3.1 受弯构件的内力

1、第3章 受 弯 构 件,3.1 受弯构件的内力 3.1.1 概述 3.1.2 梁的内力-剪力和弯矩的计算 3.1.3 梁的内力图,3.1.1 概述,杆件在纵向平面内受到力偶或垂直于杆轴线的横向力作用时，杆件的轴线将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。 实际上，杆件在荷载作用下产生弯曲变形时，往往还伴随有其他变形。我们把以弯曲变形为主的构件称为受弯构件。,梁和板，如房屋建筑中的楼（屋）面梁、楼（屋）面板、雨篷板、挑檐板、挑梁等是工程实际中典型的受弯构件，如图3.1所示。,实际工程中常见的梁，其横截面往往具有竖向对称轴（图3.2（a）、（b）、（c），它与梁轴线所构成的平面称为纵向对称平面（图3.2

2、（d）。,图3.2 梁横截面的竖向对称轴及梁的纵向对称平面,（a）、（b）、（c）梁横截面的竖向对称轴；（d）梁的纵向对称平面,若作用在梁上的所有外力（包括荷载和支座反力）和外力偶都位于纵向对称平面内，则梁变形时，其轴线将变成该纵向对称平面内的一条平面曲线，这样的弯曲称为平面弯曲。,按支座情况不同，工程中的单跨静定梁分为悬臂梁、简支梁和外伸梁三类。 在梁的计算简图中，梁用其轴线表示，梁上荷载简化为作用在轴线上的集中荷载或分布荷载，支座则是其对梁的约束，简化为可动铰支座、固定铰支座或固定端支座。梁相邻两支座间的距离称为梁的跨度。,（a）悬臂梁；（b）简支梁；（c）、（d）外伸梁,图3.4（a）为

3、一平面弯曲梁。现用一假想平面将梁沿m-m截面处切成左、右两段。 现考察左段（图3.4（b）。由平衡条件可知，切开处应有竖向力V和约束力偶M。,3.1.2 梁的内力剪力和弯矩的计算,3.1.2.1 剪力和弯矩的概念,若取右段分析，由作用与反作用关系可知，截面上竖向力V和约束力偶M的指向如图3.4(c)。 V是与横截面相切的竖向分布内力系的合力，称为剪力；M是垂直于横截面的合力偶矩，称为弯矩。,构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩（弯矩）。,内力的正负规定:,剪力Fs:在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之矩为 顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。,剪力：Fs 构件受弯时，横截面

4、上存在平行于截面的内力（剪力）。,剪力的单位为牛顿（N）或千牛顿（kN）；弯矩的单位是牛顿米（Nm）或千牛米（kNm）。,左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。,弯矩M：使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。,M(+),M(+),M(),M(),用截面法计算指定截面剪力和弯矩的步骤如下： （1）计算支反力； （2）用假想截面在需要求内力处将梁切成两段，取其中一段为研究对象； （3）画出研究对象的受力图，截面上未知剪力和弯矩均按正向假设； （4）建立平衡方程，求解内力。,3.1.2.2 截面法计算剪力和弯矩,【例3.1】如图3.6(a)所示简支梁，F1F28kN，试求1-1截面的剪力和弯

5、矩。,【解】（1）求支座反力 以AB梁为研究对象，假设支座反力FA和FB如图3.6所示。 由MA0得： 2F15F28FB0 FB=(2F1+5F2)/8=(28+58)/8=7kN 由Fy0得： FA+FBF1F20 FA=F1+F2-FB=8+8-7=9kN,（2）求截面1-1的内力 取1-1截面以左的梁段为研究对象，假设剪力V和弯矩M如图3.6(b)(按正向假设)。 由Fy0得： FAF1V0 VF1FA-891kN 由MA0得： M2F14V0 M2F1+4V284120kNm 计算结果V、 M均为正值，说明其实际方向与所设方向相同。,【例3.2】试求图3.7(a)所示悬臂梁1-1截面

6、的内力。,【解】本例可不必计算固定端的支座反力。 假想将梁从1-1截面处切开，取右段为研究对象，按正向假设剪力V和弯矩M，如图3.7(b)。 由Fy0得： V2q-F0 V2qF282036kN 由M1-10得： -M-2q1F20 M-（28+202）-56kNm 计算结果V 为正值，说明其实际方向与假设方向相同。M为负，说明其实际方向与假设方向相反。,由以上例题的计算可总结出截面法计算任意截面剪力和弯矩的规律： （1）梁内任一横截面上的剪力V，等于该截面左侧（或右侧）所有垂直于梁轴线的外力的代数和,即VF外。所取梁段上与该剪力指向相反的外力在式中取正号，指向相同的外力取负号。 （2）梁内任

7、一横截面上的弯矩M，等于截面左侧（或右侧） 所有外力对该截面形心的力矩的代数和，即M=Mc（F外）。所取脱离体上M转向相反的外力矩及外力偶矩在式中取正号，转向相同的取负号。,【例3.3】试计算图3.8所示外伸梁A、B 、E、F截面上的内力。已知F=5kN，m=6kNm，q=4kN/m。,【解】（1）求支座反力 取整体为研究对象，设支反力FA、FB方向向上。 由MB0得： 6FA+2q2/2-2F-m-8F0 FA=8kN 由Fy0得： FA+FB-F-F-2q=0 FB=-FA+F+F+2q=-8+5+5+24=10kN,（2）求出相应截面的内力 按正向假设未知内力，各截面均取左段分析。 A左

8、截面： VA左-F-5kN MA左-F2-5210kNm A右截面： VA右-FFA-583kN MA右-F2-5210kNm E左截面： VE左-FFA-583kN ME左-F4FA24kNm,E右截面： VE右-FFA3kN ME右-F4FA2m10kNm F左截面： VF左-FFA3kN MF左-F6FA4m4kNm F右截面： VF右-FFAF2kN MF右-F6FA4m4kNm B左截面： VB左-FFAF-2kN MB左-F8FA6mF2-8kNm,B右截面： VB右-FFAFFB8kN MB右-F8FA6-m-F2-8kNm 由上述例题可以看出，有集中力偶作用处的左侧和右侧截面上

9、，弯矩突变，其突变的绝对值等于集中力偶的大小；有集中力作用处的左侧和右侧截面上，剪力值突变，其突变的绝对值等于集中力的大小。,若用沿梁轴线的坐标x表示横截面的位置，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x的函数，即： VxV（x） （3.1） MxM（x） （3.2） 式（3.1）、式（3.2）分别称为剪力方程和弯矩方程。根据剪力方程和弯矩方程，用描点的方法即可绘制出相应剪力图和弯矩图，这种方法称为静力法。,3.1.3 梁的内力图,3.1.3.1 静力法绘制梁的内力图,用静力法画梁内力图的步骤如下： （1）求支座反力（悬臂梁可不必求出支座反力）。 （2）根据静力平衡条件，分段列出剪力方程和弯

10、矩方程。 （3）求出各控制截面的内力值，描点绘图。 （4）根据所画V图和M图确定Vmax和Mmax的数值和位置。,【例3.4】图3.9（a）所示简支梁承受均布荷载作用，试画出其内力图。,【解】 （1）求支座反力 因结构与荷载对称，显然有 FAFB=1/2/ql（） 。 （2）列剪力方程和弯矩方程 假想将梁从距A点x的任意截面切开，取左段分析。 V（x）=FA-qx=1/2ql-qx （0 xl） M（x）FAx-1/2qx21/2qlx-1/2qx2（0 xl） （3）画剪力图和弯矩图 由剪力方程可知，剪力图为一斜直线，计算出两个截面的剪力即可画出剪力图。,当x=0+时，V（x）=VA右=1/

11、2ql； 当x=l-时，V（x）=VB左=-1/2ql。 由弯矩方程知，弯矩图是二次抛物线，至少应计算出三个截面的弯矩值才能画出弯矩图。 当x=0时，M（x）=MA=0； 当x=l/2时，M（x）=MC=1/8ql2； 当x=l时，M（x）=MB=0。,根据计算结果画出剪力图、弯矩图如图3.9(b)、(c)。 由图可见，承受均布荷载作用的剪支梁，最大剪力发生在梁端，其绝对值Vmax=1/2ql；最大弯矩发生在剪力为零的跨中截面，其绝对值Mmax=1/8/ql2。,【例3.5】画出图3.10(a)中简支梁的内力图。,【解】（1）求支座反力 由MA0得： FBl-Fa=0 FB=Fa/l（） 由M

12、B0得： Fb-FAl=0 FA=Fb/l（） （2）分段列剪力方程和弯矩方程 由于C截面处作用有集中力F，故将梁分为AC段和CB段。,AC段：在距A端为x1的任意截面处假想将梁切开，取左段梁研究，剪力V（x1）和M（x1）按正向假设，如图3.10（b）。 V（x1）FAFb/l（0 x1a） M（x1）FAx1Fb/lx1（0 x1a） CB段：在距A端为x2的任意截面处假想将梁切开，取左段梁研究，剪力V（x2）和M（x2）按正向假设，如图3.10(c)。 V（x2）FAFFb/lF-Fa/l（ax2l） M（x2）FAx2F（x2a）Fa（l-x2）/l（ax2l） （3）画剪力图和弯矩图

13、 V图：AC段和CB段的剪力图均为一条平直线。,AC段V（x1）Fb/l CB段V（x2）-Fa/l 画出剪力图如图3.10(d)所示。 M图：AC段和CB段弯矩方程均为一次函数，相应的弯矩图均为斜直线，两点可确定一条斜直线。 当x10时，MA0； 当x1a及x2a时，MCFab/l； 当x2l时，MB0。,观察上述各例，可归纳出梁在常见荷载作用下V图和M图的规律如下： 在无荷载梁段，V图为水平直线，M图为斜直线； 在均布荷载作用的梁段，V图为斜直线，M 图为二次抛物线； 在集中力作用处，V图发生突变，突变值等于集中力的大小；M图发生转折（即出现尖点）；,在集中力偶作用处，V图无变化，M图有突变，突变值等于该力偶矩的大小；