初中数学八年级培优竞赛第14讲 从勾股定理谈起

1、 第14讲 从勾股定理谈起到底是什么使我们感到一个解法、一个证明优美呢，那就是各个部分间和谐、对称，恰到好处的平衡。 庞加莱勾股定理揭示了直角三角形三边这间的关系，大约在公元前1100多年前，商高已经证明了普通定义下的勾股定理，国外把勾股定理称为“毕达哥拉斯定理”.勾股定理是平面几何中一个重要定理,其广泛应用体现在,勾股定理是现阶段线段计算、证明线段平方关系的主要方法；运用勾股定理的逆定理，通过计算也是证明直线垂直位置关系的一种有效手段。直角三角形是一类特殊的三角形，有着丰富的性质：两锐角互余（角的关系），勾股定理（边的关系），30所对的直角边等于斜边的一半（边的关系），这些性质在求线段的长短

2、、证明线段倍分关系，证明线段的平方关系等方面有广泛的应用。例题求解【例1】（1）RtABC三边的长分别是x,x+1和5，则三角形的周长= （第十九届“希望杯”邀请赛试题）(2).已知RtABC的两直角边AC=5，BC=12，D是BC上的一点，当AD是A的平分线时，则CD= （太原市竞赛题）思路点拨：对于（1）应分类讨论；对于（2），能在RtACD中求出CD吗？从角平分线性质入手链接一些著名问题都可归结为勾股定理证明。1斯坦纳定理如图，若P为ABC内任意一点，作PDBC于D，PECA于E，PFAB于F，则AF2+BD2+CE2=AE2+CD2+BF22帕普斯定理（中线公式）如图，a、b、c是AB

3、C三边长，ma是ABC的边BC上的中线,则ma2=（2b2+2c2-a2）【例2】如图：四边形ABCD中，DCAB,BC=1，AB=AC=AD=2，则BD的长为（ ）A B. C.3 D.2(呼和浩特市中考试题)思路点拨 通过作垂线构造直角三角形【例3】如图P为ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知ABC=45，APC=60，求ACB的度数（天津市竞赛题）思路点拨 不可能简单的由角的关系推出ACB的度数，解本例的关建是由条件构造出含30角的直角三角形。【例4】 已知RtABC中，ACB=90，AC=BC，MCN=45（1）如图，当M、N在AB上时，求证：MN2=AM2+BN2。（2）如图，

4、将MCN绕C点旋转，当M在AB的延长线上时，上述结论是否任然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（天津市中考题）思路点拨 MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，须转化为直角三角形，可将ACM沿直线CM对折，得DCM，连接DN，只需证DN=BM，DMN=90就可以了，或将ACM（或BCM）旋转。有这种培优竞赛讲义一整套 小学初中的 含答案 最新的 需要的 可以联系我 468453607微 信案找我要【例5】一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长：若不存在，说明理由。（北京市竞赛题）分析：假设存在

5、符合条件的直角三角形，它的三边长为abc其中c边为斜边，则 ,于是将存性问题的计论转化为求方程组的解【例6】小明遇到这样一个问题：“如图1，在边长为a（a2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当AFQ=BGM=CHN=DEP=45时，求正方形MNPQ的面积”分析时，小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于 点R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个正方形（无缝隙不重叠），则这个正方形的边长为_（2）求正方形MNPQ的面积（3）参考小明思 考问题

6、的方法，解决问题：如图3，在等边ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边RPQ若SRPQ=，则AD的长为_试题分析：(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形的面积为a2；（2）如图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；（3）参照小明的钥匙思路，对问题作同样的等积变形，即可求解问题.学力训练基础夯实1.（1）图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将这四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图所示的“数学

7、风车”，则这个风车的外围周长是 （河北省中考题）（2）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，1995年希腊发行了一枚以勾股图为背景的邮票，所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理，在如图所示的勾股图中，已知ACB=90，BAC=30，AB=4，作PQR使得R=90，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，那么PQR的周长等于 （温州市中考题） 2. 如图，四边形ABCD中，ABDC，B=90，连接AC，DAC=BAC若BC=4cm，AD=5cm，则AB=_cm3如图，在一张长为8cm、宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰

8、三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积是cm24如图，等腰直角三角形ABC直角边长为1，以它的斜边上的高AD为腰作第一个等腰直角三角形ADE：再以所作的第一个等腰直角三角形ADE的斜边上的高AF为腰作第二个等腰直角三角形AFG：以此类推，这样所作的第n个等腰直角三角形的腰长为 （齐齐哈尔市中考题）5.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ）cm。（泰安市中考题）A B C D。6如图，在凸多边形ABCD中，B=D=90C=120，AB=3，B

9、C=，则AD=（ ）A B3 C2 D3（四川省竞赛题）7. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）A10 B C D8如图所示的方格纸中，点A、B、C都在方格纸的交点，则ACB=（ ）A120 B135 C150 D165（“希望杯”邀请赛）9如图，ACB=90，AD是CAB的平分线，BC=4，CD=，求AC的长。（河南省竞赛题）10在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，ABC是直角三角形；当a2+b2c2时，利用

10、代数式a2+b2和c2的大小关系，探究ABC的形状（按角分类）（1）当ABC三边分别为6、8、9时，ABC为_三角形；当ABC三边分别为6、8、11时，ABC为_三角形（2）猜想，当a2+b2_c2时，ABC为锐角三角形；当a2+b2_c2时，ABC为钝角三角形（3）判断当a=2，b=4时，ABC的形状，并求出对应的c的取值范围11如图，在在RtABC中，A=90，D为斜边BC的中点，DEDF，求证：。能力拓展12在四边形ABCD中，ABC=CDA=90，AD=DC=5，AB=7，BC=1，BD的长为 13.如图，在ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，则AP2+PBP

11、C= . （第十九届“希望杯”邀请赛试题）14.两张大小相同的纸片，第张都分成七个大小相同的矩形，放置如图所示，重合的顶点记为A，点C在另一张纸的分隔线上，若BC=，则AB的长为 （2011年北京市竞赛题）15.如图，在等腰RtABC中AB=AC=5 P是ABC内一点，且PA=，PC=5，则PB= （全国初中数学联赛题）16.在锐ABC中，已知某两边a=1,b=3,那么第三边的变化范围是（ ）A.2C4 B.2C3 C. 2C D.C(祖冲之杯邀请赛试题)17.若将三条高线分别为x，y，z的三角形记为（x，y，z）则在以下四个三角形（6，8，10），（8，15，17），（12，15，20）（2

12、0，21，29）中直角三角形的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 （“希望杯”邀请赛试题）18.ABC的内角A和B都是锐角，CD是高，若=，则ABC是（ ）A.直角三角形 B等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形（“希望杯”邀请赛试题）19. 在平面直角坐标系中有两点A（-1，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若ABC是直角三角形，则满足条件的点C有（）A3个B4个C5个D6个20.如图，在四边形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=CD，求证：BD2=AB2+BC2。 （北京市竞赛题）21.如图：在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，设AC=b，BC=a，AB=CD=h.求证：(1)；（2）；（3）以为边的三角形是直角三角形。22如图，设P是凸四边形ABCD内的一点，过P分别作AB、BC、CD、DA的垂线；垂足分别为E、F、G、H.已工AH=3,DG=5,CF=6,FB=4,且BE-AE=1,求四边形ABCD的周长.（上海市竞赛题）综合创新233+4=5的联想3、4、5是最简单的勾股数,这表明三边为连续整数的直角三角形存在,并且只有一个.问：【为什么?】由此,研究边