第九次课单层板的细观力学分析

1、上次课内容回顾,3.3 一般层合板的刚度 3.4 层合板的强度,3.3 一般层合板的刚度,一般层合板定义,对 、 、 等没有任何限 制的各种层合板,单层材料,铺设方向,铺设顺序,层合板刚度的三种表征形式,刚度系数,柔度系数,工程弹性常数,层合板 内力-应变关系式 的系数,层合板 应变-内力关系式 的系数,3.3.1 经典层合板理论,层合板刚度的推导需建立以下假设： 层合板的各铺层间粘结层很薄且牢固，无层间滑移； 层合板是薄板，层合板的厚度均匀，忽略 ，各个单层按平面应力状态分析。 直法线假设 =0， = =0，即层合板弯曲变形在小挠度范围，变形前垂直于中面的直线在变形后仍保持直线并垂直于中面，

2、且该直线的长度不变，Z是中面法向,相当于忽略了垂直于中面的 平面内的剪应变,w仅为x、y的函数； u0、v0、w0，仅是x、y的函数,通过上述假设，建立起经典层合板理论,1. 层合板的应变,层合板中面弯曲变形的曲率,层合板中面弯曲变形的曲率,层合板扭曲变形的曲率,层合板离中面任意距离z的应变可以用中面上相应点（x，y坐标相同的点）的面内应变和弯曲率来表示，同时层合板的应变沿厚度z是线性变化的。,层合板应变表达式,2. 层合板的内力,根据剪应力互等原理，剪力互等，扭矩互等，即 Nxy=Nyx；Mxy=Myx,将以上得到的这些内力定义在单位宽度上，可以得到下面的公式,设层合板中第k层的应力为 ，层

3、合板的内力表达式可写为以下形式,层合板的内力表达式,依据以上经典层合理论，只考虑平面应力状态，不考虑各单层之间的层间应力。由于层合板各个单层的偏轴模量 是不同的，层合板的应力是不连续分布的，只能分层积分。,3. 层合板的内力-应变关系式,当层合板在载荷作用下变形，各个单层的应力应变关系仍然满足式（2.2.12），对于层合板的第k层，在x-y坐标系中可写为,将其代入层合板内力表达式,3. 层合板的内力-应变关系式,层合板 应变表达式,层合板内力表达式,课本中式3.3.10的变形,3. 层合板的内力-应变关系式,在确定的载荷条件下，,模量矩阵在单层内是不变的，可以从每一层的积分号中提出来，但必须在

4、各层的求和号之内,3. 层合板的内力-应变关系式,将,合并为矩阵形式,3. 层合板的内力-应变关系式,写成全矩阵形式,应变表示内力的 一般层合板的物理方程,层合板的内力-应变关系式,3. 层合板的内力-应变关系式,简化 形式,层合板的内力-应变关系式（矩阵全式）,子矩阵的数学计算公式,3.4 层合板的强度,3.4.1 层合板各个单层的应力计算和强度校核,尽管层合板在载荷作用下，应变沿着厚度方向的分布形式较为简单,但是层合板各个单层中纤维的方向不一定相同,纤维与基体材料也不一定相同,也就是说层合板各个单层的偏轴模量 可以不同，所以应力沿着厚度的分布要复杂的多。,层合板,单层板,3.4 层合板的强

5、度,3.4.1 层合板各个单层的应力计算和强度校核,从图中的例子可以看出，对于层合板来讲，应变是由中面应变和弯曲应变两部分组成，沿着厚度方向线性分布；,而层合板各个单层的偏轴模量 可以是不同的，因为层合板各个单层的纤维方向不一定相同，纤维与基体也不一定相同。,应变分布,单层刚度分布,层合板应力分布,层合板的应力除了与应变有关之外，还与各个单层刚度特性有关，若各层的刚度不相同，则各层应力不连续分布，应力会在层间处发生突变，但在每一个单层内是线性分布的。,左图表示一块由4层单层板组成的层合板,3.4.1 层合板各个单层的应力计算和强度校核,3.4 层合板的强度,由于方向角不同的单层叠合而成的多向层

6、合板，强度校核时必须分析各个单层的应力，然后按照选定的强度准则对各个单层的强度做出判断。由于层合板具有层合的结构形式，在外载荷作用下，一般是逐层失效的，因此必须做出单层应力分析，可近似通过单层的强度来预测层合板强度。,已知层合板正则化面内力和弯曲力矩，求出面内刚度系数,由面内刚度系数求出柔度系数,求出中面应变和弯扭曲率,求出参考轴方向各个单层的应变,按照应变转换公式得到各个单层正轴方向的应变值,最后利用正轴应力-应变关系得到各单层正轴应力分量,分析例题3.4.1,算出各单层应力后，按选定强度准则对单层强度校核,aij*=Aij*-1,本次课内容,单层板的细观力学分析 4.1 引言 4.2 复合

7、材料的密度和组分材料的含量 4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数预测,4.1 引言,复合材料基本力学性能是指,弹性常数,基本强度,由第二章可知，在平面应力状态下复合材料单层有四个独立的(正轴)工程弹性常数和五个基本强度：,E1,E2,G12,v1,Xt,Xc,Yt,Yc,S,这些性能称之为复合材料单层表观性能，将复合材料单层看作均质材料时的等效性能，没有考虑两种或多种组分材料构成的事实。,4.1 引言,要设计层合板或复合材料结构设计的需要，必须要得到单层复合材料的力学性能参数，虽然通过实验可以测定力学参数,各组分材料的组合性能却不容易测试,研究三者之间的定量关系,4.1 引言,除此之外，为了设

8、计特定用途的最佳性能的复合材料结构，需要考虑如下问题：,组分材料性能对复合材料单层性能的影响,适宜组分材料的选取 以满足工程需要,改变组分材料比例 获得最佳力学性能,细观力学研究范畴,复合材料细观力学研究的内容？,揭示不同的材料组合具有不同宏观性能的内在机制,复合材料单层 宏观性能,组分材料性能,细观结构,4.1 引言,当细观力学预测的单层复合材料的性能与实验测量结果一致时，就可以对材料的性能进行设计和改进,细观力学是宏观力学分析的助手,复合材料细观力学的核心任务？,建立复合材料结构在一定工况下的响应规律，为复合材料的优化设计、性能评价提供理论依据与手段,4.1 引言,具体来讲，细观力学就是寻

9、找两种函数关系,单层工程弹性常数,单层强度,4.1 引言,细观力学研究的对象是复合材料的多相结构，但又不可能包含各相材料的所有因素，因此需要做如下假设：,复合材料单层是宏观非均匀的、线弹性的、无初应力,纤维是均质的、线弹性的、各向同性（如玻璃纤维）的或横观各向同性（如石墨纤维、硼纤维）的，形状和分布是规则的,基体是均质的、线弹性的、各向同性的,各相间粘结完好，界面无孔隙,4.1 引言,细观力学的分析模式及模型,细观力学将复合材料作为结构来分析，必须建立相应分析模型,从理想化复合材料中取出代表性体积单元,包含复合材料中的各个组分,具有与复合材料相同特征的最小体积,细观力学的分析方法,材料力学法,

10、弹性力学法,半经验法,4.1 引言,材料力学法,取出代表性体积单元，在简化假设基础上得到较为简单实用的结果,弹性力学法,运用弹性理论，导出冗长的理论公式，实用较为困难,半经验法,通过宏观实验确定的经验系数对理论公式修正，使计算结果与实验值接近,不同的分析模型、不同的分析方法，会导致不同分析结果，因此必须通过试验验证来对预测结果进行判断,通过实验之前的细观力学分析，可以减少实验数量和时间,实际上，在目前复合材料的结构设计中，设计者几乎全部借助实验测定来获得复合材料的性能数据，而不贸然使用把握不大的细观力学进行估算。 细观力学的意义在于阐明复合材料性能的机理，并作为复合材料设计的理论基础。,4.2

11、 复合材料的密度和组分材料的含量,密度定义为单位体积的质量。复合材料的密度是一个平均性能，它取决于：,复合材料中各相的密度,各相之间的相对比例,相对比例可用质量含量或体积含量来表示,在复合材料的制备过程中或制成后均容易得到,不容易直接测量，在细观力学中很重要,需要建立必要的转换关系,质量含量,体积含量,4.2 复合材料的密度和组分材料的含量,取一体积为Vc、质量为Mc的复合材料单元体，而Mc为纤维质量Mf与基体质量Mm之和。,体积Vc包括：纤维、基体和空隙（复合材料中夹杂空气、气体或空腔所占体积的总和）三部分所占的体积。,用Mc和Vc分别除以上面两式：,4.2 复合材料的密度和组分材料的含量,

12、按照密度的定义，可用Vc去除书中4.2.1式：,上式为复合材料密度的混合定律，表示复合材料的密度为组分材料密度与其体积含量的乘积之和。如用质量含量来表示，则有：,4.2 复合材料的密度和组分材料的含量,上式中复合材料密度可通过实验测定，因此上式可以改写为,复合材料空隙体积含量计算公式,4.2 复合材料的密度和组分材料的含量,复合材料空隙体积含量计算公式,复合材料的空隙含量是复合材料质量控制参数之一，对疲劳强度等力学性能和耐腐蚀性能有较大影响。复合材料的孔隙率应小于2%，一般为1%左右。,4.2 复合材料的密度和组分材料的含量,假设有近似关系vv=0，由以下四式联立：,可得mi和vi的关系：,4

13、.2 复合材料的密度和组分材料的含量,质量分数表示体积含量,4.2 复合材料的密度和组分材料的含量,也可以表示为,体积含量表示质量分数,玻璃纤维的密度一般为2.54g/cm3,热固性树脂浇注体的密度近似为1.27g/cm3，因此,4.2 复合材料的密度和组分材料的含量,假设空隙含量为0.5%的几种复合材料的体积含量和质量含量列于表4.2.1中。,4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测,如图为复合材料单向板的薄片模型I和薄片模型II,图为复合材料单向板的模型示意图,采用薄片模型 进行简化,4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测,复合材料单向板的薄片模型I,模型I的纤维薄片和基体薄片在横向

14、呈串联形式，称为串联模型。该模型中纤维在横向完全被基体隔开，该模型适用于纤维所占百分数较少的情况。,4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测,复合材料单向板的薄片模型II,模型II的纤维薄片与基体薄片在横向呈并联形式，故称为并联模型。该模型中纤维在横向完全连通，适用于纤维所占百分数较高的情况。,实际情况介于二者之间（模型I和模型II）的状态。,4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测,4.3.1 串联模型的弹性常数,如图所示，从模型I上取出代表性体积单元，作用平均应力1 ，在平面应力状态下，纤维与基体构成并联模型。,已知纤维材料的弹性模量Ef和基体材料的弹性模量Em，推导其纵向弹性模量E1

15、I。,1 纵向弹性模量 E1I,(1) 静力关系,假设单元体整个横截面为A，纤维应力f作用在纤维横截面Af上，基体应力m作用在基体横截面Am上，根据静力平衡关系：,4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测,已知纤维材料的弹性模量Ef和基体材料的弹性模量Em，推导其纵向弹性模量E1I。,1 纵向弹性模量 E1I,(2) 几何关系,按照材料力学平面假设（垂直于正轴1的平面，变形后仍为平面），纤维和基体具有相同的线应变，等于单元的纵向线应变。,4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测,已知纤维材料的弹性模量Ef和基体材料的弹性模量Em，推导其纵向弹性模量E1I。,1 纵向弹性模量 E1I,(3)

16、 物理关系,根据基本假设，单层板、纤维和基体都是线弹性的，因而都服从虎克定律，即,4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测,(3) 物理关系,综合以下三式可得：,纵向弹性模量的 混合法则公式,忽略空隙含量的影响，可得：,其中， E1I为单层板的纵向弹性模量，角标I表示由模型I所得到。,4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测,2 横向弹性模量 E2I,由模型I取出代表性体积单元，在正轴2方向作用平均应力2，如下图。如同材料力学中两种不同材料串联组成的杆受拉时的分析。 已知纤维材料的弹性模量Ef和基体材料的弹性模量Em ，求横向弹性模量E2I。,从单层板来看，单元的形变量b为,4.3 单向连

17、续纤维复合材料弹性常数的预测,2 横向弹性模量 E2I,从细观力学来看，,对于串联模型，各部分应力相同。因此，单元体、纤维和基体的应变分别为：,4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测,2 横向弹性模量 E2I,横向弹性模量的预测式,横向弹性模量的预测式（改写形式）,4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测,3 泊松比1I和2I,确定纵向泊松比v1的方法与E1的确定方法类似，当正轴1方向受1作用时，纵向泊松比的定义为,如右图所示，从单层板来看，单元体的横向变形量b为,从细观力学来看，单元体的横向变形量等于纤维与基体的横向变形量之和：,4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测,3 泊松比1

18、I和2I,因为单元体的应变与基体、纤维的应变相等,所以,纵向泊松比也服从混合定律,横向泊松比可由该式得到：,4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测,4 面内剪切模量G12I,由模型I取出代表性体积单元，作用应力12如下图所示。,从单层板来看，单元体的剪切变形为,4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测,4 面内剪切模量G12I,由模型I取出代表性体积单元，作用应力12如下图所示。,从细观力学来看，单元体的剪切变形等于纤维剪切变形与基体剪切变形之和,4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测,假设基体和纤维中剪应力相等，即,于是有如下变形,4 面内剪切模量G12I,4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测,4.3.2 并联模型的弹性常数,从上图中可以看出，模型II中的代表性体积单元，在正轴1方向作用平均应力1与模型I的正轴1方向相同也为并联结构，因此纵向弹性模量E1II与E1I相同：,（1） 纵向弹性模量 E1II,4.3 单向连续纤维复合材料弹性常数的预测,