数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系.ppt

1、21.2 解一元二次方程,第二十一章 一元二次方程,21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系,1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）,导入新课,复习引入,1.一元二次方程的求根公式是什么？,2.方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？,讲授新课,算一算 解下列方程并完成填空： （1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.,-4,1,2,3,-1,x1+x2=-3,x1 x2=-4,x1+x2=5,x1 x2=6,猜一猜,（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x

2、1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？,重要发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 x2=q.,(x-x1)(x-x2)=0.,x2-(x1+x2)x+x1x2=0，,x2+px+q=0，,x1+x2= -p ,x1 x2=q.,猜一猜,（2）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？,证一证：,一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）,如果一元二次方程 ax

3、2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、 x2，那么,满足上述关系的前提条件,b2-4ac0.,1. x2-2x-15=0；,例1 口答下列方程的两根之和与两根之积.,2. x2-6x+4=0；,3. 2x2+3x-5=0；,4. 3x2-7x=0；,5. 2x2=5.,x1+x2= -p ,x1 x2=q.,x1+x2=2,x1 x2=-15.,x1+x2=6,x1 x2=4.,ax2+bx+c=0(a0),两边都 除以a,典例精析,下列方程的两根和与两根积各是多少？ x23x+1=0 ； 3x22x=2； 2x2+3x=0； 3x2=1 .,在使用根与系数的关系时:(1)不是一般式的要

4、先化成一般式；(2) 在使用x1+x2= 时，“ ”不要漏写.,例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以：x1 x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=-7. 答：方程的另一个根是 ，k=-7.,已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.,解：设方程 3x2-18x+m=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1x2=15= 得：m=15. 答：方程的另一个根是5，m=

5、15.,例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.,解：根据根与系数的关系可知：,设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: （1）x1+x2= , (2)x1x2= , (3) , (4) .,4,1,14,12,总结常见的求值:,求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.,当堂练习,1.如果-1是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是_，m =_.,2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= .,1,-2,-3,3.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.,解：（1）根据根与系数的关系 所以（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7；,（2）因为k=-7,所以 则：,课堂小结,根与系数的关系 （韦达定理）,内 容,如果方程x2+p