数学建模 第四篇 典型案例分析

1、第四篇 典型案例分析,1 投篮的出手角度,2 水塔流量估计,3 钢管订购和运输,1.1 问题的提出,从罚球点投篮示意图,1 投篮的出手角度,问题,不考虑篮球和篮框大小,讨论球心命中框心的条件,考虑篮球和篮框大小,讨论球心命中框心且入框条件,保证球入框,出手角度和出手速度允许的最大偏差,考虑空气阻力的影响,1.2 问题的分析,篮球入框,球心偏前,不考虑篮球和篮框大小,讨论球心命中框心的条件,考虑篮球和篮框大小,讨论球心命中框心且入框条件,保证球入框,出手角度和出手速度允许的最大偏差,考虑空气阻力的影响,1.3 基本模型, 不考虑篮球和篮框大小,不考虑空气阻力的影响,则球心运动轨迹为抛物线,球可视

2、为质点（球心）的斜抛运动，其运动方程,以 代入上式，就得到球心命中框心的条件,且有,最小出手速度, 球入篮框时的入射角度 计算公式, 考虑篮球和篮框的大小，球心命中框心且球入框的条件为,1.4 出手角度和出手速度最大偏差估计,球入框时球心偏前(偏后)的最大距离,因为, 出手角度最大偏差估计, 出手速度最大偏差估计,的相对偏差为,只考虑水平方向的阻力，且阻力与速度成正比,1.5 空气阻力的影响,不考虑篮球和篮框大小，确定球心命中框心的条件,水平方向运动,解得,1.6 算法实现和计算结果, 对不同出手高度的最小出手速度和相应的出手角度,对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度, 出手角度和出手

3、速度最大偏差, 空气阻力的影响,对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度,1.7 结果分析,1最小出手速度和出手角度（表4-1-1）,2出手速度和出手高度对出手角度的影响（表4-1-2）,3出手角度和出手速度的允许偏差（表4-1-3）,4空气阻力的影响,思考 若出手高度和角度固定，考察阻力对出手速度的影响。,2 水塔流量估计,2.1 问题的提出,已知一天水位测量记录.,圆柱形水塔 :高12.2、直径17.4米,水位降至约8.2米升到约10.8米时,水泵工作.,水泵每天供水一两次，每次约两小时.,估计任何时刻流水量、一天总用水量.,2.2 问题的分析,流量是单位时间流出的水的体积.,(2)拟

4、合水位时间函数、求导数，得连续时间流量.,水泵不工作时段流量计算：水位对时间的变化率.,水泵供水时段的流量计算：(1) 数值微分、拟合;,模型检验：t=0-8.97,水位下降968-822=146, 这一时段用水量=146*水塔的截面积.,2.3 模型假设,1流量只取决于水位差，与水位本身无关.,2水泵第1次供水：t=9-11; 第2次供水:t=20.8-23.,3水泵工作时单位时间的供水量大致为常数.,4流量是时间的连续函数.,5流量与水泵是否工作无关.,6流量:单位时间流出的水的高度*水塔截面积.,1拟合水位时间函数.,2.4 流量估计,3一天总用水量的估计.,2确定流量时间函数.,2.5

5、 算法设计与编程,1拟合第1、2时段的水位，并导出流量.,2拟合供水时段的流量.,3一天总用水量的估计.,4流量及总用水量的检验.,watertower.m,n=(3,4) 的拟合流量曲线,n=(5,6)的拟合流量曲线,2.6 计算结果,各时段和一天总用水量 及两个供水时段水泵的功率,2.7 分析及改进,数据拟合、数值积分精度足够.,流量曲线与原始记录基本上相吻合，零点到十点钟流量很低，十点到下午三点是用水高峰.,供水时段用3次曲线拟合4点不够好.,全天平均流量22(cm/h).一天总用水量：,3 钢管订购和运输,要铺设一条,3.1 问题的提出,经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有,的输送天

6、然气的主管道, 如图一所示。,铁路,钢管厂,公路,铁路,钢管厂,公路,天然气管道,火车站,里程（单位km）,1km主管道钢管称为1单位钢管.,一钢厂如果承担制造这种钢管,至少生产500个单位.,钢厂 在指定期限内能生产该钢管最大数量为 个单位.,钢管出厂销价1单位钢管为 万元.,1单位钢管的铁路运价如表：,1000km以上每增加1至100km运价增加5万元.,公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）.,钢管可由铁路、公路运往铺设地点 和管道全线., (1)请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)., (2)请就(1)的模型分析：哪个钢厂钢管

7、的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果., (3)如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按(1)的要求给出模型和结果.,问题,30,3.2.1 模型的假设,3.2 模型的假设与符号约定,铺设钢管各线段运输费以1公里为单位(1公里内不计).,钢管的铺设情况以从某一头向另一头铺设为准.,承担生产任务的钢管厂，供应量至少为500个单位.,3.2.2 符号约定,第i 段长度.,第i 段内的运费.,i 段用j 厂单位钢管最小费用.,i 段用j工厂

8、钢管的数量.,j工厂单位钢管生产价格.,j工厂生产钢管的上限., (3)要铺设一个树形管道网络图,解决办法., (1)制定钢管的订购和运输计划，使总费用最小.,铺设钢管的总费用包括三部分,3.3 问题的分析,钢管生产成本,运到各段的费用,铺设时的运输费用,问题：求各厂单位钢管运到各段的最小费用、最优运量, (2)哪个厂销价的变化（产量上限的变化）对购运计划和总费用影响最大.,处理问题的方法与问题(1)类似.,将各厂的最大生产上限和生产价格逐一进行变动，在一厂变动时，其他厂不变.,3.4 模型的建立与处理,目标函数是总费用,:从工厂到各段的运费及其材料费之和,:铺设时的运费,0.1为单位钢管的每

9、公里运费,其中,为一定值,设单位生产价格与单位运费相加之和为单位运费,则,目标函数的限定条件,1)各厂运往各段的钢管量之和为此段铺设钢管的总量.,2)各路段所需各厂的钢管量之和应小于此厂的最大生产量，大于其最小生产量.,3.4.1 问题一,的计算：,的计算：,的计算方法：观察法、枚举法和动态规划法,采用观察法和枚举法,比较得出工厂到各路段的单位产品的最优费用,利用matlab解线性规划，得,考虑各厂均供应,各厂供应量,得,为使全局更优,计算可得,各厂供应量,同样可知 供应给了,然而 的材料价格运输情况相对 更高,即使使用 代替 其供应量不会有影响,为使全局最优再次考虑,计算可得,各厂供应量,各厂供应量（即 （ ） 代表路段， 代表供应厂）分配如下：,分别将各厂的生产价格与生产上限变化一个单位，看他们对总费用的影响。,厂的销价变化对总费用的影响大,3.4.2 问题二,厂的产量上限变化对购运计划总费用影响最大,评注,程序计算可得：,=1170626.1+122387.2=1293013.3,对于更一般的情况，如树形图，考虑情况可与 （1）类似。 在厂的取舍过程中亦同。具体模型 与求解 的最佳方案一致，从而再次重复 的求 解过程，可得： =1296491.1; =128973.8.,3.4.3 问题三,各厂供应量,各厂供应量（即 （ ） 代表路段， 代表供应厂）分配如下：,3.5