数值分析Chapter4_2_牛顿插值和Hermite插值.ppt

1、4.4 牛顿插值 （Newtons Interpolation ）,Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数 li(x) 都需要重新计算。,能否重新在Pn中寻找新的基函数 ？,希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。,本讲主要内容:, Newton插值多项式的构造 差商的定义及性质 差分的定义及性质 等距节点Newton插值公式,1,x - x0, (x - x0)(x - x1) ，(x-x0)(x-x1) (x-xn-1)是否构成Pn的一组基函数？,利用插值条件Nn(xj)=f(xj), j=0,1，n代入上式，得关于Ak (k=0,1，n)的线性代数方程组,基函数

2、,当xj 互异时，系数矩阵非奇异，且容易求解,How complex the expression are!, 差商(亦称均差) /* divided difference */,称为在xi,xj处的1阶差商,称为在xi,xj,xk处的2阶差商,k阶差商：,利用插值条件和差商,可求出Nn(x)的系数 Ai :,因此，每增加一个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了Lagrange插值的缺点。,. xk f(xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 n 阶差商,差商表,例1:给定f(x)=lnx的数据表 xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 f(xi) 0.78846 0.

3、87547 0.95551 1.02962 1.09861 1.构造差商表 2.分别写出二次、四次Newton插值多项式 解:差商表,_,N2(x)=0.78846 +0.43505(x-2.20) - 0.087375(x-2.20) (x-2.40） N4(x)= 0.78846 +0.43505(x-2.20） - 0.087375(x-2.20)(x-2.40) +0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60) -0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80),差商具有如下性质,性质1 (差商与函数值的关系),性质2 （对称性）：差商的值与

4、结点排列顺序无关,性质3(差商与导数的关系), ,Nn(x),Rn(x),Ai =,f x0, , xi ,证明：,4.4.3 等距节点的Newton插值公式与差分,一阶向前差分 /* forward difference */,一阶向后差分 /* backward difference */,一阶中心差分 /* centered difference */,当节点等距分布时:,定理：Newton插值多项式的余项为 Rn（x）= fx0 ,x1, xn， x n+1（x） 其中n+1 (x）=(x - x0)(x - x1 )(x - x2 )(x - xn),由插值多项式的唯一性可知 Nn(

5、x) Ln(x)， 故其余项也相同，即,一般地,称k阶差分的差分为k+1阶差分,如二阶向前和向后差分分别为,计算各阶差分可按如下差分表进行.,其中,差分具有如下性质,性质1(差分与函数值的关系) 各阶差分均可表示为函数值的线性组合:,性质2(前差与后差的关系):,性质3(多项式的差分) 若f(x)Pn(n次多项式类), 则,性质4(差分与差商的关系):,性质5(差分与导数的关系）,(11),称公式(11)为Newton向前差分插值公式,其余项为,(12),利用这些性质,可将Newton公式进一步简化为,令x=xn-th, 则当x0 xxn时,0tn.利用差商与向后差分的关系, 式(13)可简化

6、为,(13),如果将Newton插值公式改为按节点xn,xn-1,x0的次序排列的Newton插值公式,即,其余项为,注：一般当 x 靠近 x0 时用前插，靠近 xn 时用后插，故两种公式亦称为表初公式和表末公式。,称式(14)为Newton向后差分插值公式,(14),例 给定f(x)在等距节点上的函数值表如下: xi 0.4 0.6 0.8 1.0 f(xi) 1.5 1.8 2.2 2.8 分别用Newton向前和向后差分公式求f(0.5)及f(0.9)的近似值. 解 先构造向前差分表如下: xi fi fi 2fi 3fi 0.4 1.5 0.6 1.8 0.3 0.8 2.2 0.4 0.1 1.0 2.8 0.6 0.2 0.1 x0=0.4, h=0.2, x3=1.0. 分别用差分表中对角线上的值和最后一行的值,得Newton向前和向后插值公式如下:,(1),(2),当 x=0.5时,用公式(1),这时t=(x-x0)/h=0.5. 将t=0.5代入(1