固态电子2010-第四章

1、第四章：晶格振动。在某一温度t下，晶体中的每个原子都在其平衡位置附近振动。我们称之为晶格振动，它也影响晶体的性质，如比热和热导率，并且与晶体对光的散射密切相关。本章的中心内容是用最近邻原子的谐波近似方法研究晶格振动，用晶格波描述晶体原子的集体运动，并将结论从一维振动推广到三维振动。最后，声子的概念被用来从量子理论的角度描述晶格波的相应能量。4.1一维单原子链的振动。晶格振动晶格波模型的建立：一维单原子链包含N个原子，每个原子具有相同的质量m，原子间的晶格常数处于平衡状态。研究思路：将原子的振动视为简谐振动。首先计算原子间的相互作用力，然后根据牛顿第二定律列出原子的运动微分方程，最后求解方程。步

2、骤：计算原子间的作用力；列出原子振动的微分方程；找到方程的解。图4.1一维单原子链模型，二。晶格波的意义晶格波在晶体中的形式与连续介质波完全相同。晶格波代表所有原子同时振动。在谐波近似下，晶格波是一个谐波平面波。图中向上的箭头表示原子沿X轴向右振动，向下的箭头表示原子沿X轴向左振动。箭头的长度代表原子从平衡位置的位移。图4.2格子波的含义，3。晶格波矢量和布里渊区的值当相邻原子的位置不同时，所有原子的振动都不变。因此，只要对第一布里渊区波矢量的晶格振动研究清楚，其他区域就不能提供新的物理信息。图4.3原子振动相同的两种晶格波4。玻恩-卡门周期边界条件上述讨论将一维单原子晶格视为无限长，因此所有

3、原子的位置都是等价的，每个原子的振动形式都是相同的。实际的晶体都是有限的，形成的链不是无限的，所以链两端的原子不能用中间原子的运动方程来描述。玻恩-卡门提出采用周期条件可以解决上述困难。如图4.4所示。图4.4一维无限链，由N个原子首尾相连形成一个环链，保持所有原子的等价性，N很大，其中原子运动近似为线性运动。第n个原子和第n个原子应该是同一个原子，它们的位移应该是相同的。波矢量q应满足以下条件：在第一个BZ中，h只能取n个整数值，而波矢量q只能取n个不同的离散值，因此在第一个布里渊区有n个态。图4.5一维无限原子链；色散关系频率的范围是波数的偶函数，如图4.6所示。色散曲线是周期性的。Q空间

4、中的周期为2/a，频率的最小值为min=0。最大频率为：图4.6。一维单原子链的色散关系，长波近似和短波近似，长波近似：当q0，即波长为A时，色散关系如图4.7中的蓝线所示。在长波极限下，一维单原子晶格波的色散关系与弹性波在连续介质中的色散关系一致，因此在长波极限下，一维单原子晶格波可视为弹性波，晶格可视为连续介质。图4.7一维单原子链在长波近似下的色散关系，返回，在长波极限下，两个相邻原子之间振动的相位差为qa0，此时，所有原子都包含在一个波长内，而晶格可以视为连续介质，如图4.8(a)所示。短波近似：当q/a，取最大值。晶格波的波长=2a，相邻原子的振动相位相反，如图4.8(b)所示。(b

5、)图4.8长波极限和短波极限下的格子波图。倒格平移对称性与倒格这两个关于反晶格平移对称性和色散关系反对称性的结论也适用于三维晶格。结论：晶格波可以用来描述含有n个原子的一维单原子晶体(即一维简单晶格)的振动，晶格波的波矢量q在第一布里渊区取n个不同的离散值，每个q值对应一个，一组(q)对应一个晶格波，因此晶格振动可以用n个独立的晶格波(即n个独立的简正波)来描述；这n个格子波的频率与波矢量q之间的关系用同一条频散曲线来概括，即这n个格子波属于同一格子波；晶格中的每个原子都参与这N个独立的简谐振动，任何原子的实际振动都是这N个晶格波所描述的简谐振动的线性叠加。4.2一维双原子链的振动，一维和一维

6、双原子链的振动一维无限复晶格的振动选择这个模型：原细胞包含两种原子M和M(Mm)，同一种类的相邻原子之间的距离为2a(即晶格常数)。如图4.9所示，质量为m的原子位于2n-1，质量为m的原子位于2n和2n-2。图4.9一维双原子链模型，牛顿运动方程：方程解的形式：由于M，复合晶格中不同原子的振动振幅一般不同，即a和b一般不同。完成后，我们得到与Q的关系：从关系式可以看出，与Q有两种不同的色散关系，我们说在一维双原子晶体中可以有两个独立的晶格波。2.波矢的值当相邻原细胞之间的相位差为2aq=2aq 2时，所有原子的振动保持不变。为了保证波函数的单一值，一维复晶格Q的值被限制为：-2aq，那么对于

7、具有N个晶胞的有限晶体，在一维复晶格中声波和光波之间存在两种不同的晶格波色散关系：也就是说，将有两个对应于一个Q，形成两种不同的晶格波形式。链接对-分支：(-最小)0，当Q0；当q/2a时，这种晶格波简称为声晶格波。对于一个分支：当q0，当，我们称这个分支为晶格波，简称为光学分支晶格波。4.长波极限下晶格波的意义考虑q0长波极限情况：声波，这在形式上与一维单原子链(一维简单晶格)的情况相同。可以说，由相同原子组成的布拉瓦晶格只有声波。结论：在长声波中，相邻原子的振动方向相同，振幅相同，所以长声波代表了原细胞质心(即整个原细胞)的振动，如图所示。图4.11一维复杂晶格的长声波，光波将被替换为：并

8、将被替换为：结论在：的长光波中，同一原子的振动位置是一致的，相邻原子的振动方向是相反的，所以长光波是原始细胞质心的振动，它实际上代表了原始细胞中原子之间的相对运动，如图4.12所示。图4.12一维复合晶格的长光波。结论：对于含有n个原生细胞的一维双原子晶体，晶格波矢量q在第一布里渊区有n个离散值，即有n个独立的简正模，晶格振动波矢量的个数=晶体中原生细胞的个数；每个Q对应两个，即一个Q对应两个格子波，其中一个描述了原细胞质心的运动，称为声波；另一个描述了原始细胞中原子的相对运动，这被称为光波；描述晶格振动的总晶格波数=晶体2N的总原子数。4.3三维晶格的振动，一维和三维晶格的晶格波晶体模型：我

9、们考虑这样一个三维晶体：晶体的本原胞矢量分别是，在三个基本矢量方向上的本原胞数是N1，N2和N3，所以晶体的总本原胞数是N=N1 N2 N3。每个原始细胞中有n个原子，它们的质量分别是：现在让我们找到第1个原始细胞中第k个原子的运动：其中=1，将解代入3n个方程，得到关于A11、A12、A13、A21、A22、A23、An1、An2和An3的3n个线性齐次方程。根据系数行列式为零的条件，可以得到3n个波矢量，即一个波矢量对应3n个波矢量。2.网格波的含义一个波矢量对应有3n种，即有3n种网格波形式。类似于一维复晶格，这些3n晶格波也分为声波和光波。在长波极限下，对应于三种频率的格子波描述了不同

10、原始细胞之间的相对运动(即原始细胞质心的运动)，称为声波；此外，具有长波极限的3n-3晶格波描述了原始细胞中原子间的相对运动，称为3n-3光波。可以得出这样的结论：如果一个三维晶体的原始晶胞由N个原子组成，那么在对应于每个波矢量的晶格波中就有三个声波和3n-3个光波。3.波矢的值在原子的振动函数中，波矢的函数反映在不同原细胞之间的相位关系中：当波矢改变一个倒格子矢量时，表明为了保持格子波的单一值，我们限制倒格子原细胞中波矢的值，通常选择格子的第一个布里渊区。三维晶格振动的波矢量是一个矢量，可以用波矢量空间(即晶格的反空间)来表示：表示反晶格的基矢量是一个系数。根据玻恩-卡门边界条件：方程要求为

11、：h1、h2和h3为三个整数，表示如下：在反演空间中，一个波矢所占体积为：v为原始细胞体积。从上面的下推可以看出，满足边界条件的波矢量应该在反相空间中取单独的值，当h1、h2和h3取不同的整数时，可以得到不同的波。对应于具有三个声波和3n-3个光波以及n个原生细胞的三维晶体，不同晶格波的总数为3n，这等于晶体的总自由度。结论：对于一个有N个原始细胞的一维晶格，如果每个原始细胞包含N个原子，那么晶格振动的正常模式数(即波矢数)=晶格的原始细胞数。对应于每个波矢量的频率数=维度Ln，其中有L个声波代表原始细胞的整体运动，Ln-L个光波代表原始细胞中原子之间的相对运动。晶格振动的总晶格波数=LnN，

12、它是晶体中所有原子的自由度之和。晶格的振动可以用LnN独立的晶格波来描述，每个原子的实际运动是它们的运动在由这些LnN晶格波描述的简谐振动中的叠加。4.4晶格振动和声子的量子化，在谐波近似下，含有m个原子的三维晶体的晶格振动可以用3m个独立的谐波晶格波来描述，晶体中每个原子的实际振动状态由这3m个晶格波决定。晶格振动的能量可以表示为对应于这些3m独立晶格波的谐振子的能量之和。在量子力学中，简谐振动能量随频率的变化可以表示为：(式中n=0，1，2)当n0处于基态时，E0称为零点能量，能量是不连续的，相邻态之间的能量差为0。概念：晶格振动频率的晶格波相当于简谐振子的振动，其能量也可以表示为：n=0

13、，1，2能量的单位是晶格波的能量量子，称为声子，即“晶格振动的简正模能量量子。”。具有频率i(q)的晶格波的能量(即激发程度)由具有能量的声子数n来表征，并且不同的晶格波可以具有不同的声子。当晶格波从En态转变到En 1态时，能量增加一个量子，这是产生声子的过程；相反，当从En-1态转变到En-1态时，一个量子应该被减少，这是消灭声子的过程。注：声子的本质声子是玻色子。一个模式可以被许多相同的声子占据。这些声子的和是相同的，自旋是零，声子是一种准粒子。声子不是真正的粒子，而是准粒子，因此它不具有通常意义上的动量，这通常被称为声子的准动量。声子的数量是不守恒的，它可以增加或减少。例如，声子的数量

14、随着温度的升高而增加。电子、中子、光子和晶格振动之间的相互作用可以用晶体中这些粒子与声子之间的相互作用来描述。它们通过吸收或产生声子来改变粒子内在声音的能量和动量。当声子与声子相互作用时，声子与其他粒子和准粒子相互作用，能量守恒得到满足。平均声子数每个晶格波可能有不同的声子数，晶格波的能量由对应的声子数决定。那么在一定温度下，处于热平衡状态的晶格波的平均声子数是多少？发现温度为t时，热平衡晶格中声子的平均数目为：本章的主要内容概括如下：1、熟悉用最近邻原子谐波近似研究晶格振动的方法和步骤；掌握如何用晶格波描述晶格振动(4个结论)；掌握声子的概念和性质。图4.10一维双原子晶体的色散关系返回1和2。粒子可以根据它们在高密度或低温下的集体行为分为两类：一类是费米子，以意大利物理学家费米命名；另一类是玻色子，以印度物理学家玻色命名。自旋是区分这两种粒子的重要特征。自旋是粒子的一个固有属性，与它们的角动量有关(粗略地说，是半径和旋转速度的乘积)。量