019第七章 参数估计(2).ppt

1、PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS 概率论与数理统计 黔南民族师范学院数学系余吉东,第七章 参数估计(2),74 区间估计, 7.4.1 区间估计的概念,7.4.2 单个正态总体均值的区间估计,7.4.3 单个正态总体方差的区间估计,7.4.4 两个正态总体均值差的区间估计,7.4.5 两个正态总体方差比的区间估计,7.4.6 单侧置信区间,7.4.7非正态总体的情形,74 区间估计, 741 区间估计的概念,参数的点估计给出了未知参数 的近似值，但未能给出近似值相对 真值的误差 实际中，人们还希望估计出未知参数 的取值范围以及这个范围

2、包含未知参数 真值的可信程度 这样的范围通常以区间的形式给出，同时还给出此区间包含参数 真值的概率 这种形式的估计称为区间估计. 这样的区间是可以由样本构造出来的，即所谓置信区间 下面我们通过例子给出置信区间的定义,例 已知 X N ( ,1),不同样本算得的 的估计值不同，因此除了给出 的点估计外, 还希望根据所给的样本确定一个随机区间, 使其包含参数真值的概率达到指定的要求., 的无偏、有效点估计为,如 例中，要找一个区间,使其包含 的真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 ),取,查表得,这说明,即,称随机区间,为未知参数 的置信度为0.95的置信区间.,反复抽取容量为5的样本,都可

3、得到一个区间,此区间可能包含也可能不包含未知参数 的真值, 而包含真值的区间占95%.,置信区间的意义,若测得 一组样本值,它可能包含也可能不包含 的真值, 反复,抽样得到的区间中有95%包含 的真值.,算得,取 = 0.05,设 为待估计参数, 是一给定的数,( 0 1). 若能找到两个统计量,使得,1 - 的置信区间,分别称 为置信下限,与上限, 1 - 称为置信水平或置信度.,置信区间的定义,注意： 比较 与PaXb=1-a 不同， 参数q不是随机变量，它有真值，而 为随机区间。 要求 以1-a的概率包含其参数q的真值.,具体求 时，是通过选取一个含有参数q的适当统计量，并确定适当的临界

4、值，从而解出,估计的可靠度1-a与精确程度的关系： 估计区间的长度越短，精确度就越高，而可靠度会降低； 反之提高可靠度会导致估计区间变长精确度降低。 通常给定a（可靠度1-a确定），通过选取适当的统计量, 并且确定适当的“临界值”，使所得估计区间尽可能的短. 即给定可靠度尽可能地提高精确度。,寻找一个样本的函数,它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参数 (常由 的点估计出发考虑 ).,例如, 称为枢轴量,求置信区间的步骤,给定置信度 1 ,定出常数 a , b ,使得,( 例中,得置信区间,例中,下面着重介绍正态总体均值和方差的区间估计问题,7.42 单个正

5、态总体均值的区间估计,复 习,例713 某企业生产的滚珠直径X服从N( ,0.006).现从产品中随机抽取6颗检测，测得它们的直径(单位：mm)如下：146，15l，149，148，152，151试求滚珠平均直径的置信水平为95的置信区间,平径直径 的置信水平为95的置信区间：,即,这就是说滚珠平均直径估计在14754mm与15146mm之间，这个估计的可信度为95,设置信区间,的长度为l，则,注意 在同一置信水平下，置信区间的选取不唯一。例如在例7.13中，,在同一置信水平下，置信区间的长度越小，表示估计的精度越高 如果随机变量U的概率密度函数的图形是单峰且对称的，则当样本容量n固定时，公式

6、所示置信区间是置信水平为1一 的所有置信区间中长度最短的. 因此我们用它作为 的置信水平为1一 的置信区间,此时不能采用公式给出的区间，因为其中含未知参数 .,由第六章定理61的推论l知，随机变量,即,7.4.3 单个正态总体方差的区间估计,(1) 未知的情况,由第六章定理知，随机变量,于是,但这样确定的置信区间的长度并不是最短，由于求最短置信区间的计算太繁杂，通常采用上式来估计方差与标准差的置信水平为1一 的置信区间,例714 从自动车床加工的一批零件中随机地抽取16件，测得各零件的长度如下(单位：cm)：,设零件长度服从正态分布，试求零件长度标准差的95的置信区间.,由公式得零件长度标准差

7、的置信水平为95的置信区间为,(2) 当 已知时, 方差 2 的 置信区间,取枢轴量 ，,得 2 的置信度为 置信区间为,由概率,7.4.4 两个正态总体均值差的区间估计,得,所以随机变量,此时，由第六章定理62推论3,相互独立,(3) 未知, n, m 50, 的置信区间,令 Zi = Xi -Yi , i = 1,2, n, 可以将它们看成来 自正态总体 Z N ( 1 2 , 12 + 22) 的样本,仿单个正态总体公式(2) 的置信区间为,(4) 未知, 但 n = m , 的置信区间,745 两个正态总体方差比的区间估计,由第六章定理62的推论2知，随机变量,即,即,取枢轴量,746

8、 单侧置信区间,在某些实际问题中，例如，设备、元件的寿命等，平均寿命越长越好，所关心的是平均寿命的下限； 相反，对产品的不合格率，关心的是不合格率的上限.,为此，我们引出单侧置信区间的概念.,求单侧置信区间的方法与求双侧置信区间的方法类似.下而通过例子来介绍单侧置信限的求法,例717 从一批灯泡中随机地取5只作寿命试验，测得寿命(单位：小时)为 l050， l100， 1120， 1250， 1280 设灯泡寿命服从正态分布，求灯泡寿命平均值的置信水平为o95的单侧置信下限,查t分布表，可得满足条件,注意 对总体方差及两总体的均值差或方差比的单侧置信区间可类似求得 至于对参数是作双侧区间估计还

9、是作单例区间估计，要由实际需要来决定,若总体 X 的分布未知, 但样本容量很大, 由中心极限定理, 可近似地视,若2已知, 则 的置信度为1 - 的置信区间 可取为,若2未知, 则 的置信度为1 - 的置信区间 可取为,非正态总体的情形,例 设 X 服从参数为 p 的0-1分布, 样本为,求 p 的置信度为 1 的置信区间,解,令,所以参数 p 的置信区间为( p1, p2 ),例如 自一大批产品中抽取100个样品,其中有60个一级品, 求这批产品的一级品率 p 的置信度为0.95的置信区间.,p 的置信区间为,第七章内容总框图,参数估计,参数估计,点估计,区间估计,求估计量 的方法,估计量,置信区间、置信系数、置信上下限,判断标准,几种常用 期望区间估计,最大似然估计法,矩估计方法,方差已知、分布未知,方差已知、正态分布,方差未知、正态分布,1 无偏估计 2 有效估计 3 一致估计,j(x),0.3989,标准正态分布,对于XN(0,1),j(-x)= j(x)，且极大值,j(0)= 0.3989,正态分布的密度函数曲线,对于N(m,s2),m+x,m-x,s=1,m,s1,s1,s=1时平移,关于x=m对称f(m-x)= f(m+x),极大值,XN(0,1)，F(x)=PXx= 由j(x)的对称性可知PX-x=PXx=1- PXx,