小学六年级数学竞赛讲座第14讲 平面到立体

1、第十四讲 平面到立体模块一、平面图形旋转与轨迹例1（1）小明家的院内有一间地基是边长600厘米的正方形杂物间。小明用一条长14米的绳子将狗拴在杂物间的一角，现在狗从A地出发将绳子拉紧按顺时针方向跑，可以跑 米。（取3）（2）有一个边长为3厘米的等边三角形，现在将它按下图所示滚动，请问B点从开始到结束经过的路线的总长度是 厘米，（取3.14）解：（1）600厘米=6米，狗跑的是三个圆弧，半径分别为14米、8米和2米，所以长度是(28+16+4)=12=36。（2）由图中可以看出，B点经过的路线是三段圆弧，圆弧的半径是3厘米，所对的圆心角是120，三段弧合起来正好是一个圆的周长，所以路线的总长度是

2、23=6=18.84厘米。例2（1）图中，一只小狗被拴在边长是4米的等边三角形建筑物的墙角，绳子长6米，这只小狗所能达到的总面积是多少平方米？（狗的长度不计算，用含的式子表示）（2）如图，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90，若AB=4，BC=3，AC=5，则AD扫过部分的面积是 。（取3.14）解：（1）由图可以看出，小狗圈出的图形是一个半径为6米，圆心角是300的扇形和两个半径为2米，圆心角都是120的扇形组成的。 所以总面积=30+=32。（2）红线画出的部分是AD扫过的面积，这是由以C圆心AC为半径画出的扇形CAA和CAD与C圆心CD为半径画出的扇形CDD和ADC的差得到的图形，又C

3、AD与ADC面积相等所以面积是(5242)=7.065.例3如图，一个直径为1厘米的圆绕边长是2厘米的正方形滚动一周后回到原来的位置，在这个过程中，圆面覆盖过的区域（阴影部分）的面积是 平方厘米。（取3）解：阴影部分的面积是四个小长方形（长为2，宽为1）和一个圆（半径为1）组成的图形的面积， 所以S=421+12=8+3=11（平方厘米）。模块二、立体图形旋转与轨迹：例4把直角三角形ABC沿直角边AB和BC分别旋转一周，得到两个圆锥（单位：米），如图，谁的体积大？大多少？（结果保留）解：沿AB为轴旋转一周得到的圆锥的底面圆的半径为3，高为6，体积是（立方米）；沿BC为轴旋转一周得到的圆锥的底面

4、圆的半径为6，高为3，体积是（立方米）；所以以BC为轴旋转得到的圆锥的体积大，大18立方米。例5如图，从正方形ABCD上截去长方形DEFG，其中AB=1厘米，DE=厘米，DG=厘米，将ABCGFE以GC边为轴旋转一周，所得的几何体的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米。（结果用表示）解：所得的几何体是一个大圆柱内挖掉一个小圆柱，上下看的底面上212=2，侧面是211+2=2，所以表面积=4（平方厘米）；体积V=121()2=（立方厘米）。例6已知，直角梯形ABCD，2AB=DC，AB=BC=5厘米，梯形以BC为轴旋转一周，则白色部分扫出来的立体图形的体积是 立方厘米。（取3.14）解：AB=B

5、D=5厘米，所以CD=2AB=10厘米，白色部分扫出来的立体图形是一个圆台挖掉一个圆锥，所以体积V=5(102+105+52)525=250=785（立方厘米）。随 堂 测 试1一条直线上放着一个长方形I，它的长与宽分别是4厘米与3厘米，对角线长是5厘米，让这个长方形绕顶点A顺时针旋转90度到达长方形II的位置，此时D到达D1点的位置；再让长方形II绕D1点顺时针旋转90度，到达长方形III的位置，此时C到达C2的位置；再让长方形III绕顶点C2顺时针旋转90度到达长方形IV的位置，此时B点到达B3的位置；再让长方形IV绕顶点B3顺时针旋转90度到达长方形V的位置，此时A点到达A3的位置，求A

6、点所经过的总距离。（取3）解：由图形可以看出，A点所经过的路程是、，三段圆弧的半径分别为3、5、4，圆心角都是90，所以全长=18。2一只狗被拴在底座是边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳子长4米，求狗所能到的地方的总面积。（取3.14）解：小狗所能到的地方是一个半径为4，圆心角为300的扇形和2个半径为1，圆心角是120的扇形组成的， 所以总面积=14=43.96（平方米）。3如图，直角三角形ABC中，B为直角，且BC=2厘米，AC=4厘米，则将ABC绕点C顺时针旋转120的过程中，AB扫过图形的面积为多少平方厘米？（取3.14）解：AB扫过的图形是ABC和扇形ACA组成的图形减去ABC和扇形CBB所组成的图形，又ABC与ABC的面积相等，两个扇形的圆心角都是120，半径分别为4和2，所以AB扫过的面积是两个扇形的差，且AC=4，BC=2， 即S=12.56（平方厘米）.4三角形的面积24平方厘米，斜边长10厘米，将它以O点为中心旋转90，问：三角形扫过的面积是多少？（取3.14）解：三角形扫过的面积是三角形的面积与一个扇形的面积的和， 三角形的面积是24平方厘米，扇形的圆心角是90，半径为10厘米， 所以S=24+=24+78.5=102.5（平方厘米）。5如图一个直角梯形ABCD，以BC为轴旋转一周所得几何