概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布 第二节 离散型随机变量及其概率分布.ppt

1、随机变量及其分布,第二节 离散型随机变量 及其概率分布,一、离散型随机变量的定义,如果某些随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个, 这种随机变量称为离散型随机变量 .,例如，设某电话总机在一分钟内收到的呼叫 次数为X，由于 X的可能取值为 0，1，2，3， 故X为一离散型随机变量,二、离散型随机变量的概率分布,二、离散型随机变量的概率分布,二、离散型随机变量的概率分布,例4 某银行发行十元一张的定期一年有奖储蓄，共 一亿张。规定：头等奖5000张，二等奖25000张，三 等奖100000张，四等奖500000张，五等奖1200000张。 那么考察一张储蓄券的中奖情况，用X表示中奖类

2、别，则X是一个离散型随机变量。求X的分布列。,解：因X是一个离散型随机变量，所以X的可能取值是： 1，2，3，4，6。其中“1”表示中头等奖，“2”表示 中二等奖，“6”表示不中奖。其对应的概率为：,二、离散型随机变量的概率分布,例4 某银行发行十元一张的定期一年有奖储蓄，共 一亿张。规定：头等奖5000张，二等奖25000张，三 等奖100000张，四等奖500000张，五等奖1200000张。 那么考察一张储蓄券的中奖情况，用X表示中奖类 别，则X是一个离散型随机变量。求X的分布列。,二、离散型随机变量的概率分布,例4 某银行发行十元一张的定期一年有奖储蓄，共 一亿张。规定：头等奖5000

3、张，二等奖25000张，三 等奖100000张，四等奖500000张，五等奖1200000张。 那么考察一张储蓄券的中奖情况，用X表示中奖类 别，则X是一个离散型随机变量。求X的分布列。,二、离散型随机变量的概率分布,例5 某商店某货物中有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品率和废品率分别为60，10，20，10。现在售货员任取一件检查其质量，用随机变量X描述检验结果并写出它的分布列。,解：令“XK”与货物为“K等品”（K1，2，3）相对应，“X4”与货物为废品相对应。,二、离散型随机变量的概率分布,例6 自动生产线在调整以后出现废品的概率为p，生产过程中出现废品时，立即重新调整，求在

4、两次调整之间生产的合格品数的分布列。,解：设两次调整之间生产的合格品数是X，则X是一个离散型随机变量。 “X0”表示调整后生产的第一个产品是废品，则有P(X=0)p； “X1”表示调整后生产的第一个产品是合格品，而第二个产品是废品，则有P(X=1pq(q=1-p)；,二、离散型随机变量的概率分布,例6 自动生产线在调整以后出现废品的概率为p，生产过程中出现废品时，立即重新调整，求在两次调整之间生产的合格品数的分布列。,“X2”表示调整后生产的第一个及第二个产品是合格品，而第三个产品是废品，则有P(X=2)pq2 以此类推，可知合格品数X的概率分布为,练习1 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求

5、他两次独立投篮投中次数X的概率分布.,解： X可取值为0,1,2 ;,PX =0=(0.1)(0.1)=0.01,PX =1= 2(0.9)(0.1) =0.18,PX =2=(0.9)(0.9)=0.81,二、离散型随机变量的概率分布,练习2 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的分布律.,解: 显然，X 可能取的值是1,2, ，,PX=1=P(A1)=p,为计算 PX =k ， k = 1,2, ，,Ak = 第k发命中，k =1, 2, ，,设,于是,二、离散型随机变量的概率分布,练习3 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口

6、，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的分布律.,解: 依题意, X可取值0, 1, 2, 3.,PX=0=P(A1)=1/2,二、离散型随机变量的概率分布,X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,二、离散型随机变量的概率分布,即,X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,二、离散型随机变量的概率分布,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,1、单点分布（或退化分布）,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,2、两点分布（或0-1分布、贝努力分布）,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,例7

7、 从一批产品中，抽取一件进行质量检查，若规定正品为“1”，次品为“0”，那么抽取一件的结果，就可以用一个随机变量X来描述。现有产品m+n件，其中正品m件，次品n件，问X的分布列是什么？,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,3、独立重复试验与二项分布,（1）独立重复试验,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 恰好中三次的概率；至少击中三次的概率。,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 恰好中三次的概率；至少击中三次的概率

8、。,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 恰好中三次的概率；至少击中三次的概率。,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,（2）二项分布,在n次独立重复试验（n重贝努里试验）中，若以X表示事件A出现的次数，则X是一个随机变量，它所有可能取值为0，1，2，n，其分布列为,则称X服从二项分布。简记为XB（n,p）,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,例9 某厂试制新产品，此新产品试验成功的概率为0.7，独立试验10次，问10次试验恰有8次成功的概率是多少？,解：将每次试验看

9、作一次随机试验，其结果只有两种可能，即成功或失败，而成功的概率为0.7，即p0.7，连续10次试验即10重贝努力里实验。设成功的次数为X，则X服从参数为n=10，p0.7的二项分布，即XB（10，0.7）故,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,例10 某银行办事处，办理有奖储蓄，每100，000张储蓄券为一组，其中设特等奖1张，一等奖10张，二等奖100张，三等奖1000张，其余无奖，某人持有三张储蓄券，试写出中奖张数的概率分布。,解：由题设，买到一张储蓄券中奖的概率p0.01111，不中奖的概率q=1p=0.98889，,中奖张数为一个随机变量X，则XB（3，0.01111）,三、几种常见

10、离散型随机变量的概率分布,例11 某人进行射击，设每次击中的概率为0.02，独立射击400次，试至少击中两次的概率是多少？,解：这是一个独立重复试验概型，设击中的次数为X，则它服从参数为n=400，p=0。02的二项分布，即XB（400，0.02）其概率分布为,练习1 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.,解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 .,X b (3, 0.8)，,把观察一个灯泡的使用 时数看作一次试验, “使用到1000小时已坏” 视为事件A .每次试验, A 出现的概率为0.8,PX 1 =P

11、X=0+PX=1,=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2,=0.104,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,分析,这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.,练习2,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,解,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,注意：P(X=4)最大。,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,一般地，若在k0处，概率PX=k达到最大（称 k0为随机变量X的最可能值）。则k0应满足,本例中，n=20，p=0.2, 所以，(n+1)p=4.2, 故k0=4。,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,

12、练习3 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.,发生故障时不能及时维修”,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,故有,即有,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,按第二种方法,故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,4、泊松分布,泊松分布是1837年法国数学家泊松（Poisson）作为二项分布的

13、近似计算机引入的。近年来日益显示其重要性，即它不仅是二项分面的泊松近似，它本身就是一种重要的分布。,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,定理1：,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,证,记,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,例12 在本节例11中，如果射手命中率是0.01，连续射击400次，击中至少两次的概率为,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,例13 已知某段时间内每一纱锭上的断纱率为0.003，一个女工看管1000个纱锭，求在这段时间内断纱次数不超过10的概率。,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,例14 某商店出售某种贵重商品，根据以往

14、经验，每月销售量X服从参数3的泊松分布，问在月初进货时要库存多少件此商品，才能以99的概率充分满足顾客的需要？,练习1 独立射击5000次, 命中率为0.001,解 (1) k = ( n + 1)p ,= ( 5000+ 1)0.001 =5,求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；,命中次数不少于1 次的概率. (至少命中1次的概率),三、几种常见离散型随机变量的概率分布,(2) 令X 表示命中次数, 则 X b(5000,0.001),三、几种常见离散型随机变量的概率分布,解 令X 表示命中次数, 则,令,此结果与用二项分布算得的结果0.9934仅相差万分之一.,利用Poisson定理再求例12 (2),X b( 5000,0.001 ),三、几种常见离散型随机变量的概率分布,由此可见日常生活中“提高警惕, 防火防盗”的重要性.,由于时间无限, 自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的事，不用奇怪，不用惊慌.,同样,由于人的一生是一个漫长的过程，在人的一生中发生车祸、失恋、患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都属于正常现象, 大可不必怨天尤人, 更不要想不开而跳楼自杀.,小概率事件虽不易发生，但重复次数多了， 就成大概率事件.,本例 启示,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,5、超