直线的方向向量与平面的法向量

1、32 立体几何中的向量方法,32 1 直线的方向向量与平面的法向量,1了解如何用向量把空间的点、直线、平面表示来出 2理解并掌握用向量方法解决立体几何问题 3掌握把立体几何问题转化为向量问题,1空间中的点p，可用向量op表示，op称为点p的_, ,2空间中任意一条直线 l 的位置可以由_ 以及一个向量确定，这个向量叫做直线的_ 3直线 l平面，取直线 l 的方向向量 a，则向量,a平面，向量 a 叫做平面的_,注意：(1)平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向 量(2)一个平面的法向量有无限多个，且它们互相平行,位置向量,l上一个定点a,方向向量,法向量,4设 a，b 在平面内(或与平行)，

2、a 与 b 不平行，直线 l 的方向向量为 c，则 l_ .,ac且bc(或ac0且bc0),【要点1】用直线的方向向量确定空间中的直线和平面,【要点2】平面法向量的求法,【要点3】直线的方向向量与平面的法向量的应用,面abc内的任意向量，不妨取ab，bc，因它们的基线相交，将,题型1 求平面的法向量,例1：已知点 a(1,0,1)，b(0,1,1)，c(1,1,0)，求平面 abc 的,一个法向量,思维突破：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个,向量,自主解答：设平面 abc 的一个法向量为 n，则 n 垂直于平, ,其转化成数量积为 0，求得 n.,c,面的位置关系,题型2 由直线的方

3、向向量与平面的法向量判断线、,ab8620.ab.l1l2. (2)u(1,3,0)，v(3,9,0)， v3u.vu.,(3)a(1,4,3)，u(2,0,3) au0 且 aku(kr),a 与 u 既不垂直也不共线，即 l 与相交但不垂直 (4)a(3,2,1)，u(1,2,1)， au3410. au.l或 l.,自主解答：(1)a(1,3,1)，b(8,2,2)，,2下列命题中正确的是(,),a,a若 n 是平面 abc 的一个法向量，则 n 和平面 abc 内任 意一条直线的方向向量垂直 b若 n 和平面 abc 内两条直线的方向向量垂直，则 n 是 平面 abc 的法向量 c若

4、n 既是平面 的法向量，又是平面 的法向量，则 d若 ，则它们所有共同的法向量都在一条直线上,例3：如图 321，在正方体 abcda1b1c1d1 中，m， n 分别是 c1c，b1c1 的中点求证：mn平面 a1bd.,图 321,题型3 用向量方法证明线面、面面平行,线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面 内；证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面 向量且直线不在平面内；证明直线的方向向量与平面的法向 量垂直证明面面平行时可以直接证明两平面的法向量平行,思维突破：用向量法证明线面平行有如下方法：证明直,3若互不重合的平面，的法向量分别为 u(1，2，2)，,v(

5、3，6，6)，证明：.,证明：u(1 ， 2，2)，v(3，6 ， 6)， v3u，即 vu.,又u，v 分别为平面，的法向量且，互不重合， .,【变式与拓展】,例4：如图 322，在正方体 abcda1b1c1d1 中，o 为 ac 与 bd 的交点，g 为 cc1 的中点，求证：a1o平面 gbd.,图 322,思维突破：用向量法证明线面垂直一般有如下两种方法： 证明直线的方向向量与平面内两条不共线的向量垂直；证 明直线的方向向量与平面的法向量平行,题型4 用向量方法证明线面、面面垂直,【变式与拓展】,4已知在正方体 abcda1b1c1d1 中，e，f 分别是 b1b，,cd 的中点求证：平面 dea平面 a1fd1.,证明：如图 d16，建立空间直角坐标系 dxy