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文档简介

1、5二次型的正定性,将二次型f化为标准形，如果所用的方法不同（即所用的可逆变换不同），则f化成的标准形也不同，但是f的任意两个不同标准形所含的平方项项数却是相等的即它们都等于f的秩，而且从上一节的例子可以看出f的两个不同标准形的正项项数相等，从而负项项数也相等这就是二次型的惯性定理,定义5设二次型,的任意一个标准形为,则其中正项项数称为f的正惯性指数，负项项数称为f的负惯性指数，正惯性指数与负惯性指数的和r称为f的惯性指数,的正惯性指数等于3，负惯性指数等于1,在二次型中，比较常用的是二次型的标准形的n个系数 全为正或全为负的情形,定义6 设二次型 ， 如果对任何非零向量X，都有,（1） ，则称

2、f为正定二次型，且称矩阵A为正定矩阵；,（2） ，则称f为负定二次型，且称矩阵A为负定矩阵；,既不是正定二次型也不是负定二次型的二次型称为不定二次型,二次型的正定、负定或不定统称为二次型的正定性,例如二次型 ，仅当,时，f = 0，除此之外，无论 取何值，总有,因此，f是正定二次型,定理8 （1）二次型,为正定的充分必要条件是：,它的标准形的n个系数全为正；,（2）二次型,为负定的充分必要条件是：,它的标准形的n个系数全为负；,推论 （1）n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：,A的n个特征值全为正,（2）n阶实对称矩阵A为负定矩阵的充分必要条件是：,A的n个特征值全为负,由以上结论可知

3、，要判断二次型的正定性，需将其化为 标准形或求出对称矩阵A的全部特征值,下面将介绍一个利用矩阵的顺序主子式判断矩阵正定性的方法：,定义7n阶方阵,的左上角r阶方阵的行列式,称为A的r阶顺序主子式,定理9（1）n阶实对称矩阵 为正定矩阵的充分必要 条件是：,A的各阶顺序主子式都为正，即,（2）n阶实对称矩阵 为负定矩阵的充分必要 条件是：,A的奇数阶顺序主子式都为负，偶数阶顺序主子式都为正,即,例27判别二次型,的正定性,解 利用配方法将f化为标准形,令,则,由于二次型f的标准形的系数有正有负，故f不是正定二次型，,也不是负定二次型即f是不定二次型,例28 判别二次型,的正定性.,解 f的矩阵为,由于A的各阶主子式,故矩阵A的各阶顺序主子式都为正，从而二次型f是正定二次型,例29判别二次型,的正定性,解 f的矩阵为,由A的特征多项式,求得A的特征值为,因为A的3个特征值全为负，故A是负定矩阵，从而f是负定二次型,例30 t满足什么条件时，二次型,是正定的,解 f的矩阵

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