第十一章 动量矩定理.ppt

1、理论力学,东北大学理学院力学系 张英杰,PAG 2,质心运动定理：质心的运动外力(外力系主矢),动量定理不能说明此时的这种运动规律,第十一章 动量矩定理,PAG 3,动量矩定理： 建立质点和质点系相对于某一固定点（或固定轴）的动量矩的改变，与外力对同一固定点（或固定轴）之矩两者之间的关系。,反映质点系相对于某一固定点或质心的运动规律。,第十一章 动量矩定理,PAG 4,质点和质点系的动量矩,动量矩定理,刚体对轴的转动惯量,刚体绕定轴的转动微分方程,第十一章 动量矩定理,质点系相对于质心的动量矩定理,刚体的平面运动微分方程,PAG 5,11-1 质点和质点系的动量矩,一、质点的动量矩,质点对点O

2、的动量矩： 质点的动量对固定点O之矩,单位: kgm2/s,垂直于矢径与动量形成的平面；,大小:,方位:,矢量,符合右手法则；,指向:,PAG 6,质点对z轴的动量矩： 质点动量在Oxy平面内的投影对z轴之矩。,单位: kgm2/s,正负:迎着z轴看,逆时针为正,顺时针为负,代数量,质点对点O的动量矩矢与对过点O之轴的动量矩之间的关系,11-1 质点和质点系的动量矩,一、质点的动量矩,大小:,PAG 7,11-1 质点和质点系的动量矩,二、质点系的动量矩,对点的动量矩:等于各质点对同一点O的动量矩的矢量 和，或等于质点系动量对点O的主矩。,对轴的动量矩:等于各质点对同一轴动量矩的代数和。,质点

3、系对点O 的动量矩矢在过同一点O 的z 轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。,PAG 8,2、刚体绕定轴转动, 刚体对z轴转动惯量,11-1 质点和质点系的动量矩,1、刚体平移,平移刚体对固定点(或固定轴)的动量矩等于刚体质心的动量对该固定点(或固定轴)的动量矩。,二、质点系的动量矩,PAG 9,11-2 动量矩定理,一、质点的动量矩定理,设O为定点，,质点对定点O 的动量矩为,作用力 对定点O 的矩为,PAG 10,质点的动量矩定理： 质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点之矩。,质点对某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一轴之矩,11-2 动量矩定理,一、质点

4、的动量矩定理,PAG 11,11-2 动量矩定理,二、质点系的动量矩定理,= 0,由质点的动量矩定理得：,作用于第i 个质点的力有内力 和外力,内力不改变质点系的动量矩,PAG 12,质点系对某定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一轴之矩的代数和。,11-2 动量矩定理,质点系动量矩定理：质点系对某定点O 的动量矩对时间的一阶导数,等于作用于质点系的外力对同一点O之矩的矢量和（外力对点O的主矩）。,二、质点系的动量矩定理,PAG 13,z,例11-1 一单摆在一平面内小幅度摆动,摆绳长l,摆捶质量为m,求摆捶微小摆动的运动方程。,解: 取摆捶为研究对象,画受力图, 运动分析,

5、摆捶对z轴的动量矩,外力对z轴的力矩, 由摆捶对z轴的动量矩定理求解,11-2 动量矩定理,PAG 14,解: 取小车与鼓轮为研究 对象,画受力图, 运动分析, 系统对z轴的动量矩,系统外力对z轴之矩,例11-2 高炉运送矿石用的卷扬机:已知鼓轮半径R,质量m1,轮绕z轴转动;小车和矿石总质量为m2;作用在鼓轮上的力偶矩为M,鼓轮对转轴的转动惯量为J,轨道倾角。不计绳质量和各处摩擦,求小车的加速度a。,11-2 动量矩定理,z,PAG 15, 由质点系对z轴的动量矩定理求解,11-2 动量矩定理,例11-2 高炉运送矿石用的卷扬机:已知鼓轮半径R,质量m1,轮绕z轴转动;小车和矿石总质量为m2

6、;作用在鼓轮上的力偶矩为M,鼓轮对转轴的转动惯量为J,轨道倾角。不计绳质量和各处摩擦,求小车的加速度a。,PAG 16,11-2 动量矩定理,例11-3 水轮机转轮叶片数为n,水密度为,每两叶片间的水流皆相同,在图面内的进口水速v1,出口水速v2,且与切线夹角分别为1和2,若总的体积流量为qv,求水流对转轮的转动力矩.,解:两叶片间的水经dt时间由ABCD 流到abcd，则两叶片间的水对转 轴O的动量矩变化量为,水轮机转轮内的水对转轴O的动量矩变化量为,PAG 17,11-2 动量矩定理,例11-3 水轮机转轮叶片数为n,水密度为,每两叶片间的水流皆相同,在图面内的进口水速v1,出口水速v2,

7、且与切线夹角分别为1和2,若总的体积流量为qv,求水流对转轮的转动力矩.,由质点系对O轴的动量矩定理可得,即为水轮机转轮内的水所受外力对转轴O的矩，而水流对转轮的转动力矩则与其等值反向。,PAG 18,一、质点和质点系的动量矩,（kgm2/s）,代数量,质点对点O的动量矩,质点对z 轴的动量矩,质点系对点O的动量矩,质点系对z 轴的动量矩,矢量,代数量,矢量,第十一章 动量矩定理,PAG 19, 刚体平移,刚体对点O的动量矩,刚体对z轴的动量矩, 刚体绕定轴转动,刚体对z轴的动量矩,转动惯量,第十一章 动量矩定理,一、质点和质点系的动量矩,（kgm2/s）,PAG 20,二、动量矩定理,质点的

8、动量矩定理：,质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点之矩。,质点对某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一轴之矩,第十一章 动量矩定理,PAG 21,质点系的动量矩定理：,质点系对某定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一轴之矩的代数和。,质点系对某定点O 的动量矩对时间的一阶导数,等于作用于质点系的外力对同一点O之矩的矢量和（外力对点O的主矩）。,第十一章 动量矩定理,二、动量矩定理,PAG 22,11-2 动量矩定理,例11-4 转盘由圆轮1(半径r1)和塔轮2(半径r2)固结而成,转盘总质量为m,对盘心的转动惯量为JO,重物质量分别为m1和m2,不

9、计摩擦。求圆盘角加速度,O处约束力,绳索张力FT1,FT2.,质点系外力对转轴之矩,解: 取转盘和重物为研究对象,画受力图, 运动分析, 质点系对转轴的动量矩, 由质点系对转轴的动量矩定理求解,m1,m2,O,PAG 23,11-2 动量矩定理, 由质心运动定理,例11-4 转盘由圆轮1(半径r1)和塔轮2(半径r2)固结而成,转盘总质量为m,对盘心的转动惯量为JO,重物质量分别为m1和m2,不计摩擦。求圆盘角加速度,O处约束力,绳索张力FT1,FT2.,m1,m2,O, 取重物m1为研究对象,画受力图, 取重物m1为研究对象,画受力图,PAG 24,11-2 动量矩定理,三、动量矩守恒定律,

10、质点动量矩守恒定律： 如果作用于质点的力对某定点O 之矩恒等于零,则质点对该点的动量矩保持不变。,如果作用于质点的力对某定轴之矩恒等于零,则质点对该轴的动量矩保持不变。,PAG 25,11-2 动量矩定理,质点系动量矩守恒定律： 如果作用于质点系的外力对某定点O的主矩等于零,则质点系对该定点的动量矩保持不变。,如果作用于质点系的外力对某定轴之矩的代数和恒等于零,则质点系对该轴的动量矩保持不变。,三、动量矩守恒定律,PAG 26,(行星绕太阳运动,人造卫星绕地球运动),恒矢量, 质点对点O的动量矩的大小不变,11-2 动量矩定理,有心力:力的作用线始终通过某一 固定点(力心), 和 始终在同一平

11、面内， 方向始终不变,面积速度定理,PAG 27,(行星绕太阳运动,人造卫星绕地球运动),11-2 动量矩定理,人造卫星绕地球运动时,离地心近时速度大,离地心远时速度小。,面积速度定理, 面积速度,面积速度定理:质点在有心力作用下其面积速度守恒。,PAG 28,11-2 动量矩定理,例11-5 质量皆为m的小球A,B由细绳相连,不计其余构件质量和摩擦,系统绕铅垂轴z自由转动,初始时系统的角速度为0 ,当细绳拉断后,求各杆与铅垂线成角时系统的角速度。,解:系统所受重力和轴承约束力 对转轴的矩都等于0,因此系 统对转轴的动量矩守恒,PAG 29,O,例11-6 滑轮半径为R,质量不计;猴子、重物质

12、量均为m,初始静止。当猴子以速度u相对绳向上爬时,重物如何运动(速度),解: 取系统为研究对象,画受力图, 运动分析,设重物速度为v,猴子速度,11-2 动量矩定理, 系统对O轴的力矩, 由质点系动量矩守恒定律得,PAG 30,主动力:,约束力:,刚体对于z轴的转动惯量为Jz,定轴转动刚体对转轴z的动量矩,11-3 刚体绕定轴的转动微分方程,由动量矩定理 得,刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴之矩的代数和。,PAG 31, 刚体绕定轴转动微分方程, 转动惯量 （刚体转动时惯性的度量）, 质点的运动微分方程,11-3 刚体绕定轴的转动微分方程,PAG 32,11-

13、3 刚体绕定轴的转动微分方程, 作用于刚体的主动力对转轴的矩使刚体的转动状态 发生变化;, 如果作用于刚体的主动力对转轴的矩的代数和等于 零,则刚体作匀速转动;如果主动力对转轴的矩的代 数和为恒量,则刚体作匀变速转动;, 在一定的时间间隔内,当主动力对转轴的矩相同时, 刚体的转动惯量越大,转动状态变化越小;转动惯量 越小,转动状态变化越大。因此,刚体转动惯量的大 小表现了刚体转动状态改变的难易程度。,PAG 33,O,例11-7 复摆质量为m ,C为其质心, OC=l , 摆对悬挂点O的转动惯量为JO,求微小摆动的周期。,解: 取复摆为研究对象,画受力图, 由刚体转动微分方程得,复摆微小摆动，

14、,11-3 刚体绕定轴的转动微分方程,PAG 34,固有圆频率:,（2时间内摆动次数）,固有频率:,（单位时间内摆动次数）,初相位:,由初始条件确定,周期:,11-3 刚体绕定轴的转动微分方程,角振幅:,PAG 35,例11-8 飞轮对轴O的转动惯量为JO,以角速度0绕轴O转动。制动时,闸块给轮以正压力FN 。已知闸块与轮间滑动摩擦系数为f ,轮的半径为,忽略轴承摩擦。求制动所需时间。,解: 取飞轮为研究对象,画受力图, 由刚体转动微分方程得, 积分，由题知确定积分上下限,O,11-3 刚体绕定轴的转动微分方程,PAG 36,解: 分别以轴,(带轮) 为研究对象,画受力图,例11-9 图示传动

15、轴系,轴,的转动惯量为J,J,传动比为i12=R2/R1,轴上作用主动力矩M1,轴上有阻力矩M2。不计摩擦,求轴的角加速度。, 运动分析,11-3 刚体绕定轴的转动微分方程, 由刚体转动微分方程得,PAG 37,( kgm2 ),1、均质细直杆对z轴的转动惯量,刚体对轴的转动惯量,11-4 刚体对轴的转动惯量,一、简单匀质几何形体的转动惯量,2、均质薄圆环对中心轴的转动惯量,PAG 38,3、均质圆盘对中心轴的转动惯量,11-4 刚体对轴的转动惯量,( kgm2 ),刚体对轴的转动惯量,一、简单匀质几何形体的转动惯量,4、均质厚圆环对中心轴的转动惯量,5、均质球对中心轴的转动惯量,均质薄圆环对

16、中心轴的转动惯量,PAG 39,细直杆:,均质圆环:,均质圆板:,均质球:,11-4 刚体对轴的转动惯量,二、回转半径（惯性半径）,PAG 40,zc 轴 过质心且与z 轴平行的轴；,d z轴与zc 轴之间的距离。,刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。,11-4 刚体对轴的转动惯量,三、平行轴定理,PAG 41,证明:,11-4 刚体对轴的转动惯量,x1,z1,y,y1,x,z,O,d,C,mi,PAG 42,例11-10 质量为m ,长为l的均质细直杆,已知JzA =ml2/3,求此杆对于垂直于杆轴且过B和质心C的轴的转动

17、惯量。,解:由平行轴定理知,11-4 刚体对轴的转动惯量,PAG 43,钟摆由质量为m1的均质细杆和质量为m2的均质圆盘组成,杆长为l ,圆盘直径为d,求摆对O轴的转动惯量,11-4 刚体对轴的转动惯量,四、求转动惯量的其它方法,1、组合法,PAG 44,例11-11 质量为m的均质空心圆柱体外径为R1 , 内径为R2 ,求均质空心圆柱体对中心轴z的转动惯量。,解：,11-4 刚体对轴的转动惯量,PAG 45,求钟摆对O轴的转动惯量,将钟摆悬挂在轴O上，作微幅摆动,11-4 刚体对轴的转动惯量,四、求转动惯量的其它方法,2、实验法,(均质物体的转动惯量),3、查表法,PAG 46,11-5 质

18、点系相对于质心的动量矩定理,一、质点系的动量矩,质点系对质心C的动量矩,质点系对质心的动量矩，无论是以相对速度或以绝对速度计算，质点系对质心的动量矩结果相同。,PAG 47,11-5 质点系相对于质心的动量矩定理,一、质点系的动量矩,质点系对定点O的动量矩,PAG 48,11-5 质点系相对于质心的动量矩定理,二、质点系相对于质心的动量矩定理,质点系的动量矩定理,质点系对定点O的动量矩,PAG 49,11-5 质点系相对于质心的动量矩定理,二、质点系相对于质心的动量矩定理,质点系相对于质心的动量矩定理： 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。,PAG 50,

19、刚体平面运动,:随质心的平移 + 绕质心的转动,:随基点的平移 + 绕基点的转动,运动学,运力学,随质心的平移:,绕质心的转动:,质心运动定理,刚体对质心的动量矩定理,11-6 刚体的平面运动微分方程,PAG 51,刚体的平面运动微分方程,11-6 刚体的平面运动微分方程, 刚体对质心的动量矩；, 刚体对过质心且垂直于运动平面之轴的转动惯量；, 刚体的角速度。,PAG 52,例11-12 半径为r,质量为m,惯性半径为c的匀质圆轮沿水平直线滚动,作用于轮的力偶矩为M,求圆轮的轮心加速度。轮与地面的静滑动摩擦因数为fs,求保证圆轮纯滚动的M。,解: 取圆轮为研究对象,画受力图, 运动分析, 列刚

20、体平面运动微分方程,圆轮滚而不滑,11-6 刚体的平面运动微分方程,圆轮不滑动,PAG 53,C,R,例11-13 半径为r,质量为m 的匀质圆轮,受轻微扰动后,在半径为R的圆弧上往复滚动,圆弧表面足够粗糙,以保证圆轮滚动时无滑动,求圆轮质心C的运动规律。,解: 取圆轮为研究对象,画受力图, 取自然坐标系,运动分析, 列刚体平面运动微分方程,11-6 刚体的平面运动微分方程,(+),PAG 54,例11-13 半径为r,质量为m 的匀质圆轮,受轻微扰动后,在半径为R的圆弧上往复滚动,圆弧表面足够粗糙,以保证圆轮滚动时无滑动,求圆轮质心C的运动规律。,小扰动时，,11-6 刚体的平面运动微分方程

21、, 由初始条件求积分常数,PAG 55,动量矩定理的应用,1、已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外 力矩。,2、已知质点系所受外力矩是常力矩或时间的函数， 求刚体的角加速度或角速度的改变。,3、已知质点所受外力主矩或外力矩在某轴上的投影 代数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或 角位移。,【习题】,PAG 56,解: 取圆轮为研究对象,画受力图, 列刚体平面运动微分方程,11-1 质量 7kg ,直径为0.3m的均质圆轮,在水平木板上以初速度为v0=6m/s,角速度0=0 运动, 球和木板间的摩擦系数f=0.1。求开始运动后何时轮只滚不滑,此时的速度和角速度。,【习题】,圆轮刚滚而不滑

22、时,PAG 57,圆轮只滚不滑,【习题】,11-1 质量 7kg ,直径为0.3m的均质圆轮,在水平木板上以初速度为v0=6m/s,角速度0=0 运动, 球和木板间的摩擦系数f=0.1。求开始运动后何时轮只滚不滑,此时的速度和角速度。,PAG 58,C,A,B,O1,O2,解: 取圆盘为研究对象,画受力图, 列刚体平面运动微分方程, 运动分析,圆盘平移,11-2 均质圆盘质量为m,半径为R,轻质杆O1A=O2B=l,系统在细绳作用下平衡。求绳断瞬间,杆O1A的角加速度及两杆受力。,绳断瞬间,【习题】,PAG 59,解: 取杆AB为研究对象,画受力图, 运动分析,设质心C加速度为,11-3 质量

23、为m的均质杆AB ,在B点用绳固定,在A点与水平面接触。水平面与杆间摩擦系数为f，若将B点绳突然切断。求均质杆AB质心加速度和A点的约束力。,AB杆角加速度为,A点加速度为,取C点为基点,由基点法得,大小 方向,? ,? ,？ ,0 ,【习题】,向y方向投影,PAG 60, 列刚体平面运动微分方程,【习题】,11-3 均质杆AB质量为m, 水平面与杆间摩擦系数为f ,将绳突然切断,求AB杆质心加速度和A点约束力。,PAG 61,【习题】,11-3 均质杆AB质量为m, 水平面与杆间摩擦系数为f ,将绳突然切断,求AB杆质心加速度和A点约束力。, 计算A点约束力,由质心运动定理可得,PAG 62

24、,水平面光滑 f = 0,【习题】,11-4 质量为m的均质杆AB ,在B点用绳固定,在A点与水平面接触。水平面光滑,若将B点绳突然切断。求均质杆AB质心加速度和A点的约束力。,PAG 63,第十一章 动量矩定理,作业：3、7、9 23、26、28,PAG 64,一、质点和质点系的动量矩,（kgm2/s）,代数量,质点对点O的动量矩,质点对z 轴的动量矩,质点系对点O的动量矩,质点系对z 轴的动量矩,矢量,代数量,矢量,第十一章 动量矩定理,PAG 65, 刚体平移,刚体对点O的动量矩,刚体对z轴的动量矩, 刚体绕定轴转动,刚体对z轴的动量矩,转动惯量,第十一章 动量矩定理,一、质点和质点系的动量矩,（kgm2/s）,PAG 66,二、动量矩定理,质点的动量