等差数列的前n项和(4).ppt

1、等差数列的前n项和(4),1.等差数列an中,已知 a1=20,前n项和为Sn,且 S10=S15. (1)求前n项和Sn; (2)当n为何值时,Sn有最 大值,并求它的最大值.,题组一:求|an|的前n项和,例1:已知数列an的前 n项和an=13-2n,求数列 |an|的前n项和,题组一:求|an|的前n项和,T13:已知数列an的前 n项和Sn=n2-10n,求： Tn=|a1|+|a2|+|an|的 值,题组二:Sn有关的性质,例2:等差数列an=2n+3, 试计算S3,S6,S9,S12, 你有何发现？能推广到 一般吗？若能,请证明 之。,题组二:Sn有关的性质,T2:在等差数列an

2、中, 已知 S4=1,S8=4, 则 a17+a18+a19+a20=,题组二:Sn有关的性质,T5:已知等差数列an 中,Sm=30,S2m=100, 则 S3m=,2.已知an是等差数列. (1)前4项和为 21,末4项和为67, 且各项和为286. 求项数; (2)Sn=20,S2n=38,求 S3n; (3)项数为奇数,奇数项和为44, 偶数项和为33,求数列的中 间项和项数.,故数列 bn 是等差数列.,解: 设等差数列 an 的公差为 d,S7=7, S15=75,解得: a1=-2, d=1.,5.在等差数列 an 中, 已知 a1=20, 前 n 项和为 Sn, 且 S10=S

3、15. (1)求前 n 项和 Sn; (2)当 n 为何值时, Sn 有最大值, 并求它的最大值.,(2)当且仅当 n=12 或 13 时, Sn 有最大值, 最大值为130.,1.已知 an 是等差数列. (1)前 4 项和为 21, 末 4 项和为 67, 且各项和为 286. 求项数; (2)Sn=20, S2n=38, 求 S3n; (3)项数为奇数, 奇数项和为 44, 偶数项和为 33, 求数列的中间项和项数.,解: (1)设数列的项数为 n, 依题意得:,4(a1+an)=21+67=88.,a1+an=22.,由 n(a1+an)=2Sn=2286 得:,(2)Sn, S2n-

4、Sn, S3n-S2n 成等差数列,S3n-S2n+Sn=2(S2n-Sn).,a1+a2+a3+a4=21, an-3+an-2+an-1+an=67, 且有: Sn=286,a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3.,n=26.,故所求数列的项数为 26.,S3n=3(S2n-Sn)=3(38-20)=54.,(3)依题意,解得: a中=11, n=7.,课后练习题,题组三:等差数列的性质,3.等差数列an中,a2与a6 的等差中项为5,a3与a7的 等差中项为7,则an=,4.在等差数列an中,am=n, an=m(nm),则am+n=,例3:在数列an中,已知,求证:

5、数列an是等差数列.,新知形成,例4.已知数列,满足,令,求证：,是等差数列。,新知形成,例1.已知三个数成等差 数列,其和为15,其平方 和为83,求此三个数.,新知形成,题组二:等差数列定义的应用,2、已知等差数列an中的 前三项依次为a-1,a+1,2a+3, 则此数列的通项公式为,32等差数列,一、概念与公式,1.定义,若数列 an 满足: an+1-an=d(常数), 则称 an 为等差数列.,2.通项公式,3.前n项和公式,二、等差数列的性质,1.首尾项性质: 有穷等差数列中, 与首末两项距离相等的两项和相等, 即:,特别地, 若项数为奇数, 还等于中间项的两倍, 即:,a1+an

6、=a2+an-1=a3+an-2= =2a中.,a1+an=a2+an-1=a3+an-2= .,an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.,特别地, 若 m+n=2p, 则 am+an=2ap .,2.若 p+q=r+s(p、q、r、sN*), 则 ap+aq=ar+as .,3.等差中项,如果在两个数 a、b 中间插入一个数 A, 使 a、A、b 成等差差数列, 则 A 叫做 a 与 b 的等差中项.,4.顺次 n 项和性质,5.已知 an 是公差为 d 的等差数列,6.若 an, bn 均为等差数列, 则 man, mankbn 也为等差数列, 其中 m, k 均为常数.,三、判断、

7、证明方法,1.定义法;,2.通项公式法;,3.等差中项法.,四、Sn的最值问题,二次函数,典型例题,3.等差数列的前 n 项和为 Sn, 若 Sm=Sk(mk), 求 Sm+k.,4.等差数列 an 的首项 a10, 前 n 项和为 Sn, 若 Sm=Sk, mk, 问 n 为何值时 Sn 最大.,0,5.在等差数列 an 中, 已知 a1=20, 前 n 项和为 Sn, 且 S10=S15. (1)求前 n 项和 Sn; (2)当 n 为何值时, Sn 有最大值, 并求它的最大值.,(2)当且仅当 n=12 或 13 时, Sn 有最大值, 最大值为130.,7.已知函数 f(t) 对任意实

8、数 x, y 都有: f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x +y+2)+3, f(1)=1. (1)若 t 为正整数, 试求 f(t) 的表达式; (2)满 足 f(t)=t 的所有整数 t 能否构成等差数列? 若能构成等差数列, 求出此数列; 若不能构成等差数列, 请说明理由; (3)若 t 为自然数, 且 t 4, f(t)mt2+(4m+1)t+3m 恒成立, 求 m 的最大值.,(1)f(t)=t3+3t2-3 (tN*);,(3)f(t)mt2+(4m+1)t+3mf(t)-tm(t2+4t+3)mt-1.,所求数列为: -3, -1, 1 或 1, -1, -3;,(2)f

9、(t)=t3+3t2-3 (tZ), f(t)=t t=-3, -1, 1,故 m 的最大值是 3.,(1)an=(2n-1)p+q (nN*);,(2)an+1-an=2p0, an+1ana1=p+q=1;,连线的斜率为定值(p)即可.,1.已知 an 是等差数列. (1)前 4 项和为 21, 末 4 项和为 67, 且各项和为 286. 求项数; (2)Sn=20, S2n=38, 求 S3n; (3)项数为奇数, 奇数项和为 44, 偶数项和为 33, 求数列的中间项和项数.,解: (1)设数列的项数为 n, 依题意得:,4(a1+an)=21+67=88.,a1+an=22.,由

10、n(a1+an)=2Sn=2286 得:,(2)Sn, S2n-Sn, S3n-S2n 成等差数列,S3n-S2n+Sn=2(S2n-Sn).,a1+a2+a3+a4=21, an-3+an-2+an-1+an=67, 且有: Sn=286,a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3.,n=26.,故所求数列的项数为 26.,S3n=3(S2n-Sn)=3(38-20)=54.,(3)依题意,解得: a中=11, n=7.,课后练习题,解: an, bn 是等差数列,它们的前 n 项和是关于 n 的二次函数, 且常数项为 0,a5=S5-S4=65k, b5=S5-S4 =13

11、k.,可设 Sn=kn(7n+2), Sn =kn(n+4),3.设 an 是一个公差为 d(d0) 的等差数列, 它的前 10 项和 S10=110, 且 a1, a2, a4 成等比数列. (1)证明: a1=d; (2)求公差 d 的值和数列 an 的通项公式.,(1)证: a1, a2, a4 成等比数列, a22=a1a4.,而 an 是等差数列, 有 a2=a1+d, a4=a1+3d.,(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得 d2=a1d.,d0,a1=d.,(2)解: S10=110, 而 S10=10a1+45d,10a1+45d=110,又由(1)知 a1=d, 代入上

12、式得: 11a1=22.,即 2a1+9d=22.,a1=2.,an=2+(n-1)2=2n.,d=a1=2.,公差 d 的值为 2, 数列 an 的通项公式为 an=2n.,故数列 bn 是等差数列.,5.数列 an 的前 n 项和为 Sn=npan(nN*), 且 a1a2, (1)求常数 p 的值; (2)证明数列 an 是等差数列.,(1)解: 当 n=1 时, a1=pa1, 若 p=1, 则当 n=2 时有 a1+a2=2pa2=2a2.,a1=a2 与 a1a2 矛盾.,p1.,a1=0.,由 a1+a2=2pa2 知: (2p-1)a2=a1=0.,a2a1,a20,an=(n

13、-1)a2.,an-an-1=a2.,故数列 an 是以 a1 为首项, a2 为公差的等差数列.,(1)证: 由 an+1=Sn+1-Sn 得: 8an+1=(an+1+2)2-(an+2)2.,(2)解: 由已知 8a1=8S1=(a1+2)2 a1=2, 故由(1)知 an=4n-2.,(an+1-2)2-(an+2)2=0.,(an+1+an)(an+1-an-4)=0.,anN*, an+1+an0.,an+1-an-4=0 即 an+1-an=4.,an 是等差数列.,bn=2n-1-30=2n-31.,解 2n-310 且 2(n+1)-310 得:,nN*, n=15.,bn

14、的前 15 项为负数, 其前 15 项和 T15 最小.,b1=-29, 公差 d=2,故所求前 n 项和的最小值为 -225.,T15=15(-29)+1572=-225.,7.已知等差数列 an 的首项是 2, 前 10 项之和是 15, 记An=a2 +a4+a8+a2n (nN*), 求 An 及 An 的最大值.,解: 设等差数列 an 的公差是 d,由已知: a1=2 且 10a1+45d=15.,An=a2+a4+a8+a2n=na1+d1+3+7+(2n-1),=na1+d(2+22+23+2n-n),求 An 的最大值有以下解法:,法1: 由 a10, da2ak0ak+1.

15、,由 k=2n19(nN*) 得 n4.,即在数列 a2n 中, a21a22a23a24 0a25.,当 n=4 时, An 的值最大, 其最大值为:,解: 求 An 的最大值有以下解法:,法2: 若存在 nN* 使得 AnAn+1 且 AnAn-1, 则 An 的值最大.,解得: 9.52n19(nN*)n=4.,故取 n=4 时, An 的值最大, 其最大值为:,7.已知等差数列 an 的首项是 2, 前 10 项之和是 15, 记An=a2 +a4+a8+a2n (nN*), 求 An 及 An 的最大值.,解: 设等差数列 an 的公差为 d,S7=7, S15=75,解得: a1=-2, d=1.,10.已知数列 an 是等差数列, 其前 n 项和为 Sn, a3=7, S4=24. (1)求数列 an 的通项公式; (2)设 p, q 是正整数, 且