4.1 位移计算.ppt

1、虚功原理和结构位移计算,第 四 章,位移计算的目的：,验算刚度；,预测结构位移后的位置；,为超静定结构分析提供补充方程,C,4-1 结构位移的概念,一、结构的位移,静定结构,内力,位移,表示形式,横截面形心的移动 线位移CC,横截面的转动 角位移 C,竖直位移,水平位移,荷载,非荷载因素,温度变化 制造误差 支座沉陷 ,两种不同性质的位移,刚性位移：杆件只发生位移，不产生应变 例如支座下沉 变形位移：体系发生变形引起的位移，产生应变 例如：荷载作用、温度变化,位移计算的基本假定,材料服从 胡克定律,结构的变形很小， 不致影响载荷的作用,结构各部分之间为 理想联结，不计摩擦,线性变形体系,非线性

2、变形体系,W = M ,广义位移,二、广义力和广义位移,1.一个力和绝对线位移,（不同形式力系的功）,W = F ,2.一个力偶（或力矩）和绝对角位移,3.一对力和相对线位移,4.一对力偶和相对角位移,W = F (A+ B) = F ,W = M (+) = M ,广义力,广义位移,广义力,广义位移,广义力,作用在体系上的力,作用点处的真实位移,作用在体系上的力,作用点处的可能位移,可能位移,真实位移,三、虚功的概念,（适用于刚体系和变形体系）,1.真实位移,体系实际发生的位移,1,2,2.可能位移,约束允许的无限小的位移,只与约束有关， 与外力无关,3.实功和虚功,功力位移,实功,虚功,表

3、示作功的双方在同一体系，但彼此独立无关,力状态,位移状态,力状态,位移状态,4.外力虚功,作用在结构上的外力（包括荷载和支反力）所作的虚功,W = F1 1+ F2 2 +M1 1,1,2,外力虚功：,力状态,位移状态,可能位移 （约束允许的任意位移）,4-2 刚体体系虚功原理及其应用,一、刚体系的虚功原理,1.理想约束,约束力在可能位移上所做的功恒等于零的约束；,即理想约束的虚功之和为零。,(约束力可能位移) 0,约束力虚功,固定支座、固定铰支座、活动铰支座、定向支座、铰结点、刚结点,例如：光滑铰链,刚性链杆,对象,条件,结论,刚体系,力状态 满足平衡条件,位移状态 满足约束条件，是可能位移

4、,外力虚功之和等于零,理想约束,主动力在可能位移上 所作的虚功总和恒为零,外荷载约束反力,力 状 态,位 移 状 态,F1 1+ F2 2 = 0,虚功方程,虚功原理的好处：,虚功方程中不出现约束力 （因为理想约束的虚功之和为零）,适合于解决约束多，但不需求出的系统。,注意： 自由度 0,2.刚体系的虚功原理, ( 主动力虚功W ) 0,虚力原理,W=0,W=0,虚位移原理,二、刚体系虚功原理的两种应用,对于给定的 具有理想约束 的刚体系 列虚功方程,力状态 平衡力系,位移状态 可能位移,虚设一组平衡力系,真实受到的平衡力系,虚设的可能位移,刚体系真实位移,求未知位移,求未知力,虚设的平衡力系

5、,虚设的可能位移,真实力系和 真实位移,1,2,FA A+ FB B = 0,F1 1+ F2 2 = 0, ( 主动力虚功W ) 0,具有理想约束的刚体系处于平衡状态,4-3 变形体体系虚功原理和位移计算一般公式,预备：外力实功、内力实功,一、变形体的虚功原理,变形体平衡,充要条件,外力虚功W内力虚功V （虚应变能）,理想约束的 变形体平衡,主动力虚功W内力虚功V （虚应变能）,虚设的平衡力系,虚设的可能位移,真实力系,真实位移,虚 力 原 理,虚 位 移 原 理,求未知位移,求未知力,充要条件,*,平 衡 方 程,几 何 方 程,二、变形体虚功原理的两种应用,举例说明：,*,du2,d x

6、,微段dx的虚应变能（内力虚功）：,三、直杆的虚应变能表达式,力状态,位移状态,任意平衡力系,可能位移,dx,轴向变形,剪切变形,弯曲变形,杆系结构的虚应变能（内力虚功）：,虚功方程：主动力虚功W虚应变能V,与真实状态对应的位移,1,四、利用虚力原理计算结构位移,1.结构位移计算的一般公式,例：求D点的水平位移,实际状态,虚设的平衡力系,位移状态 真实位移,力状态,解：(1)虚设平衡力系,虚拟荷载的作用点：拟求位移点；,作用方向：与待求位移相应，指向任意；,大小：单位荷载；,虚单位荷载法,(2)列虚功方程,外力虚功W内力虚功V,外力虚功,虚应变能,支反力的 虚功之和,与虚设平衡力系对应的内力,

7、(3)结果分析,为正：实际位移与虚设力同向,为负：实际位移与虚设力反向,虚功方程：主动力虚功W虚应变能V,2.荷载作用下位移的计算,du,dx,轴向变形,剪切变形,弯曲变形,荷载作用下位移的计算公式：,符号说明：两力系同性质时为正,截面形状系数,虚设平衡力系,位移状态,力状态,1,真实位移,特殊结构形式的简化公式：,荷载作用下位移的计算公式：,(1) 梁和刚架,(位移主要是由弯矩引起，轴力和剪力的影响较小，忽略不计),(2) 桁架,(各杆中只有轴力，且内力与横截面积均为常数),(3) 拱,(不考虑曲率对位移影响时，可用上述位移计算公式),拱轴接近合理轴线、扁平拱( )，要考虑弯矩和轴力对位移的

8、影响,其它情况，一般只考虑弯曲变形对位移的影响,3.单位荷载的设置,结构上某点的待求位移,该点的虚设单位广义力,沿方向的线位移,沿方向的单位力,某两点沿连线方向的 相对线位移,在此两点沿连线方向作用 一对反方向单位力,某截面的角位移,单位力偶,铰两侧断面的相对转角,一对反方向的单位力偶,桁架某杆的角位移,杆两端施加构成单位力偶 的集中力1/li,桁架中两根杆的相对角位移,分别在两杆各自的端部施加构成 反向单位力偶的集中力，1/li和1/lj,4-5 图形相乘法,适用模型：,满足一定条件的梁和刚架求位移的问题,(1) 每个杆段EI=常数,(2) 杆段轴线为直线,(3)和MP图中至少有一个为直线图

9、形,常规算法,图乘法,等截面直杆 （或分段变截面杆）,一、图乘法公式推导,xC,AP,xCAP,dAP,说明：,yC必须取自直线图形； AP与yC位于基线同侧为正，异侧为负； 若yC所在图形为分段直线（或各段截面不等时），要分段图乘后叠加； 4. 需要掌握几种简单图形的面积及形心位置； 5. 若图形比较复杂，则需进行图形分割.,二、几种常见图形的分割,1. 梯形,a,b,A1,Ai 取正，yi 与 Ai 同侧为正,说明：,也可以分解为矩形和三角形,A2,y1,y2,2. 直线图形跨基线两侧,*,A1,A2,3. 均布荷载作用段,y2,AP1,AP2,AP,静定结构，支座移动不产生内力和变形，所

10、以e = 0，g = 0 ，k = 0 。代入,得到：,仅用于静定结构,4-6 支座位移和温度改变时位移计算,一、支座位移时结构位移的计算,例如：求中间铰C的相对转角,2）假设：温度沿截面高度为线性分布; 变形后截面仍保持为平面,实际变形与虚拟内力同向取正； 取绝对值计算，正负号直观判断, t0dx, t1dx,t2dx,二、温度变化时结构位移的计算,温度变化引起的dx微段的变形,虚拟力系引起的内力,1）温度改变对静定结构不产生内力，但会产生变形；,t0,3）微段的变形,du = t0dx,（不考虑支座位移）,形心轴的温度：,轴向变形：,弯曲变形：,剪切变形： = 0,注意：计算温度改变引起的

11、位移时，不能忽略轴向变形的影响！,若t1、t2、横截面沿杆向不变：,例4-12 求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。,1,l,解：,(),(),图,图,(),(1),(4),(3),(2),*,位移的位置 与Fi对应,位移是由 Fj引起的,4-7 互等定理,适用条件：线性变形体系,用于超静定结构的计算,叠加原理,一、功的互等定理,回顾：,变形体平衡,外力虚功W内力虚功V,位移状态,力状态,状态：,状态：,力状态,（2）,位移状态,力状态,位移状态,（1）,（2）,（1）,推广到多个力作用：,功的互等定理:,状态的外力在状态的位移上的外力虚功,状态 的外力在状态的位移上的外力虚功,广义力,

12、广义位移, 12, 21,二、位移互等定理,（功的互等定理的一个特例）,状态：,状态：, 21,状态和状态均 只受一个单位力作用,：位移影响因子，且,位移互等定理：,由单位力F1=1所引起的 与力F2对应的位移,由单位力F2=1所引起的 与力F1对应的位移,广义力,广义位移,举例：,(与 21同方向),(与 21同方向), 12,=1,=1,练习：P91思考题7,(沿r 21方向),三、反力互等定理,(超静定结构、两支座产生单位位移时，支反力间的关系),支座位移会引起支反力,由功的互等定理：,状态,状态,支座1由于支座2的 单位位移所引起的反力r12,支座2由于支座1的 单位位移所引起的反力r

13、21,支座2的 反力偶影响系数,支座1的 反力影响系数,例：,r21 = r12,单位荷载引起的某一支座 的反力影响系数,四、反力与位移互等定理,（功的互等定理的一个特例）,状态的反力 与状态的位移间的关系,由功的互等定理：,2,2,状态,状态,沿r12方向 发生单位转角,若21与F2同向，则r12与1反向,因该支座发生单位位移 所引起的与该单位荷载相应的 位移影响系数，符号相反,全是力,全是位移,有支座位移，且为超静定,反力偶影响系数,位移影响系数,练习：P91思考题 6，8,例：已知图结构的弯矩图 求同一结构由于支座A的转动 引起C点的挠度。 解：W12=W21 T21=0 W12=PC3Pl/16 0 C=3l /16,例：图示同一结构的两种状态， 求=？,=A+ B,已知图a梁支座C上升0.02m引起