量子力学第5章(曽谨言).ppt

1、1,量子力学,第五章 微扰论,2,5.1 定态微扰论I：非简并情形,3,一、一级微扰公式,1 求解定态Schrodinger方程,有下面的形式：,是可解的，即,和 都已经解出，并且 是小的修正,(后面还要解释),4,2 采用下面的方法，令：,和 与 无关， 和 与 的一次 成正比， 和 与 的二次方成正比， 等等。,一般说来，越高次的项越小，所以可以 只保留最低的几阶，便有足够的精度。,5,把上述展开式代入原方程，得：,3 零级方程就是原来的 本征方程。,4 一级方程是：,对于非简并情形，即 的属于 的本征 值只有一个。将 按 展开：,6,再代入方程中得：,即是：,在这等式的两端乘以 并且积分

2、，注意 是正交归一的，就得：,k是任选的，若选 那么上式左方就等于0， 得到了一级微扰能：,7,其中 就是 在 表象中的矩阵元，也 就是 在 状态下的平均值。,若选 ，那么右方第二项=0，所以得到：,其中 是矩阵元,就给出了一级微扰波函数：,8,其中 表示求和中不包括 的项。 由此，发现微扰论适用的条件是：,这就是 的准确含义。,二、 二级微扰能,二级微扰方程是：,将已经求得的 代入方程中得,9,仍然可以把 展开为 的线性组合，然后在 方程两端乘以 并且积分，左方再一次=0， 右方第二项也=0，剩下的部分给出了二级 微扰能：,其中注意,(,（ 是Hermitian算符)。,10,一、微扰论的思

3、想,11,二、定态微扰论的一般公式,12,13,14,15,16,三、非简并态微扰论的一级近似,17,18,四、非简并态微扰论中能量的二级近似,19,五、电介质的极化率,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,5.2 定态微扰论：简并情形,32,微扰展开是：,其中 和 满足,所谓 有简并即是有 都 满足该方程（简并度为k）：,33,所以在引入微扰后应设：,代入一级微扰方程得：,两端乘以 （ ）再积分，左方仍=0 所以,记,34,则方程成为,这和矩阵形式的本征方程完全一样，所以 由下面的方程决定：,从中可以解出 以及它们对应的 ， 这就决定了一级微扰能和零级波函数

4、。,35,注意，一般说来 不但与对角元素 有关，而且与非对角元素 有关， 但仍有k个解。假如 的k个解各不相 同 (即方程没有重根)，则 的简并度 被完全消除，否则只是部分地被消除。,例子：氢原子能级在静电场中的分裂 (Stark效应)。,36,例1. 氢原子一级 Stark 效应,（1）Stark 效应,氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为 Stark 效应。,我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，造成第n 个能级有 n2 度简并。但是当加入外电场后，由于势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark 效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。,37,（2）外电场下氢原

5、子 Hamilton 量,取外电场沿 z 正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多，例如, 强电场 107 伏/米，而原子内部电场 1011 伏/米，二者相差 4个量级。 所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。,38,（3） H0 的本征值和本征函数,下面我们只讨论 n = 2 的情况，这时简并度 n2 = 4。,39,属于该能级的4个简并态是：,40,（4）求 H 在各态中的矩阵元,由简并微扰理论知,求解久期方程,须先计算出微扰Hamilton 量 H 在以上各态的矩阵元。,41,我们碰到角积分 需要利用如下公式：,于是:,42,欲使上式不为 0，由球谐函数正交归一性 要求量子数必须满

6、足如下条件：,仅当 = 1, m = 0 时， H的矩阵元才不为 0。因此 矩阵元中只有 H12, H21 不等于0。,43,因为,所以,44,（5）能量一级修正,将 H的矩阵元代入久期方程：,解得 4 个根：,45,由此可见，在外场作用下，原来 4 度简并的能级 E2(0)在一级修正下，被分裂成 3 条能级，简并部分消除。当跃迁发生时，原来的一条谱线就变成了 3 条谱线。其频率一条与原来相同，另外两条中一条稍高于一条稍低于原来频率。,46,（6）求 0 级近似波函数,分别将 E2(1) 的 4 个值代入方程组：,得 四 元一次线性方程组,47,E2(1) = E21 (1) = 3ea0 代

7、入上面方程，得：,所以相应于能级 E2(0) + 3ea0 的 0 级近似波函数是：,E2(1) = E22(1) = - 3ea0 代入上面方程，得：,所以相应于能级 E(0)2 - 3ea0 的 0 级近似波函数是：,48,E2(1) = E23(1) = E24(1) = 0 ，代入上面方程，得：,因此相应与 E2(0) 的 0 级近似波函数可以按如下方式构成：,49,5.3 外磁场中的原子-Zeeman效应,50,实验证明，在外磁场中，原子的能级会 发生分裂，结果是原子的特征谱线也发生 分裂，这称为Zeeman效应。理论的解释是： 电子的磁矩和外磁场有附加的相互作用能。,只考虑外磁场很

8、强的情形，这时自旋磁 矩与轨道运动的相互作用远小于它们与外 磁场的相互作用，因而可以略去“自旋轨 道耦合”，这样导致的效应是正常Zeeman 效应。,51,1 磁矩 在外磁场 中的能量为,(设 ),对于原子中的价电子，磁矩有轨道磁矩 和自旋磁矩两部分：,(SI制),所以,52,这个能量再加上电子的静电势能就构 成总势能，因而Schrodinger方程成为：,考虑到自旋， 应为二分量波函数。,3 考虑没有 的情形，这时能量本征 值一般来说与 n,l有关，而对应的波函 数由 四个量子数决定，记为 ，存在以下的共同方程组：,53,其中,54,事实上，也就可以使上面的方程得到 满足，其中的能量本征值现

9、在变成,所以能级发生了分裂和移动。,注意到 的取值范围，能级的改变是 （以 为单位）,单态, 单态, 双态, 双态, 单态。,55,但是谱线的分裂没有这么多。应用选择定则,一条谱线变成了三条，其频率分别为：,这就是实验观察到的正常Zeeman效应。,56,从微扰论的观点看来，取 ， 它在 的简并能级 上的矩阵实际 上是对角的，所以结果和非简并微扰论 是一样的。,57,5.4 量子跃迁的微扰理论,58,一、量子态随时间的演化,59,60,61,二、定态下量子态的跃迁,62,63,64,65,66,67,68,三、跃迁定则,69,举例说明,70,71,72,73,74,75,76,四、能量时间不确定度关系,77,78,79,80,五、能级展宽与谱线宽度,81,82,5.5 光的吸收、受激辐射与自发辐射,83,一、光的吸收