例2 比较下列各组中两个值的大小: log 67 , log 7 6 ; log 3 , log 2 0.8 .,解: log67log661 log76

7、log771 log67log76, log3log310 log20.8log210 log3log20.8,注: 例2是利用对数函数的单调性比较两个对数的大 小. 当不能直接进行比较时, 可在两个对数中间插入一 个已知数 ( 如1或0等 ) , 间接比较上述两个对数的大小,分析 : （1） log aa1,（2） log a10,练习： 将,由小到大排列,由指数函数的 单调性可知：,从小到大的排列是：,又,解：利用对数函数的单调性可知：,小 结,对数函数的图象和性质,比较两个对数值的大小,对数函数的定义,对数函数y=log a x (a0, a1),指数函数y=ax (a0,a1),(4) a1时, x0,y1,01;x0,0y1,(4) a1时,01,y0,00; x1,y0,(5) a1时, 在r上是增函数； 0a1时,在r上是减函数,(5) a1时,在(0,+)是增函数； 0a1时,在(0,+)是减函数,(3)过点(0,1), 即x=0 时, y=1,(3)过点(1,0), 即x=1 时, y=0,(2)值域：(0,+),(1)定义域：r,(1)定义域： (0,+),(2)值域：r,y=ax (