光学设计 第14章 光学系统初始结构设计方法

1、第三篇 光学系统设计 光学仪器的基本功能是借助于光学原理，通过光学系统来实现的。光学系统的优劣直接影响仪器的性能和质量，因此，光学系统设计是光学仪器设计和制造过程中的重要一环。 本部分的目的是使读者获得光学设计所需要的基本理论和知识，并通过必要的设计实践以掌握光学设计的初步能力。 光学设计工作大体上可分四个阶段： 一、根据仪器的技术参数和要求，考虑和拟定光学系统的整体方案，并计算其中各个具有独立功能的组成部分的高斯光学参数； 二、选择各组成部分的结构型式，并查取或计算其初始结构参数； 三、逐次修改结构参数，使像差得到最佳的校正和平衡； 四、对设计结果进行评价。 上述各个阶段性工作之间有着密切的

2、联系，前期工作的合理与否会影响到后期工作能否顺利进行，甚至会决定设计工作能否成功。 光学系统的整体方案可以有很大的灵活性和多样性，应该力求在满足仪器的性能要求的前提下，寻求一个简单易行、便于装调和经济合理的最佳方案。相应地，系统各组成部分的光学性能参数也应根据整体要求定得恰如其分。 选择结构型式是光学设计中的重要一步，可能导致设计的成败。现在，各种用途的光学镜头已积累起种类甚多的结构型式，它们有各自的像差特征和在保证像质时可能达到的相对孔径和视场，有些型式还能在工作距离或镜筒长度等参数方面达到其特殊要求。因此，基于对已有结构型式基本特征的全面了解，有可能挑选到符合要求的型式。但应注意到，随着对

3、镜头要求的不断提高，设计者还应不断探求和研究新的更佳结构。 镜头初始参数的获得一般采用二种方法，一是根据初级像差理论求解满足初级像差要求的解，另一种方法是在已有的设计成果中选取性能参数相当的结果作为初始参数。 像差的平衡是一项通过反复修改结构参数以逐步逼近最佳结果的工作，这在过去以人工计算光路时，工作量是很大的。计算机应用于光学设计后，先是取代了繁重的光路计算，随后又用于像差自动平衡，才根本上改变了光学设计的面貌。应用像差自动平衡方法，能充分挖掘出系统各个结构参数对像差校正的潜力，不仅极大地加快了设计进程，而且显著提高了设计质量。 在认为像差已全面校正和平衡到良好程度后，需对像质作全面评价，以

4、决定设计结果是否已达到要求。如果没有达到要求，仍需继续做像差平衡工作；如果属于结构型式的局限或初始参数不合理，应另选结构型式或另定初始参数，并重复前面的工作。任何光学系统都是由许多光组组成，每个光组有自己的性能要求，如显微系统、望远系统至少要分为物镜和目镜两部分，照相系统多为一个照相物镜。根据各光组的光学特性要求选定其结构型式，进行初始结构参数的求解上述光学设计的第一步工作主要以几何光学部分的内容为基础。第二步和第三步则需有较全面和坚实的像差知识。作为它们的应用，本部分还将以若干个典型光学系统与镜头为例进行设计计算。无论是用初级象差理论为基础求解得的初始结构参数，或根据已有资料选得的初始结构参

5、数。它们的象差都不一定能满足要求。因此，要进行象差校正。、 最后值得指出，在光学设计过程中，必须使所设计系统在满足仪器的技术要求和达到良好像质的前提下，充分注意其经济性，包括做到结构简单合理、材料选用恰当、公差恰如其分、工艺性能良好、装配调整方便等，所有这些，都与降低成本有密切的联系。第十四章 光学系统初始结构设计方法 利用共轴球面系统的初级像差公式，由第一、第二近轴光线的计算数据可以算出系统的初级像差，并可以分析系统的像差性质，研究像差与光学系统结构的关系，对光学系统设计有重要的指导意义。但是，光学设计要求正好相反，根据对光学系统的像差要求求出光学系统的结构，即设计出符合预定像差要求的光学系

6、统。解决这个问题的理论基础是薄透镜系统的初级像差理论。光学系统的初级像差可以表示为“像差特性参量”、。当光学系统的外形尺寸和像差要求确定后，可以求出“像差特性参量”，而“像差特性参量”是与光学系统的结构有关的，这样就可以求出光学系统的结构。首先，对整个光学系统作外形尺寸计算，求出各个光组上的光线入射高度、，光焦度，拉赫不变量；再根据对各个薄透镜组的像差要求，求出各个薄透镜组的“像差特性参量”、；最后，由“像差特性参量”、确定各个薄透镜组的结构参数。实际上，任何光学系统或薄透镜组的结构参数可以分为两部分。一部分是内部参数，是指光组各个折射面的曲率半径、折射面间的间隔、折射面间介质的折射率。另一部

7、分称为外部参数，是指物距、焦距、半视场角、相对孔径等。“像差特性参量”、不仅与内部参数有关，还与外部参数有关，即、值还随外部参数的变化而变化。为使、值只决定于内部参数，以便由其决定光学系统的结构，对光学系统的、值的计算给以特定条件，称为“规化条件”，即令、。即把任何焦距的光学系统缩放到后，按规化条件作光线光路计算，所求得的像差特性参量以、表示，称为光学系统的基本像差参量，它们只与系统的内部参数有关，而不再受外部参数的影响。1 赛得和数的表示形式一 阿贝零不变量表示的赛得和数赛得和数表征了光学系统的初级单色像差在各个折射面上的分布。因此，赛得和数除了与光学系统的物距（）、视场（）有关外，还与光学

8、系统的结构（，）有密切的关系。 图141 单球面折射的第一、第二近轴光线如图141所示，在第一赛得和数中：式中，是阿贝零不变量。还有：另外，则第一赛得和数可写为：由于，同样得到第二赛得和数：式中，是第二近轴光线在折射面上的入射高度，是第二近轴光线的阿贝零不变量。和之间可用拉赫不变量联系起来：因此得到第二赛得和数的另外一种表示：对于第三赛得和数，由于，同样可以得到： 对于第四赛得和数，得到： 对于第五赛得和数，由于，同样可以得到：阿贝零不变量表示的赛得和数，便于分析初级像差与光学系统结构参数（，）的关系。或者说，给这种形式的赛得和数以要求的值，列出方程，求解光学系统的初始结构，以便进行光路计算，

9、修改结构参数，以使像差满足要求。二 形式的赛得和数在光学设计中更为常用的是形式的赛得和数。引入符号和如下：，由于，所以 因此： 而由此可以得到但折射球面的和的表示式： ， 和的表示式还可以写成另外的形式。由于，以及则得到为导出形式的赛得和数，还要求得和的关系。由阿贝零不变量和与拉赫不变量之间的关系，得到：或第一赛得和数的表示形式为：第二赛得和数的表示形式为：第三赛得和数的表示形式为：第四赛得和数的表示形式为：第五赛得和数的表示形式为：其中：第一项为第二项为第三项为第四项为 ，可与第二项合并。第五项为，可与第三项合并。第六、八项合并（应用折射定律、以及和化简）：第七项不变。由此得到第五赛得和数的

10、表示形式为：三 薄透镜系统初级像差的表示式薄透镜系统是由若干个“薄透镜光组”组成，透镜光组之间有一定的间隔，每个“薄透镜光组”由几个相接触的薄透镜组成，每个“薄透镜光组”中各个折射面上的和相等，如双胶合透镜（组）有3个折射面。可以将同一个“薄透镜光组”中各个折射面的和之和作为该“薄透镜光组”的和。1 薄透镜光组的和表示式设第个“薄透镜光组”有个折射面，其和可表示为： ， 2 薄透镜系统的赛得和数对于第个“薄透镜光组”来说由于、，则得到若第个“薄透镜光组”置于空气中，则可以进一步得到：对于单个透镜（两个折射面）组成的第个“薄透镜光组”来说：若薄透镜置于空气中，、（透镜的折射率），则可以进一步得到

11、：式中，为单个薄透镜在空气中的光焦度。对于由个薄透镜所组成的第个“薄透镜光组”，在空气中，有：设，若忽略各个薄透镜的折射率差别，则，则得到：对于一般的光学玻璃，则。对于“薄透镜光组”来说，所有折射面上的入射高度相同，可以提到求和号外面，并且，再设“薄透镜光组”置于空气中，则：经过以上化简，对于置于空气中的、由个“薄透镜光组”组成的光学系统，其赛得和数公式可以写为以下形式：3 相接触薄透镜系统的赛得和数对于由相接触薄透镜组成的光学系统，每个折射面上的和相等，其赛得和数的表示式还可以进一步简化为：若光阑与相接触薄透镜系统相重合时，则，则上式又可以写为：4 讨论（1）当光学系统的物距（）、光阑位置（

12、）、第一和第二近轴光线的孔径角（）和（）确定后，对于由彼此相间一定距离的两个或两个以上薄透镜光组组成的光学系统，五种初级像差决定于各个薄透镜光组的光焦度分配和各个光组的和的组合。（2）当、和总的光焦度确定后，由单组薄透镜组成的光学系统，五种初级像差由系统的和决定。且当初级球差为零时，初级慧差或初级正弦差决定于。（3）当、和总的光焦度（）确定后，且（），初级球差决定于系统的，初级慧差或初级正弦差决定于系统的。（4）对于单组的薄透镜光组构成的光学系统，由于其第四赛得和数近似于常数，所以该种系统除外，不能使。而对于分离的两个或两个以上薄透镜光组构成的光学系统，则有可能满足一定光焦度的情况下，使。比如

13、，两个薄透镜光组：，间隔为的光学系统，设，则有合成光焦度（5）当单组薄透镜组成的光学系统的和均为零时，光阑位置将对不发生影响。这时，、均取决于总光焦度。（6）当光阑与薄透镜光组重合时，、取决于总光焦度，而。2 薄透镜系统的基本像差参量为应用初级像差理论求解光学系统的初始结构参数，需把实际计算初级像差系数的基本公式组作必要的变换，以便使它们能与透镜或透镜组的结构参数联系起来。使用表示的初级像差系数表示式是解决这一问题的比较好的方法。一 、值随物体位置的变化像差参量、不仅与透镜组的内部结构参数有关，还要随外部参数（即物体位置）而异。为便于求解透镜组结构参数，须将、中与内部参数有关的量和与物体位置有

14、关的量分离开来。具体做法是以某特定位置，即物在无限远时的、值来作为薄透镜组的基本像差参量，极值以符号、表示，再建立起任意位置时的、值与、值之间的关系。 图142 物点在轴上不同点时的关系如图142所示，当物体位于处时，物方孔径角为；当物体移到处时物方孔径角为。此时满足 由单折射球面近轴折射公式，得到，两边同乘以，得到 ， 故有 同理，对于其它折射面，亦有 又有转面公式：，因此，对整个薄透镜组求和，得到式中，带星号的量为物面移动后的量。设 ，则，将此式代入单折射球面的中，得到“薄透镜光组”的 上式中，第一项就是移动前“薄透镜光组”的第二项 式中，假设 ，即“薄透镜光组”放在空气中。为“薄透镜光组

15、”的光焦度。第三项式中，；对于单折射面，光焦度为第四项式中，即假设“薄透镜光组”放在空气中。由此得到“薄透镜光组”的的表达式：用同样的方式推导，可以得到“薄透镜光组”的表达式当目标处在无限远时，则得到： 用、表示物面移动前的、值，用不带星号的、表示物面移动后的、值，则有式中，是物面移动到有限远处时，轴上物点的孔径角。二 、值的规化实际应用上，常以规化条件下的、值作为基本像差参量。设有一个焦距为的透镜组，对于一般情况，物体并不在无穷远，设物距为，像距为，第一近轴光线入射高度为，如图143（a）所示。这样一个薄透镜组，其像差特性参量为、，我们可以找出一个与它相对应的规化系统，亦即假定上述薄透镜组的

16、各个球面的半径值都除以薄透镜组的焦距值，得到一个新的薄透镜组，其焦距也缩小倍，也就是得到一个焦距等于1的薄透镜组。再假设物距、像距也缩小倍，即保持薄透镜组物像相对位置不变，并且取入射高度。对于这样的规化系统的相应量用字母上加横线表示，如图143（b）所示，其像差特性参量用、表示，称为、的规化值。 图143 光线在单折射球面上折射及其规化由图143得到：，并且，由高斯公式，得到，由此，可以得到 、分别称为规化的像方孔径角和物方孔径角。由于与、的三次方成比例，与、的二次方成比例。用、表示规化的、值，则，因此，则：所以，对于规化系统，得到式中，、称为透镜组的基本像差参量，它们是在规化条件下，并且目标

17、在无限远处时的情况下的、值。三 基本像差参量表示的“薄透镜光组”组成的光学系统的初级像差 对于由个“薄透镜光组”组成的光学系统，其初级像差表示为：四 薄透镜系统的初级色差同样需要将初级色差公式对薄透镜系统的情形进行简化。薄透镜光组初级色差公式为： ， 对于同一个“薄透镜光组”中的各个折射面来说，和相等，可以提到求和号外面。首先看单个透镜的情况。设透镜玻璃的折射率为，色散为，透镜置于空气中，则有：，；，；，将和式展开，并考虑到 式中，是单透镜的光焦度，在光学设计中经常用到，其倒数用表示，称为色散倒数，或阿贝数：因此对于由个薄透镜组成的“薄透镜光组”来说，有：令，则由若干个薄透镜组成的“薄透镜光组

18、”的色差系数为： ， 可见，对于一个由若干个薄透镜组成的“薄透镜光组”来说，消色差的条件是： 当满足这一条件时，“薄透镜光组”可以同时消除位置色差和倍率色差，与物体的位置没有关系，因此“薄透镜光组”对任一物平面位置校正了色差，则所有物平面的色差也就没有了。由于“薄透镜光组”具有这一性质，因此一般由若干个“薄透镜光组”组成的薄透镜光学系统中，大多数采取每一个“薄透镜光组”分别消色差，这时，整个系统也就同时消除位置色差和倍率色差。另外，由消色差条件可以看到，欲使“薄透镜光组”消色差，必须采用两种或两种以上不同色散的玻璃。因为如果“薄透镜光组”采用同一种玻璃，则其阿贝数相同，于是：，或可见，在“薄透

19、镜光组”消色差时，“薄透镜光组”的总光焦度为0，这是没有实际用途的。同样，可以把值对进行规化。至于物体位置（）和入射高度（），由于与它们无关，无须规化。对应的值用表示。如果将这个“薄透镜光组”按比例缩小倍，“薄透镜光组”的焦距就等于1，“薄透镜光组”每一个透镜的焦距也要缩小倍，比原来的值增加倍，由此得到：，或 式中，是“薄透镜光组”的光焦度。这样，“薄透镜光组”的色差表示为： ， 对于由个“薄透镜光组”组成的光学系统，其色差表示为： 这里，也是基本像差参量。3 双胶合透镜组的基本像差参量在“薄透镜光组”中，双胶合透镜是最具有代表性、且应用广泛的透镜组。它是能够满足一定的、要求的最简单的结构形式

20、。如果能把双胶合透镜的结构参数与、联系起来，就可以由所要求的、来解出双胶合透镜的结构参数来，再经过像差校正和平衡，就可以设计出满足要求的双胶合透镜。一 双胶合透镜的结构参数首先，必须选定表示双胶合透镜的结构参数。如图143所示，双胶合透镜由两种玻璃材料构成，其三个折射球面的曲率半径分别为、，两种玻璃的折射率和色散系数分别为、。规化条件要求：、双胶合透镜的焦距、总光焦度 图144 双胶合透镜由光焦度的规化条件，得到，或。式中，、分别是两个透镜的光焦度。可见，和中只有一个独立变数，现取作为独立变数，作为表示双胶合透镜结构的一个参数。当玻璃材料（、）确定、光焦度（）确定的情况下，只要确定三个折射球面

21、曲率半径之一，其余两个折射球面曲率半径也就确定了。因为：、当、确定时，如果给定，则可以确定、。所以，在双胶合透镜的玻璃材料和光焦度确定以后，就只剩下了一个结构参数。我们选择如下与有关的变量作为双胶合透镜结构参数的一个独立变数。是与双胶合透镜的弯曲形状有关的变量，称为形状系数。因此，用以表示双胶合透镜的全部独立结构参数为：、。二 双胶合透镜的由于我们最后的目的是求出双胶合透镜的各个半径值，为此我们首先将、表示为双胶合透镜结构参数的函数：规化的色差系数为将代入上式，有在和的表达式中，除了与玻璃的折射率、有关外，还与第一近轴光线与光轴的夹角（孔径角）、有关，为此，要先将、表示为结构参数的函数。根据规

22、化条件，对于第一折射球面，有，；而由近轴光线计算，则 ，得对于第二折射球面，根据规化条件，有，；而由近轴光线计算，则，得对于第三折射球面，根据归化条件，有 。另有，这样，就可以将和表示为双胶合透镜结构参数的函数： 式中令 则 至此，我们已经用变量把、与透镜的结构联系起来。即在透镜玻璃材料和光焦度分配确定后，已知、，可以求得透镜的形状系数。解得 ，和这里，、等系数是双胶合透镜的结构参数、的函数。而、是由消色差要求决定的，它们取决于所选玻璃的阿贝数、，可见，、也由所选玻璃决定。因此，上述各个系数归根结底是由透镜的玻璃组合决定。玻璃组合不同，各个系数也不同，当玻璃选定后，对应消色差要求的的各个系数也

23、就确定了。上面两式中所求得的值并不会完全相同，通常是取其平均值。由值就得到透镜的曲率半径等结构参数。对于双胶合透镜，要消色差，通常是冕牌玻璃和火石玻璃的组合。如果对现有的冕牌玻璃和火石玻璃进行组合，并对不同的值来计算值，发现值变化很小，在2.32.45之间，一般取2.35来近似。同时，。因此，近似取，和为讨论像差特性参量和与玻璃材料的关系，从和的表示式中消去与透镜结构形状有关的因子，得到当冕牌玻璃在前面时，；当火石玻璃在前面时，。因此当冕牌玻璃在前面时当火石玻璃在前面时为简化起见，不管哪种玻璃在前面，用统一的公式来表示，误差也不大，可取，则。由此可见，当选定透镜玻璃组合而确定值后，这时其和就不再是独立变量，二者之间是抛物线关系。我们可以根据对球差（）和慧差（）的要求，分别求出双胶合透镜的和。