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文档简介

1、子空间的概念,1,1.子空间的定义 设V是数域F上的线性空间, S为V的一个子集，如果S关于V 的向量加法和数量乘法也构成线性空间，则称S为V 的一线性子空间，简称为子空间。,2,2、线性子空间的判定,定理：设V为数域F上的线性空间，S为V的一个子集，则S为V的一个子空间的充分必要条件是： （1）对任意向量 都有 （2）对任意向量 和任意数 都有 。 即：V中两运算关于S是封闭的,3,2、线性子空间的判定,定理：设V为数域F上的线性空间，S为V的一个子集，则S为V 的一个子空间的充分必要条件是，对任意向量 和任意数 都有,4,证明:要证明S也为数域F上的线性空间,即证S中的向量满足线性空间定义

2、中的八条规则. 由于 ，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的.下证3）、4）成立. 若 ,或者 ,显然成立. .由数乘运算封闭，有 即S中负元素就是它在V中的负元素，4）成立.由加法封闭有 ,即S中的零元就是V中的零元，3）成立。,5,以及线性空间 本身。,例 1 对于任意一个有限维线性空间 ，它必有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间,6,例 4 设 为 维线性空间 中的 一组向量，那么非空集合,构成 的一个子空间(显然)，称此空间为由 张成的线性子空间。记作,例 2 设,例 3 设,则V是C上的线性空间，我们称其为矩阵A的列空间 或值空间并记为：R(A),即线性方程组 的解集，则V是C上的线性 空间，我们称其为矩阵A的零空间，并记为：N(A),7,例 5 设,证明,由定义,设,对于任意的 有,显然,8,定理： 设 V为数域F的线性空间，,令,9,定义 设,则称V为,的直和空间，记为,又称V有直和分解式 ，此时，称,为V的互补子空间，记,且,10,例 17 在 空间中，考虑子

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