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1、8 常系数二阶非齐次 微分方程的求解,型 型 两个常用定理,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,二阶常系数非齐次线性方程为：,代入原方程,设非齐方程特解为,综上讨论,注意,上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线性微分方程（k 是重根次数）.,特殊情形,特例,例,1. 二阶常系数线性齐次微分方程的求解,Dec. 25 Mon. Review,特征方程, 特征方程有两个不相等的实根,方程有通解, 特征方程有两个相等的实根,方程有通解, 特征方程有一对共轭复根,方程有通解,2. n 阶常系数线性齐次微分方程的求解,特征方程为, 特征方程

2、有单的实根，则原方程有特解, 特征方程有 k 重实根，则原方程有解：, 特征方程有单复根，则, 特征方程有m重复根，则,3. 常系数非齐次线性微分方程特解,二阶常系数非齐次线性方程为：,特殊情形,特例,1.,2.,例1.,的一个特解 .,解: 本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数 , 得,于是求得一个特解,解:,特征方程：,特解具有形式：,代入方程得：,例3.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为,解:,特征方程：,特解具有形式：,代入方程比较系数得：,hw：p317 1(1,4,5,6,7,9,10),2(1,5),6.,三. 两个常用定理,定理1,的解。,解:,可先求解复方程：,代入方程得：,定理2,解:,

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