线代第四章.ppt

1、第4章 矩阵的秩和,线性代数方程组的解,当系数行列式时，有惟一解.,定理 对 n n 线性代数方程组 ,称自由项全为零的线性代数方程组为齐次 方程组,从这个定理可得关于 n n 齐次线性代数 方程组的两个明显推论,定理 n 阶矩阵A为可逆阵的充分必要条件是 detA .,推论 对于 n n 齐次线性代数方程组 Ax = 0,当 det A时，只有一组零解（未知数全取零值 的解）,齐次方程组的零解也称为平凡解，,推论 若 n n 齐次线性代数方程组 Ax = 0 有,非零解，则必 det A 0,xi 不全为零的那种解为 非平凡解 或 非零解,而称各个,定义 对m n 矩阵A, 称其一切非退化方

2、子,列式或者简称为子式，则定义可以说成r (A)是A,的一切的非零子式的最高阶数.,矩阵的最高阶数 k 为的秩(rank), 记作r (A), 并规定,若将A的任一方子矩阵的行列式称为A的子行,r (O) = 0 .,即若r (A) = k ,则A,至少有一个取非零值的k阶子式，而任一k + 1阶子,式(如果存在的话)的值必为零.,一、 矩阵的秩,例求下列矩阵的秩:,(1),(2),(3),.,(2) 若发现A 一个非零k阶子式，则必有r(A)k.而在r(A)=k时，只能表明A有非零的k阶子式，但不能说明A的所有k阶子式均不为零，,然而可以断定一切高于k阶(如果存在的话)的子式必为零,.,从定

3、义及上例的讨论过程可以看出:,(1) 当且仅当A是零矩阵时,r (A) = 0 .,时r(A)=n,故也将行列式不为零的矩阵(非退化阵),称为满秩矩阵，并称退化阵为降秩矩阵.,(4-1),(4-2),(4) 若 A是n阶矩阵,则r(A)n, 当且仅当detA0,(3) 若A是 m n矩阵,则必有,定义 称对 k=1,2,m-1满足以下两个条件的,m n 矩阵为梯矩阵(echelon matrik):,1.若第k行是零(即该行的元全为零)，则第(k+1),行必为零.,2.若有第(k+1)行是非零行，则其行的首非零元,所在的列号，必大于第k行首非零元所在的列号.,为梯矩阵,并求出r(A) .,例2

4、 说明,为计算矩阵,A的秩,可归结为求一个与A等价的梯矩阵,然后由,数出该梯矩阵的非零行的行数而观察得到r(A).,定理,任一m n矩阵A经过有限次行初等,变换后秩不变.,推论 任一m n矩阵A经有限次列初等变换,后秩不变.,推论 设A是任一 m n矩阵,而B是m(或)n阶,满秩矩阵,则必有,(或,),(4-3),定理 任一m n矩阵 A必可通过有限次行,初等变换而化为梯矩阵.,例对矩阵,依定理证明中的方式用行初等变换(今后就简称为,行初等变换法),将其化为梯矩阵.,齐次方程组,二、 线性代数方程组的解,非齐次方程组,或写成矩阵-向量形式,其中m n矩阵A=aij为方程组的系数矩阵, xT=x

5、1 ,x2 xn是n维未知数向量,而m维零向量0是取自由,(4-4),(4-4),4.2.1 齐次方程组,m n的齐次线性代数方程组为,项(或右端项)向量.,因为齐次方程组,所以总是相容的.,在何种情况下有非平凡解,以及在有非零解的条件,下,怎样表示出其所有的解.,有个明显的平凡解，,即零解,于是,对齐次方程组,只需研究其,能得出其任一解的通解式中含有n-r(A)个任意常数.,从定理看出，齐次方程组若有非平凡解，则必,有无限多个解.,定理 方程组,要条件是系数矩阵之秩r(A)小于未知数个数n ,且在,存在非平凡解的充分必,解集N(A)是向量空间，现在进一步指出：它的通,解即N(A)中元素的一般

6、式中所含有任意常数的个数,n- r(A)就是N(A)的维数 dimN(A),有,即,（5-20）,而基础解系就是 N(A)的一组基，事实上，基础解系,是线性无关的,而且生成 N(A) .,齐次方程组的通解式（或基础解系）不惟一确定，,但通解式中独立任意常数的个数是确定的，因为,每一任意常数对应一个基向量，而基向量个数,一定是n- r(A)个.,这样也就不难理解，,例 求下列齐次方程组的通解：,例 试解齐次线性代数方程组,(5-21),解,4.2.2 非齐次方程组,一般的m n非齐次线性代数方程组的矩阵-向,量形式为,(4-5),称m n矩阵A=aij为其系数矩阵，分块形式的,x=x1 x2 x

7、nT是n维的未知数向量, b=b1 b2, bmT是m维自由项(或右端项)非零向量.,之具有相同系数矩阵的方程组,或者,称与,为其对应齐次方程组(也称为导出组).,与齐次方程组不同，非齐次方程组不一定有解，,而有如下重要的相容性定理.,如下结论：,一确定的解.,带有n-r(A)个任意常数.,定理 设m n相容非齐次方程组(2-12)的解集,为S，对应齐次方程组的解空间为N(A),则有,(k0, k为常数）,(3) 对任意的 xhN(A),必 x1+ xh S.,(1),定理的结论(1) 说明非齐次方程组的解集不是,向量空间；结论(2)、(3)则说明了当已知其某个,解 xp时，方程组的通解 xp(即S中元素的通解)本质,上必能也只能通过 N(A)的通解 xh表出，为,当然随着取的xp的不同及在N(A)中取不同的基，,(4-7),xg的具体形式还是可以