导数在实际生活中的应用pdf

1、- Page 1- 课 余揽胜 数 学 化 导数在实际生活中 的 重庆 刘紫 阳 应 用 导数知识是学 习高等数学 的基础, 它在 自然科 令 得 ( ) ( 2 ) , 又 , y=0 3x- 20 3x +400 =0 0x20 学 工程技术及 日常生活等方面都有着广泛 的应用 20 、 . 20 所 以 x= .因为当 x 0, 时, y0, 时, 又促进 了生产技术和 自然科 学 的发展 , 它 不仅 $ 3 在天文 物理 工程领域有着广泛 的应用 而且在 日 、 、 , 故 当 x= 20 时, y 取得最小值, 3 常生活及经济领域也是逐渐显示 出重要 的作用. 导数是探讨数学乃至

2、 自然科学 的重要 的 有效 即当 C 位于距点 A 为 20 km 时, 使该点的烟尘 、 3 的工具之一, 它也给 出了我们生活 中很 多 问题 的答 浓度最低. 数 数 案 诸如 生活 中的有关环境 问题 工程造价最省 容 学 . 、 、 学 评注 在经济高速 发展 的同时, 人们也越来越 爱 爱 好 积最大等, 本文将介绍如何将 生活 中的有关数学 问 关心我们赖 以生存 的环境质量 这提示我们不 能仅 好 , 者 者 题转化为相关 的导数 问题来求解, 以此说 明如何应 一味地追求经济效益, 同时应 当注意保护环境. 专专 业业 SS 用所学数学知识灵活地应用于生活. 类型二 工程造

3、价 问题 精精心心 策策划划 类型一 环境 问题 例 2 如 图所示, 某地为 了开发旅游 资源, 欲修 高高 例 1 烟 囱向其周 围地 区散落烟尘造成环境污 建一条连接风景点 P 和居 民区 O 的公路, 点 P 所在 考 考 染, 已知落在地面某处 的烟尘浓度与该处到烟 囱的 的 山坡 面 与 山脚 所 在 水 平 面 所 成 的二 面 角 为 距离 的平方成反 比, 而与该烟 囱喷 出的烟尘量成正 2 ( ) , 且 , 点 到平面 的距离 0 90 sin = P PH= 5 比 现有 、 两座烟 囱相距 , 其 中 座烟 囱喷 . A B 20km B ( ) 沿 山脚原有一段笔直

4、 的公路 可供利用 0.4 km . AB . 出的烟尘量是 A 的 8 倍, 试求 出两座烟 囱连线上 的 从点 O 到 山脚修路 的造价为 a 万元/km, 原有公路改 点 C, 使该点 的烟尘浓度最低. 分析 由题意知要确定某 点 的烟尘浓度最低 , 建 费用为 a 万元/km.当山坡上公路长度 为 lkm (1 2 显然其烟尘浓度源 自这两座烟 囱, 与其距离密切相 ) 时, 其造价 为 ( 2 ) 万元 已知 , l2 l +1 a . OAAB PB 关, 因此可考 虑先 设 出与某个烟 囱的距 离 , 从而表 , ( ) , 3 AB AB=1.5 km OA= km. 示 出相

5、应 的烟尘浓度, 再确定其最小值 即可. (1) 在 AB 上求一点 D, 使沿折线 PDAO 修建公 解 不妨设 A 烟 囱喷 出的烟尘量是 1, 而 B 烟 路 的总造价最小 ; 囱喷 出的烟尘量为 8, 设 AC=x (其 中 0x0) , 3 AB DE x2 (20- x) 2 沿折 线 PDE O 修建 公路 的总造 价 小于 (2) 中得 到 ( ) ( 2 ) 2k 3x- 20 3x +400 y= 2 2 . x (20- x) 的最小总造价, 证 明你 的结论. #!数学爱好者 - Page 2- 课 余揽胜 数 学 化 事实上, 在 上任取不 同的两 点 、 为使 AB

6、 DE . 总造价最小, 显然不能位于 与 之 间 E D B . A O 故可设 位于 与 之 间, E D A P E 3 且 BD=x , AE =y , 0x +y , 总造价为 S 万 H 1 1 1 2 D 2 B 2 x1 2 y1 11 分析 由题 意知要 求 修 建 公路 的总造 价 最 小 元, 则 x - + y +3 - + 类似于 ( ) 、( ) S= 1 & 1 a. 1 2 + 2 2 4 * 值 , 可 以先建立相应 的总造 价 函数 关系式, 再确 定 讨论知, 2 x1 1 , 2 y1 3 , 当且仅 当 x - - y +3 - x = 1 & 1 1

7、 其最小值 即可. 2 16 2 2 解 ( ) 如 图, , , , 1 1 PHHBPBAB , y =1 同时成立 时, 上述 两 个 不等 式 等 号 同时成 1 4 由三 垂 线 定 理 A 立 , 此 时 1 , , 取得最 小值 67 , 点 、 BD= AE=1 S a D 逆 定理 知, ABHB, O E P 4 16 H D B 分别与点 、 重合, 所 以不存在这样 的点 、 , 所 以PBH 是山坡与 E D E DE PH 使沿折线 PDE O 修建 公路 的总造 价 小于 (2) 中得 所成二面角的平面角, 则 , 设 PBH= PB= =1. sin 到 的最小

8、总造价. , BD=x 0x1.5. 评注 在经济建设 的过程 中, 常常涉及成本 问 数数 则 2 2 2 , PD=&x +PB =&x +1 1 2 . 题 人们 总是想利用最少 的钱 办最 多 的事 这就常 学学 , 、 , 爱爱 记总造价为 ( ) 万元, 据题设有 ( ) ( 2 f1 x f1 x = PD +1+ 常要求我们 善于将 相 关 的 问题恰 当地 转 化 为数 学 好好 者者 1 2 1 11 3 1 2 问题, 从而利用所学知识解决. ) x - x+ +& x- AD +AO a = a = a + 2 ( 2 4 ) ( 4 * 专专 类型三 最省钱车速 问题

9、 业业 SS 43 精精心心 策策划划 +& 3 a. +6 * 1 例 3 统计表 明, 某种 型号 的汽车在匀速 行驶 高 高 1 1 中每 小 时的耗 油量 (升) 关于行驶速 度 (千米 小 当 即 时 总造价 最小 y x / , ( ) , ( ) ; x= BD= km f1 x 考 4 4 考 时) 的函数解析式可 以表示为 : 1 3 3 y= x - x+ ( ) 设 , 5 , 总造价为 ( ) 万元, 根据 80 2 AE=y 0y f y 2 4 已知 甲 乙两地相距 千米 8 (0x120) . 、 100 . 2 2 1 3 1 题 设 有 ( ) PD +1+

10、y+3 + - - y f y = & ( *a = 2 , - ( ) 当汽车 以 千米 小时的速度匀速行驶 时, 2 2 4 1 40 / 从 甲地到 乙地要耗油多少升? 2 y 43 &y +3 - a+ a. + 2 * 16 (2) 当汽 车 以多大 的速 度 匀速 行驶 时, 从 甲地 则 ( ) y - 1 , 由 ( ) , 得 ; 到 乙地耗油最少? 最少为多少升? f y = a f y =0 y=1 2 + y2+3 2 * 2 & 分析 要求确定从 甲地到 乙地要耗油量, 这就 当 ( , ) 时, ( ) , ( ) 在 ( , ) 内是减 y 0 1 f y 0 f

11、 y + * 4 2 2 4 解 (1) 当 x=40 时, 汽车从 甲地到 乙地行驶 了 增 函数. 100 1 3 3 =2.5 小时, 要耗油 40 - 40+8 + ) 40 80 故 当 , 即 时总造 价 ( ) 最 小 , 且 最 y=1 AE=1 f2 y 2.5=17.5 (升) . 小总造价为 67 a 万元 ; 所 以当汽车 以 千米 小时的速度匀速行驶 16 40 / ( ) 不存在这样 的点 、 (下接 21 页) 3 DE . 数学爱好者 #! - Page 3- 名 师点金 方法技巧 ( )( )( ) ( ) 向上 的数之和至少是 的概率是多少? 即 12- 2

12、x 11- 2x 10- 2x = 5 , 2 9 ( )( )( ) 12- x 11- x 10- x 21 ( 3) 向上 的数之和为多少 时概率最大? 求得x=3, 12- 3=9, 故该 队共有9人. 6 7 8 9 10 11 12 评注 设未知数 时, 为计 算 方 便起 见 , 不一 定 5 6 7 8 9 10 11 为所求. 4 5 6 7 8 9 10 四 借助物理知识 、 3 4 5 6 7 8 9 排列组合 中有分类计数原理和 分步记 数 原理. 2 3 4 5 6 7 8 如 果把这两个 原理分别理解 成 电学 中的并联和 串 1 2 3 4 5 6 7 联, 并用

13、此思想解答某些 问题, 显得特别方便快捷. 1 2 3 4 5 6 例 甲 乙 丙 人独立地破译 个 密码 他 们 4 、 、 3 1 , 解 析 将 正方 体玩 具先 后抛 掷 两 次可 能 出现 能译 出此密码 的概率分别为 1 、1 、1 , 则3人合作 的 种 结果用 图表来表示 如 图 所有 的答案都可 36 ( ) , 5 3 4 在 图形 中寻找. 能译 出此密码 的概率为 . 解析 3人破译密码, 是相互独立而不互斥 的事 ( ) 向上 的数之和为 的概率是 4 1 ; 1 5 = 36 9 件, 可 以看成是并联 问题, 只要其 中有 1个或 多人译 ( 2) 向上 的数之和

14、至少是9的概率是 10 = 5 ; 数数 出密码, 问题 即解 决, 故3人合作能译 出密码 的概率 36 18 学学 # # # # # # ( 3) 由图知 向上 的数之和 为7时有6种情 形 , 概 爱爱 为 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A+B+C =1- P A B C =1- P A P B P C = 好好 1 者者 1 1 1 3 率最大, 最大概率为 . 1-( 1- )( 1- )( 1- ) = . 6 5 3 4 5 专专 业业 SS 评注 本题用辅助表格 的方法来解 决, 也 叫穷 五 借助表格知识 精精心心 策策划划 、 举 的方法, 即把符合条件

15、 的完全列举 出来 当然 , 列 运用表格解概率 问题, 可 以使复杂 问题条理化 、 . 高 高 抽象 问题直观化, 从而达到化难为易 的 目的. 举 的时候要按一定 的概率, 谨 防重复和遗漏. 考 考 例5 一个均匀 的正方体玩具 的各个面分别标 灵活运用概率 以外 的数学知识解 决概率 问题 , 有数字 , , , , , , 将这个玩具先后抛掷两 次, 试 有利于知识 间的纵横联系, 有利于培养学生 的创新 1 2 3 4 5 6 思维, 让 学 生使概 率 融于数 学这个 大 家庭 中, 感 “ ” 问: ( ) 向上 的数之和为 的概率是多少? 觉到概率 问题不再孤立. 1 5

16、$ (上接 页) 当 ( , ) 时, ( ) , ( ) 是增 函数 53 x 80 120 h x 0 h x . 时, 从 甲地到 乙地耗油 升 ; 当 时, ( ) 取到极小值 ( ) 17.5 x=80 h x h 80 =11.25. ( ) 当速度 为 千米 小 时时, 汽 车 从 甲地 到 乙 因为 ( ) 在 ( , 上只有一个极值, 2 x / h x 0 120 100 所 以它是最小值. 地行驶 了 小时, 设耗油量为 h (x) 升, x 所 以当汽 车 以 千 米 小 时 的速 度 匀 速 行 驶 80 / 依题 意得 1 3 3 100 ( ) ( ) h x = x - 80 x+8 x = 时, 从 甲地到 乙地耗油最少, 最少为 11.25 升. 1 2 800 15 x 8