图解法在数学解题中的应用

1、目 录内容摘要2关键词2前言21 图解法的形式与特征21.1 图解法常用的几种形式21.2 图解法的应用特征32 图解法的应用32.1 图解法在几何中的应用32.2 图解法在代数中的应用62.3 图解法在概率中的应用92.4 图解法在数学公式中的应用123 归纳总结14参考文献14Abstract15Key word15图解法在数学解题中的应用专业：数学与应用数学 学号：1 姓名：李伟康 指导老师：赵翌副教授【内容摘要】 图解法的特征：图形直观形象，用图形代替已知与所求，灵活运用图解法在数学解题当中，有助于理解问题，画图的过程中还能培养思维能力、分析能力。本文对数学解题方法中的图解法进行研究，

2、主要从几何、代数、条件概率、公式记忆进行研究，通过几何图解法、表格图解法、集合图解法、这几种形式，结合相关例子进行分析和研究，体现出图解法直观、形象、技巧性强的特征。通过把数学问题转化为图形的形式，加以对图形的几何意义进一步分析，使得问题更加具体化，隐含条件显露出来，体现出图解法的化繁为简、换位思考的能力。【关键词】 图解法；数学解题；图形；具体形象化前言通过画图可以把数量之间的关系变得直观明了,从而达到解决题目的。这种通过画图帮助解题的方法就是图解法。图解法是数形结合的一种形式，它直接体现出把数换形之后的直观性、具体性。图解法既可将复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，有事半功倍之效.同

3、时又能增加学生们对数学的兴趣，提高对数学问题的理解力和解题能力。国内一些学者对图解法进行了一定的研究，比如：孙志权在1中探究了图解法对学生的解题思路的启发性；袁永华在2中提到了图解法是数形结合的集中体现；黄勇、王钧在3中研究了图解法借助图形挖掘题目隐含的条件；李卫国在4中展示了图解法有助于线性规划求解的基本原理等等。结合国内学者的研究成果，本文对图解法进行了进一步研究。本文主要通过列举几何、代数、概率、数学公式记忆四个方面的典型例子进行分析研究，归纳总结出图解法的形象、直观、简洁、技巧性强适用于哪些类型的数学题目。1 图解法的形式与特征1.1 图解法常用的几种形式（1）几何图解法：几何图解法分

4、为平面几何图与空间几何图，运用几何图来进行解题，主要是为了把复杂的、抽象的问题，简单化、形象化，在空间几何中往往是把空间体转换为平面图来进行解题的，因为空间体具有一种抽象的形态，就需要以抽象的思维去思考，而又往往习惯以具体形象的思维去思考问题，所以必须进行转换过程，使得解题思路更加清晰、明朗。（2）表格图解法：表格图解法最大的优点在于能最大程度地分析条件和问题，给学生以直观的感受，思维清晰，快速地建立条件之间的相关关系，并从中找到解决问题的方法。（3）集合图解法：对于概念之间的相似、相近，在字面上很容易混淆，就会产生模糊，若是运用集合图来表示出来，就可以简单、直观、具体地分清它们之间的相互关系

5、，把它们之间复杂抽象的关系变得简单具体，对的记忆与解题都有很大的帮助。1.2 图解法的应用特征图解法是根据给定的条件来绘图，使抽象的问题直观、形象化，把复杂的问题分析整理出来，化繁为易以达到正确解答问题的过程，启发引导解题者的思路，帮助分析、记忆问题条件，获取正确解题思路。从小就形成了形象具体的思维，而图解法正是形象、直观性的思维解题方法。图解法以图形的方式辅助解题，简单明确地把需要把握的知识点与问题表现出来，把抽象问题具体形象化，能使解题者更明确自己的观点，我们对接下来的解题就更加得心应手，增强信心，提高解决问题的能力。2 图解法的应用2.1 图解法在几何中的应用在几何题中运用图解法来解决问

6、题，一般用图像或者图形来代替已知条件，能够清晰、直观的把已知的条件和所要得到的结论摆在纸上，使抽象的问题具体化。灵活运用几何知识，快速找出问题的解决方法。例1：如图2，设有一个边长为1的正方体，求点沿正方体表面到正方形中心的最短距离。图2问题分析：对于这种问题，求点沿正方体表面到正方形中心的最短距离，首先点不能直接穿过正方体与点相连接，则点到点至少要过两个平面。 又想到在同一平面上，两点之间线段最短，能否把正方形和正方形放在同一平面上？点到点的路线是否与沿正方体表面走一样长？把正方形和正方形放在同一平面上，点到点的路线是否与沿正方体表面走一样长。解：结合图2，把正方形展开，使其与正方形在同一平

7、面上，即共面如图3，点与点都在同一平面内，则由同一平面内两点之间线段最短，可知连接就是最短距离，与相交于点，点则是点沿正方体表面到正方形中心的最短距离时经过棱的唯一交点。图3则有，即点沿正方体表面到正方形中心的最短距离为。例2：有一类似于金字塔的物体如图4，四边形是正方形，,一只蚂蚁从点到点怎么爬行路程最短？最短路程为多少？物体接地面，蚂蚁不可以从底部和内部穿过，只能从侧面爬行。图4问题分析：由已知与图像可知，,则侧面的所有三角形都是等吧三角形，要从点到点，必经过线段或线段，把物体理想化得到空间几何体，把空间几何体侧面展开，可得下图5：图5根据两点之间线段最短，线段为最短距离，因为，所以四边形

8、为菱形，则点是、的中点，即蚂蚁应该先从点爬到的中点，再往点爬行，则路程最短。若经过棱也是一样的原理。又因为侧面的三角形都是等边三角形，所以，又,即。对于空间类问题，应该懂得该怎么样去转换思维，把三维空间思维转换为二维平面思想，三维空间问题比较难想象，而二维平面的问题接触比较多，接受能力会比较好一些，解决问题就会比较容易了，而用画图的方法就更加的直观，可以把抽象的思维具体化，更大程度地把复杂问题简单化、具体化，能够把图画出来，就懂得了该如何去解题。在接触到立体几何的表面路程，一般要把立体几何体的表面展开图画出来，把抽象的立体几何三维空间思维转化为平面几何二维平面思想，使得问题简单明了、具体形象化

9、。2.2 图解法在代数中的应用图解法在代数中不仅可以把已知条件用图形来形象直观表达出来，还可以把数据以表格的形式罗列起来，看起来会比较整齐、清晰、美观，思维也会比较清晰明朗，解题就会轻松起来。线性规划在日常生活中的资源利用问题有着重大的贡献，线性规划在二元一次方程的数学模型中非常重要。下面我们来讨论探究一下，图解法在线性规划中的应用：图解法在线性规划中一般解决两个变量之间的问题，如果是多元的话就会比较的复。图解法通过在平面上作函数图像的方法来解决相性规划的问题。例3 某商家用A、B两种零件生产甲、乙两种商品，每生产一件甲商品使用8个A零件耗时1h，每生产一件乙商品使用8个B零件耗时2h，该商家

10、每天最多可从零件厂获得32个A零件和24个B零件，按每天8h计算，该商家怎么安排生产才能使得一天中的产量最大？问题分析：首先要知道生产一件产品，所需要的零件少一件不可，多一件零件依然只能生产一件产品；接着看条件，即有多少原料用来生产，或者是每天最多能生产多少。可以用表格图的形式把条件列出来：表1 A/B零件消耗甲乙产品数量甲商品乙商品使用A零件80使用B零件08耗时12由表1可以很清晰的知道生产一件商品所需要的原料和耗时的多少，了解了这些已知条件接下来解题就有清晰的思路，对解题有很大的帮助。解：由题可知，假设该厂每天生产甲商品件，生产乙商品件，则可列出二元一次不等式组：式这里的，都是正整数；解

11、之得式在式中不等式，则就会出现多种可能结果：，,，一共有18种可能。要求产量最大，即是的值最大，如果一个个可能值都带进去运算对比，那么这个过程就会变得非常的复杂，时间也会浪费非常的多，应该用简单快捷的方法去代替复杂的方法，使得过程简便，时间又少。可以尝试用图解法进行分析，由式可作图6：图6这里令为目标函数，即，而是由向上平移单位长度得到的，由图6可以知道只要与阴影部分相交即符合题意，那么只要把向上平移到与阴影部分恰好相接即可得到最大值。由图6根据函数几何图的知识可以知道当向上平移到经过点时的值最大，点作为与的交点，可求得点的坐标为，即经过点，有，为其最大值，即可得到该厂每天的最大生产量为6件商

12、品，4件甲商品，2件乙商品。结果：利用图表来整理问题的已知条件和未知条件，有利于解题思路的数据收集，清晰的表现出所要的条件，利用函数图像，根据函数图像的几何含义简单直观的表现在图像上，能够快速的确定所要达到的目标函数位置，从而能够准确地找到目标函数的函数值，大大的缩减了运算过程的复杂性问题。图解法在一定的条件下，对解决不等式的解集有非常大的好处，图解法利用图像的几何性质能直接看出不等式的解集范围。例4：已知，当，时，有，求时的取值。问题分析：首先题目的未知数较多时，直接代数据运算会比较复杂或者运算不出结果，是否能从函数图像出发寻找答案，根据题目的已知画出函数大致图像，如图7：图7在图7中，又，

13、则图像的开口向下，图像的开口向上。要，只要的图像在的图像下方，又当，时，有，所以当或时。图解法解不等式或不等式组有一定的优点，可以根据函数图像与其几何性质，直接看到不等式的解集。在线性规划和不等式中都用到了函数图像，根据函数图像所具有的几何性质，判断出不等式或者不等式组的结果，体现出图解法在数学解题的直观性、易于求解性。图解法不仅可以把抽象的空间思维能力转化为二维平面思想，使得问题具体形象，还可以把复杂的代数问题转化为函数图像的几何性质问题，使得未知显露出来，过程简单化，思路清晰了。在不等式在问题中，一般情况下都可以借助函数图像的几何性质进行解题，利用图解法的性质把代数不等式的问题转化为平面几

14、何问题，使得问题具体形象化，解答过程简单化。2.3 图解法在概率中的应用在概率题中，常常会用到很多概率公式进行解题，但在多数情况下，由于公式变化繁多，会给解题带来困难。如果能巧妙地应用图解法，往往会有意想不到的效果。例如我们可以用图形的面积来表示事件发生的概率，如图8、图9所示：必然事件 图8在图8中，因为,所以，. 图9在图9中，,即是占的比例.下面我们来看两道例题：例5 已知,求.分析：对于概率题一般是代入公式进行运算，因此有解法一（公式法）： 这道题目考察的是条件概率公式，但是是比较容易忽略的，这也导致了题目难解，下面我们用图解法来试一试;解法二(图解法)：图10由图10所示，, 。由图

15、9中的可得。显然图解法与公式运算法相对比，图解法具有一定的灵活性、技巧性。例6 已知,求.解法一（公式法）：解法二(图解法)： 图11由图11可知，,.从例5、例6中可知，利用图解法解决概率题时，不仅可以把抽象的文字语言与繁杂的代数运算转化为具体的面积计算，还可以便于公式的记忆和理解。2.4 图解法在数学公式中的应用在数学这门课程中，公式是非常重要的，往往会因为忘记公式不会解题的占有大多数原因。下面来介绍用图解法来理解公式、记忆公式、推导公式。例7 圆的面积公式：，圆的周长公式：，这两个最简单最基本的公式是必须要记住的，下面来介绍扇形的面积公式： . 扇形的面积公式往往是比较容易记错的，就会想

16、到把它推导出来，但是该如何去推导呢。下面借助图解法来进行推导、记忆。如图12：图12弧长为，圆的半径为，则扇形的面积就是圆面积的一部分，就看扇形占了圆的面积的几分之几了。当圆心角为即时，显然扇形圆心角是圆周角的倍，扇形的面积占圆的面积的倍，弧长是圆周长的倍。验证：当时，圆心角和圆周角的比，弧长和圆周长的比，扇形面积和圆面积比。扇形的面积为,圆的面积为，扇形的弧长为，圆的周长为，扇形的圆心角为，圆心角为，则有。只要记住扇形的弧长比对应的圆周长=扇形的圆心角比圆周角=扇形的面积比对应圆的面积，就可以牢牢记住扇形的面积公式。图解法根据几何图形进行推导，得到相关的推导公式。例8 三角函数公式的记忆法六

17、边形倒三角记忆法：图13如图13，在六边形中分为六个三角形，有三个正的三角形，三个倒立的带阴影三角形。从图中可知：对角线上的函数互为倒数，即 ，。 在倒立的三个三角形中，两个上顶角的三角函数的平方和等于下底角的函数的平方, 即，。 顺时针方向，一个三角函数除以下一个三角函数等于上一个三角函数，即， ，,。图解法利用了图形的直观性，让我们可更加轻松地记住公式间的关系和意义，从而在应用这公式解题更加得心应手。图解法借助几何图形对数学公式进行推导运算，把抽象的推导思维化具体的图形描述。3 归纳总结图解法在数学解题中的作用非常重要，灵活运用图解法把抽象的问题与条件，以形象具体的图形、图像出现在纸上，使

18、解题者能以具体形象的思想过度到抽象的问题当中，从而达到解决问题的要求，它服从解题者从直观形象到抽象思维的过程。本文在空间几何问题中解决了从空间位置问题到平面图形的距离问题，在线性规划和不等式中解决了由不等式变为函数图像的几何性质，在概率题中把抽象的文字描述转换为具体的几何图形，在数学公式中把机械的记忆法变成技巧性的逻辑推理。【参考文献】1孙志权.探究图解法在高中数学解题中的应用J.理科考试研究，2014,（13）.2 袁永华.图解法在高中数学解题中的作用J.雅安教育学院学报，1988，（3）.3黄勇.王钧. 图解法在中数学解题中的作用J.中学教学参考，2009，（17）.4李卫国.高职数学教学

19、中的线性规划图解法运用J.重庆科技学院学报，2010，(5).5苟彬.集合图在教学中的作用J.四川巴中市，1995，(7).6尚会妍.数形结合：数学解题方法归类叙论J.天津商务职业学院学报，2014，(1).7王林全，吴有昌.中学数学解题研究M.北京：科学出版社，2014.8 王志敏.谈如何记忆三角函数公式J. 延边教育学院学报，2007（3）.Application of graphic method in solving mathematical problemsAbstract The characteristics of graphic method: graphic visual i

20、mage, using graphics instead of the known and beg, flexibility in the use of the graphic method in mathematical problem solving, help to understand the problem, thinking ability, analysis ability can raise the drawing process. This paper studies the graphic method for mathematical problem solving me