初二数学下册难题

1、1. 已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O（1）如图1,连接AF、CE求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长；（2）如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿AFB和CDE各边匀速运动一周（1）如图1,连接AF、CE求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长；（2）如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿AFB和CDE各边匀速运动一周即点P自AFBA停止,点Q自CDEC停止在运动过程中,已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值若点P、

2、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm,ab0）,已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系式答案 （1）证明：四边形ABCD是矩形,ADBC,CAD=ACB,AEF=CFE,EF垂直平分AC,垂足为O,OA=OC,AOECOF,OE=OF,四边形AFCE为平行四边形,又EFAC,四边形AFCE为菱形,设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=（8-x）cm,在RtABF中,AB=4cm,由勾股定理得42+（8-x）2=x2,解得x=5,AF=5cm（2）显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时,Q点在DE或C

3、E上,也不能构成平行四边形因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA,点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,PC=5t,QA=12-4t,5t=12-4t,解得t=4/3,以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=4/3秒由题意得,以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,点P、Q在互相平行的对应边上分三种情况：i）当P点在AF上、Q点在CE上时,AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12；ii）当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ=CP,即12-b=a,得a+b=12；

4、iii）当P点在AB上、Q点在CD上时,AP=CQ,即12-a=b,得a+b=12综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab0） 2. 某数学兴趣小组开展了一次课外活动,如图1,正方形ABCD中,AB=6,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点与D点重合三角板的一边交AB于点P,另一边交BC的延长线于点Q （1）求证：DP=DQ； （2）如图2,小明在图1的基础上作PDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明； （3）如图3,固定三角板直角顶点在D点不动,转动三角板,使三角板的一边交AB的延长线于点P,另一边交BC的

5、延长线于点Q,仍作PDQ的平分线DE交BC延长线于点E,连接PE,若AB：AP=3：4,请帮小明算出DEP的面积分别以ABCD（CDA90）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，ABE，CDG，ADF（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由答案 解：（1）GFEF，GF=EF。（2）GFEF，GF=EF成立。理由如下：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，DAB+ADC=180

6、。ABE，CDG，ADF都是等腰直角三角形，DG=CG=AE=BE，DF=AF，CDG=ADF=BAE=45BAE+FDA+EAF+ADF+FDC=180。EAF+CDF=45。CDF+GDF=45，FDG=EAF。在EAF和GDF中，EAFGDF（SAS）。EF=FG，EFA=DFG，即GFD+GFA=EFA+GFA。GFE=90。GFEF。试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出FDG=EAF，进而得出EAFGDF即可得出答案：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，DAB+ADC=180。ABE，CDG，ADF都是等腰直角三角形，DG=CG=AE=BE，DF=AF

7、，CDG=ADF=BAE=45。GDF=GDC+CDA+ADF=90+CDA，EAF=360BAEDAFBAD=270（180CDA）=90+CDA。FDG=EAF。在EAF和GDF中，EAFGDF（SAS）。EF=FG，EFA=DFG，即GFD+GFA=EFA+GFA。GFE=90。GFEF。（2）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出FDG=EAF，进而得出EAFGDF即可得出答案。在平行四边形ABCD中，BAD的平分线交BC于点E，交直线DC的延长线于点F。1. 在图1中是说明：CE=CF。2.若ABC=90 ，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数。3.若ABC=90

8、，FGCE，FG=CE，分别连接DB,DG(如图3），求BDG的度数。因为是平行四边形，所以F=BAE,DAF=AEB又因为AF是角平分线所以BAE=DAF所以F=AEB又因为CEF=AEB所以F=CEF所以CE=CF(2)因为AF是角平分线ABC=90平行四边形所以BE=AB又因AB=CD所以BE=CD连接CG,BG因为EFG是等腰直角三角形所以CG=GE又因GCD=GEB=135CD=BE所以BEGDCG所以BG=CD又因CGD+EGD=90CGD=EGB所以EGB+EGD=90所以BGD=90又因BG=GD所以BGD是等腰直角三角形所以BDG=453）延长AB、FG交于H，连接HD易证四边形AHFD为平行四边形ABC=120，AF平分BADDAF=30，ADC=