自动控制原理-A2-非线性系统-描述函数.ppt

1、描述函数,邹斌 上海大学 自动化系 地 址:上海市延长路149号 邮政编码：200072 电子邮件: ZouB 电 话:第六章 线性系统的校正方法,针对一任意非线性系统，设输入x=Xsint,输出波形为y(t)，则可以将y(t)表示为富氏级数形式,描述函数的概念,对于奇对称函数,非线性环节的正弦响应,非线性特性的线性化表示方法：以输出y(t)的基波分量近似地代替整个输出。亦即略去输出的高次谐波，将输出表示为,非线性元件在正弦输入下，其输出也是一个同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。这与线性元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的相似性，故称上述近似处理为谐波线性化

2、。 一般高次谐波的振幅小于基波的振幅，因而为进行近似处理提供了可靠的物理基础。,描述函数法的定义是：输入为正弦函数时，输出的基波分量与输入正弦量的复数比。其数学表达式为,描述函数的定义,y(t)= A0+(Ancosnt+Bnsin nt),= A0+Yn(sin nt+n),n=1,n=1,若A0=0，且当n1时，Yn均很小，则可近似认为非线性环节的,正弦响应仅有一次谐波分量！,X(t) = Asin t,y(t) Y1sin(t+1),非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式,为此，定义正弦信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波,分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函

3、数，用N(A)表示：,傅氏展开,斜对称、奇函数A0=An=0,典型非线性特性的描述函数,理想继电特性,饱和特性,死区特性,死区饱和特性,非线性增益I,非线性增益II,理想继电器特性,死区继电器特性,滞环继电器特性,间隙、滞环特性,1）单值非线性的描述函数是实数,非单值非线性的描述函数是复数。 2）如果一非线性可以看作是两个非线性的叠加、即,设y1、y2、y分别有N1(A)、N2(A)、N(A）,系统开环部分可分离为： 非线性环节N(A) 线性部分G(s),假定： 非线性环节非线性，即不是时间的函数； 非线性环节特性是斜对称的； 系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。,类似传递函数,谐波线性化方

4、法,非线性系统的频率特性法,基于描述函数的控制系统分析,(乃奎斯特判据) 若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是G(j) 轨迹不包围G平面的(-1,j0)。,负倒描述函数（描述函数负倒特性),线性系统,(-1,j0),?,非线性系统的稳定性, G(j) 与负倒描述函数相交 闭环系统出现自持振荡(极限环振荡) 稳定 ？不稳定？ 振幅（A）？ 频率()？,设：系统开环的线性部分G(j)稳定, G(j)不包围负倒描述函数 闭环系统稳定, G(j)包围负倒描述函数 闭环系统不稳定,当微小扰动使振幅A增大到c点时， c点“(-1,j0)” 被G(j )轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A继续增大； 不能返回到a

5、。 当微小扰动使振幅A减小到d点， d点“(-1,j0)”未被G(j )轨 迹包围，系统稳定； 振幅A继续减小； 不能返回到a。 a点为不稳定自振交点。,分析法,微小扰动,当微小扰动使振幅A增大到e点时， e点“(-1,j0)”未被G(j )轨迹包围， 系统稳定； 振幅A减小； 返回到b。 当微小扰动使振幅A减小到f点， f点“(-1,j0)” 被G(j )轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A增大； 返回到b。 b点为稳定自振交点。,具有饱和特性的非线性系统,Aa 时,A 时,负倒描述函数轨迹=实轴上（-1/k, -)。,G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡,G2(j)轨迹与负倒

6、描述函数轨迹相交,b点:稳定自振交点,b Ab,具有死区特性的非线性系统,Aa 时,A 时,负倒描述函数轨迹=实轴上（-,-1/k)。,G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡,G2(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交,b点:不稳定自振交点,具有间隙特性的非线性系统,负倒描述函数为 G平面上一条曲线。,A 时,G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡,G2(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交,b点:稳定自振交点,b Ab,具有间隙特性的非线性系统,负倒描述函数为 G平面上一条曲线。,A 时,G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡,G2(j)轨迹与负倒描述函数

7、轨迹相交,b点:稳定自振交点,b Ab,具有滞环继电器特性的非线性系统,负倒描述函数为第三象限内平行于横轴的一组直线。,3）单边滞环宽度 h增加 负倒描述函数轨迹向下移动 自持振荡频率将低，振幅增大,2）如有数个交点 必有稳定的自振交点,1）如只有一个交点 必为稳定的自振交点,h2h1,非线性系统的校正！,改变G(j )可使系统性能改变！,改变N(A)同样可以使系统性能改变！,非线性系统性能改进及非线性应用,一、非线性校正基本结构,串联结构,并联结构,反馈结构,两个非线环节并联使非线性特性发生改变示例,二、非线性特性的应用,非线性阻尼控制,非线性因素对线性系统的性能会带来不利的影响，如有目的的

8、引入非线性环节，可使系统性能大幅度提高，甚至达纯到线性系统无法实现的效果,非线性阻尼下的阶跃响应,未引入微分反馈,引入微分反馈,非线性阻尼,K,试分析系统稳定性； 如果系统出现自持振荡，如何消除之？,K20，死区继电器特性M3，al。,三、改善非线性系统性能举例,Aa=1,A ,G(j)轨迹与负实轴交点频率值,G(j)轨迹与负倒描述函数有两个交点：,a不稳定自振交点,b稳定自振交点,a不稳定自振交点,b稳定自振交点,A11.11,A22.3,如要求稳定,1）改变G(j )调整K,K,2）改变N(A):调整死区继电器特性的死区a或输出幅值M,取a=1、M=2,自振分析 (定量),自振必要条件：,

9、例1 分析系统的稳定性(M=1)，求自振参数。,解 作图分析，,系统一定自振。,由自振条件：,得：,比较实/虚部：,分析：可以调节K, t 实现要求的自振运动。,解,代入,比较模和相角得,例2 系统如右，欲产生 的周期信号, 试确定K、t 的值。,例3 非线性系统结构图如右图所示， 已知： 自振时,调整K使 。 求此时的K值和自振参数(A,w)以及输出振幅Ac。 (2)定性分析K增大后自振参数(A,w)的变化规律。,解(1),(2) 依图分析：,例4 非线性系统结构图如右图所示， 已知： 时，系统是否自振？ 确定使系统自振的K值范围；求K=2时的自振参数。 (2) G3(s)=s 时，分析系统

10、的稳定性。,解 先将系统结构图化为典型结构,解法II 特征方程法,解法I 等效变换法,例5 非线性系统结构图如右图所示，用描述函数法说明系统是否自振，并确定使系统稳定的初值(A)范围。,解 将系统结构图等效变换，求等效G*(s),7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（10）,G*(jw),从稳定区穿到不稳定区的点 不是自振点,分析可知：使系统稳定的初始扰动范围为,令,解 将两非线性环节等效合并，结构图化为,例6 非线性系统如图所示， 分析系统是否存 在自振；若存在自振，确定输出端信号c(t)的振幅和频率。,依自振条件,比较虚实部,分析可知：系统存在自振,利用线性部分改造非线性,例2 用局部反馈消弱非线性特性的影响,例1 改变线性部分的参数,利用非线性特性改造非线性,例4 间隙特性的改造,例3 饱和 + 死区