数学分析 第十二章 广义积分与含参变量积分

1、,含参变量积分,与,第十二章,1 无穷积分,2 瑕积分,1.概念,注. 无穷积分 收敛即为极限 存在.,定义. 设 在 有定义, 且在任意闭 区间 上可积. 若 存在, 则称无穷积分 收敛, 并定义,定义. 设 在 有定义. 若对某个数 , 和 都收敛, 则称无穷 积分 收敛, 并定义,注.,若 , 是 在 的原函数, 且 存在, 则,注. 对无穷积分也有类似于定积分的线性性质, 分部积分公式, 换元公式.,记成,下面讨论只针对 加以叙述. 所得结论对 及 也相应成 立.,2.cauchy收敛原理,定义. 若 收敛, 则称 绝对收敛. 若 收敛, 而 发散, 则 称 条件收敛.,3. 比较判别

2、法,定理1.3. (比较判别法) 设 , 在 有定义, 且在任意 闭区间 上可积. 又设存在 , 使得 则有 (1)若 收敛, 则 收敛. (2)若 发散, 则 发散.,推论1.2. (比较判别法的极限形式) 设 , 在 有定义, 且在任意 闭区间 上可积. 又假定 且 ( 可以是 ) 那么得到下列结论,( 可以是 ) 那么得到下列结论 (1)当 时, 若 收敛, 则 收敛. (2) 当 时, 若 发散, 则 发散.,推论1.3. (cauchy判别法) 设 在 有定义, 且在任意闭区间 上可积. 又假定 且 ( 可以是 ) 那么得到下列结论,( 可以是 ) 那么得到下列结论 (1) 若 ,

3、, 则 收敛. (2) 若 , , 则 发散.,思考. 收敛 反之不成立. 收敛 ？ 回答是否定的.,4.abel判别法和dirichlet判别法 引理1.1. 设 , 在 可积. 若 在 单调下降, 且 . 则存在 , 使得,引理1.2. 设 , 在 可积. 若 在 单调上升, 且 . 则存在 , 使得,定理1.4. (积分第二中值定理) 设 , 在 可积. 若 在 单调, 则存在 , 使得,定理1.5. (abel判别法) 设 , 在 有定义, 且在任意 闭区间 上可积. 若 (1) 在 单调有界; (2) 收敛, 则 收敛.,定理1.6. (dirichlet判别法) 设 , 在 有定义

4、, 且在任意 闭区间 上可积. 若 (1) 在 单调, 且 ; (2) 关于 有界, 即 , 使得 , 则 收敛.,2 瑕积分,1.瑕点与瑕积分 定义. 若 在 的任何一个空心邻域无界, 则称 是 的一个瑕点或奇点.,定义. 假定 在任意闭区间 可积. 若 是 的瑕点, 且极限 存在, 则称瑕积分 收敛, 并定义 若 不存在, 则称瑕积分发散.,定义. 假定 在任意闭区间 可积. 若 是 的瑕点, 且极限 存在, 则称瑕积分 收敛, 并定义 若 不存在, 则称瑕积分发散.,定义. 设 . 若 是 的瑕点, 且 和 都收敛, 则称瑕积分 收敛, 并定义 若 和 中有一个发散, 则称 发散.,定义

5、. 若 都是 的瑕点, 且 和 都收敛, 则称瑕积分 收 敛, 并定义 其中 . 若 和 中有一个发散, 则称 发散.,注. 若 都是 的瑕点, 不依 赖于 的选取.,注. 对瑕积分也有类似于定积分的线性性质, 分部积分公式, 换元公式.,注. 广义积分无乘积性质.,2.cauchy收敛原理 定理2.1. 设 在 有定义, 且在任意闭 区间 可积, 是瑕点. 则 收敛的充要条件是: , 当 时,推论2.1. 设 是 的瑕点. 若 收敛, 则 收敛.,3. 比较判别法 设 是 在 的唯一瑕点, 且 关于 单调下降, 则 存在的充要条件是: 关于 有界.,定理2.2. (比较判别法) 设 , 在

6、有定义, 且在任意闭区 间 上可积, 又 是 的 瑕点. 若存在 , 使得 则有下列结论 (1)若 收敛, 则 收敛. (2)若 发散, 则 发散.,定理2.3. (比较判别法的极限形式) 设 , 在 有定义, 且在任意闭区 间 上可积, 又 是 的 瑕点. 若存在 , 使得 并且 ( 可以是 ) 则有下列结论,(1)当 时, 若 收敛, 则 收敛. (2) 当 时, 若 发散, 则 发散.,推论2.2. (cauchy判别法) 设 在 有定义, 且在任意闭区间 上可积. 又假定 且 ( 可以是 ) 那么得到下列结论,(1) 若 , , 则 收敛. (2) 若 , , 则 发散.,注. 若 在

7、 有有限个瑕点, 分割 , 使得每个有限子区间只含一个瑕点, 而最后一个为无穷区间, 它不含瑕点. 定义 为这些子区间上积分之和, 且只要 在一个子区间上发散, 就认为 发散.,4. abel判别法和dirichlet判别法 定理2.4. (abel判别法) 设 , 在 有定义, 在任意闭区间 上可积, 并且 是 的瑕点. 若 (1) 在 单调有界; (2) 收敛, 则 收敛.,定理2.5. (dirichlet判别法) 设 , 在 有定义, 在任意闭区间 上可积, 并且 是 的瑕点. 若(1) 在 单调, 且 ; (2) 关于 有界, 即 , 使得 , 则 收敛.,5. 瑕积分与无穷积分的联

8、系 以 为瑕点的瑕积分 , 可通过变量 替换 而化为无穷积分,6.cauchy主值与奇异积分 定义. 设 , 在 有定义且 在任意闭区间 上可积, 并以 为瑕点. 若 存在, 则称 在cauchy主值意义下收 敛, 而 被称作 的cauchy主值, 记 作,注. 设 是 的瑕点. 若 收 敛, 则它在cauchy主值意义下收敛.,例9.设 在 连续, 且对任意的 满足 其中 均为正常数, 且 (称 在 满 足hlder条件). 证明: 对任意的 ， 在cauchy主值意义下收敛.,定义. 设 在 有定义, 且在任意 闭区间 上可积. 若 存在, 则称 在cauchy主值意义下 收敛, 而 被称

9、作 的cauchy主值, 记作 .,例10. 计算,注. 在cauchy主值意义下的广义积分, 称做 奇异积分.,3 含参变量积分,1.概念,2.含参变量积分的连续性,注. 问题更一般的提法: 若 定义在 , 并假定对每一个 , 作为 的函 数在 可积. 问何时成立,定义. 设 定义在 上, . 若存在函数 , 只与 有 关, 使得当 且 时, 则称当 时, 关于 一致收 敛于 .,定理3.2. 若 在 连续, 是 上连续函数, 且 则 在 连续.,例2. 求,3.积分号下求导,定理3.4. 若 在 连续, 在 可导, 且 则 在 可导, 且,4.积分号的交换,注. 记,4 含参变量无穷积分,

10、1.含参变量无穷积分,定义. 设 定义在 , 且对每一 个 , 无穷积分 都收 敛. 若 , 使得当 时, 则称 关于 一致收敛.,2. 含参变量无穷积分一致收敛的判别法 定理4.1.(cauchy收敛原理) 在 中一致收敛的充要 条件是: , 使得当 时,定义. 若 在 中一致收敛, 则称 在 中绝对一致收敛. 若 在 中一致收敛, 而 在 中不一致收敛, 则称 在 中条件一致收敛.,注. 也称为m-判别法.,注. 绝对一致收敛蕴含着一致收敛. m-判别法 只适用于绝对一致收敛情况.,定理4.4. (abel判别法) 若 在 有定义, 且满足 (1) 对每个固定的 , 是 的 单调函数, 且

11、 关于 一致有界, 即 , 使得 ; 关于 一致收敛, 则 关于 一致收敛.,定理4.5. (dirichlet判别法) 若 在 有定义, 且满足 (1) 对每个固定的 , 是 的 单调函数, 且当 时, 关于 一致趋于 , 关于 一致有界, 即 则 在 中一致收敛.,3.一致收敛的含参变量无穷积分的性质 定理4.6. 设 在 连续, 其中 为一区间( 开, 闭 或 半开半闭区间). 若 关于 一致收敛, 则 在 上连续.,定理4.7.(积分次序交换定理) 设 在 连续. 若 关于 一致收敛, 则,注. 如果 换成无穷区间, 条件要加强.,定理4.8. 设 在 连续. 若 在 内闭一致收敛,

12、在 内闭一致收敛, 并且 或 中至少有一个收敛, 则 与 均存在且相等, 即,定理4.9.(积分号下求导定理) 若(1) 在 连续, (2) 对每个 均收敛, (3) 关于 一致收敛, 则 在 可导, 且,注. 称为dirichlet积分.,定理4.7.(积分次序交换定理) 设 在 连续.,则,若 关于 一致收敛,4.dini定理 定理4.10.(dini定理) 设 在 连续, 且 (或 ). 若对每个 , 收敛,且 在 连续, 则 在 一致 收敛.,注. 换成开区间 , 结论不一定成立.,注. 从证明过程看出, 我们实质上证明了比定 理4.10更一般的命题.,5 含参变量瑕积分,定义. 设

13、定义在 , 以 为瑕,则称 关于 一致收敛.,都收敛.,点, 且对每一个 , 瑕积分,若 , 使得当 时,定理5.1.(cauchy收敛原理) 以 为瑕点的含参变量瑕积分 在 中一致收敛的充要条件是: 使得当 时,注. 若 在 中一致收敛, 则,注. 可类似含参变量无穷积分, 定义绝对一致 收敛和条件一致收敛.,在 中一致收敛.,定理5.2.(m-判别法) 设 在 有定义, 是瑕点. 若存在 , 使得 (1) (2) 收敛. 则 在 中一致收敛.,注. m-判别法只适用于绝对一致收敛情况.,定理5.3. (abel判别法) 设 在 有定义, 以 为瑕点. 如果 (1) 对每个固定的 , 是 的

14、 单调函数, 且 关于 一致有界, 即 , 使得 关于 一致收敛,则 关于 一致收敛.,定理5.4. (dirichlet判别法) 设 在 有定义, 以 为瑕点. 如果 (1) 对每个固定的 , 是 的 单调函数, 且当 时, 关于 一致收敛于 , (2) 在 一致有界, 即 ,则 关于 一致收敛.,例1. 证明: 关于 内闭一致收敛.,定理5.5. 设 在 连续. 若 关于 一致收敛, 则 在 上连续.,例2. 设 . 讨论 的 定义域和连续范围.,定理5.6. 设 在 连续. 若 关于 一致收敛, 则,定理5.7. 设 在 连续. 若 关于每个 都收 敛, 关于 一致收敛, 则 在 可导, 且,例3. 求 的表达式, 及 的值.,6 函数与 函数,1. 函数,命题6.3. 在 有任意阶导数.,命题6.2. 在 连续.,命题6.1. 的定义域为 .,命题6.4.,性质.,注.,由此只要知道 的值, 就可以计 算 .,性质. 有如下表