勾股定理应用

1、一、勾股定理的逆定理：1. 逆定理：如果三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，为三边的三角形是锐角三角。 二. 实际应用定理中的注意问题：1、定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边2、勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方

2、等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形三、勾股定理逆定理的几种典型应用：应用范围用于判断三角形的形状用于求角度用于求边长用于求面积用于证明垂直例题1如图，ABC中，AB=15，AC=8，AD是中线，且AD=8.5，则BC的长为（）A15 B16 C17 D18例题2 勾股定理是几何中的一个重要定理在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理图2是由图1放入矩形内得到的，BAC=90，AB=2，AC=3，则D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A50 B52 C

3、54 D56利用勾股定理计算角度实例：如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将ABE绕点B顺时针旋转90到CBE的位置若AE=1，BE=2，CE=3，则BEC= 135度开放性试题发挥主观能动性，答案不唯一。实例：如图，已知一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形（1）画出4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形；（2）求出4种不同拼法的图形的等腰三角形的周长一、选择题1、有下面的判断：ABC中，a2+b2c2，则ABC不是直角三角形ABC是直角三角形，C=90，则a2+b2=c2若ABC中，a2-

4、b2=c2，则ABC是直角三角形若ABC是直角三角形，则（a+b）（a-b）=c2以上判断正确的有（）A4个B3个C2个D1个2、若ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此为（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不能确定*3、已知正实数a、b、c满足=k，以2k，2k+1，2k-1为三边的三角形面积是（）A12 B6 CD3*4、如图，以ABC的每一条边为边作三个正三角形ABD、BCE和ACF已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和，则FCE=（）A130B140C150D160*5、如图，已知正方形ABED与

5、正方形BCFE，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（）A10个B12个C14个D16个二、填空题：*6、如图，RtABC中，C=90度将ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE=4，则AC的长为 6*7、如图，在45的方格中，A、B为两个格点，再选一个格点C，使ACB为直角，则满足条件的点C个数为 *8如图：在ABC中，CE平分ACB，CF平分ACD，且EFBC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2= 100 三、解答题：9、阅读以下解题过程：已知a，b，c为ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4

6、-b4，试判断ABC的形状错解：a2c2-b2c2=a4-b4（1），c2（a2-b2）=（a2-b2）（a2+b2）（2），c2=a2+b2（3）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 （2）错误的原因是 不能确定a2-b2是否为0（3）本题正确的结论是 等腰三角形或直角三角形：*10、如图，点D是ABC内一点，把ABD绕点B顺时针方向旋转60得到CBE，若AD=4，BD=3，CD=5（1）判断DEC的形状，并说明理由；（2）求ADB的度数*11、如图：四边形ABCD中，AD=DC，ABC=30，ADC=60试探索以AB、BC、BD为边，能否组成直角三角形，并说明理由*

7、12、已知：ABC的周长是4+2，AB=4，AC=+（1）判断ABC的形状；（2）若CD是AB上的中线，DEAB，ACB的平分线交DE于E，交AB于F，连接BE求证：DC=DE，并求DBE的面积一、勾股定理在解决几何问题中的应用技巧：1、构造直角三角形。根据题意，合理构造直角三角形，比如等腰三角形中的求值或面积问题，经常作高构造直角三角形。例如：=,=，求三角形面积、利用勾股定理列方程：将三角形的边用同一未知数表示，列出方程，解出所求值。（）在翻折问题中，大多数求值都是这种应用。如：如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）求折

8、断物体长度时，使用方程：如：一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度是、分类讨论思想图3BCAD已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论已知一个直角三角形的两边长是和，求第三边的长、数形结合思想几何与代数问题的综合。在一棵树的米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？二.特殊几何图形中的勾股定理计算规律：、 含有30的直角三角形。（1）30角所对的直角边是斜边的一半。（2）60角所对的直角边是30角所对直角边的倍。、等边三角形：（1）高等于任何一边的倍。（2

9、）面积等于（边长）2例题1在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性问题1：以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究S1+S2与S3的关系（如图1）问题2：以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究S+S与S的关系（如图2）问题3：以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究S1+S2与S3的关系（如图3）例题2A1A2B是直角三角形，且A1A2=A2B=a，A2A3A1B，垂足为A3，A3A4A2B，垂足为A4，A4A5A3B，垂足为A5，An+1An+2AnB，垂足为An+2，则线段An+1An+

10、2（n为自然数）的长为（）A B C D分类讨论求值充分考虑不同情况下的求值。实例：在ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，则边BC的长是（）A14 B4 C14或4 D生活中的勾股定理方案设计在实际生活中应用勾股定理。实例：某园艺公司对一块直角三角形的花园进行改造，测得两直角边长分别为a=6米，b=8米现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以b为直角边的直角三角形，则扩建后的等腰三角形花圃的周长为（）米A32或20+4 B32或36或 C32或或20+4 D32或36或或20+4一、选择题1、观察以下几组勾股数，并寻找规律：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，

11、24，26；，根据以上规律的第组勾股数是（）A14、48、49 B16、12、20 C16、63、65 D16、30、342如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端的滑动距离（）A等于1米B大于1米C小于1米D不能确定*3已知ABC是斜边长为1cm的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是（）Acm Bcm C2ncm Dcm*4如图所示，一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发，经过每个面的中心

12、点后，又回到A点，蚂蚁爬行最短程S满足（）A5S6 B6S7 C7S8 D8S9*5、如图，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，点D、E在BC上，且DAE=45，现将ACE绕点A旋转至ABE处，连接DE和EE，则下列结论中ABDEADE=BAEAEE是等腰直角三角形ADEEBD2+CE2=DE2正确的有（）A1个B2个C3个D4个二、填空题：*6 如图，一牧童在A处放羊，牧童的家在B处，A、B距河岸的距离AC、BD分别为500m和700m，且C、D两地相距500m，天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家，那么牧童至少应该走 1300m*7如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由45降至

13、30已知滑梯AB的长为3m，点D，B，C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是 m*8勾股定理是初等几何中的一个基本定理这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理在如图的弦图中，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上若正方形ABCD的面积=16，AE=1；则正方形EFGH的面积= 10*9、图（1）是一个面积为1的正方形，经过第一次“生长”后，在它的左右肩上生

14、出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图（2）；经过第2次“生长”后变成图（3），经过第3次“生长”后变成图（4），如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”，这就是美丽的“勾股树”已知“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和存在一定的变化规律，请你利用这一规律求：经过第一次“生长”后的所有正方形的面积和为 2，经过第10次“生长”后，图中所有正方形的面积和为： 三、解答题：*10我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是*11已知：如图，点O是等腰直角ABC斜边AB的中点，D为BC边上任意一点操作