LTI系统的时域分析.ppt

1、信号处理教学研究中心,1,第二章 LTI系统的时域分析,2.1 LTI连续系统的经典时域分析法(了解) 2.2 LTI离散系统的经典时域分析法(了解) 2.2 LTI连续系统的单位冲激响应 2.4 LTI离散系统的单位序列响应 2.5 卷积积分 2.6 卷和,2,信号处理教学研究中心,LTI连续系统的数学模型是：常系数线性微分方程； LTI离散系统的数学模型是：常系数线性差分方程； 时域分析法：不经变换，在时间域中直接求出系统的输响应； 两种时域分析方法：经典求解法和卷积（和）分析法；,信号处理教学研究中心,3,2.1 LTI连续系统的经典时域分析法,2.1.1 微分方程的经典解 2.1.2

2、初始值的确定 2.1.3 零输入响应和零状态响应,信号处理教学研究中心,4,2.1.1 微分方程的经典解,一般而言，如果单输入一单输出系统的激励为f(t)，响应为y(t)，则描述LTI连续系统激励与响应之间关系的数学模型是n 阶线性常系数微分方程，它可写为,式中ai (i=0，1，n)和bj (j=0，1，m)为常系数，且an=1, 该方程的全解由两部分组成齐次解yh(t)和特解yp(t)，即,或缩写为,信号处理教学研究中心,5,1齐次解yh(t),齐次解是齐次微分方程,的解。,由高等数学中求解微分方程的方法可知，该齐次微分方程的特征方程为,其特征方程的 n 个根i (i=1，2，n) 称为齐

3、次微分方程的特征根。齐次解yh(t)的函数形式由特征根确定。,2.1.1 微分方程的经典解,6,信号处理教学研究中心,附表列出了特征根取不同值时所对应的齐次解，其中Ci ，Di等为待定常数，待定常数由初始条件来确定。,2.1.1 微分方程的经典解,若特征方程的 n 个根i (i=1，2，n) 都是单根，则齐次解yh(t)的函数形式为：,信号处理教学研究中心,7,2特解yp(t),特解的函数形式与激励函数的形式有关，下表列出了几种常见激励及其所对应的特解。选定特解后，将它代入到原微分方程，求出各待定系数Pi ，就得到方程的特解。,2.1.1 微分方程的经典解,信号处理教学研究中心,8,3全解,微

4、分方程的完全解是齐次解与特解之和。若微分方程的特征根均为单实根，则其全解为 一般情况下，激励信号f(t)是在t=0时刻接入的，微分方程的全解也适合于时间区间 t=0 。对于n 阶常系数线性微分方程，利用已知的n个初始条件y(0+), y(1) (0+), y(n-1) (0+), 就可求得全部待定系数 Ci 。,2.1.1 微分方程的经典解,信号处理教学研究中心,9,2.1.3 零输入响应和零状态响应,其完全响应 y(t) 也可分解为零输入响应与零状态响应之和。 零输入响应是激励为零时，仅由系统的初始状态所引起的响应，用 yx(t) 表示； 零状态响应是系统的初始状态为零时，仅由输入信号 f(

5、t) 所引起的响应，用 yf(t) 表示。 这样，线性时不变系统的全响应为,n 阶线性时不变系统的数学模型为,信号处理教学研究中心,10,求解零输入响应 yx(t) 时，微分方程式等号右端为零，化为齐次方程，,若特征根均为n 个单实根i (i=1，2，n)，则其零输入响应,式中待定系数Ci由初始状态确定。,1. 零输入响应,2.1.3 零输入响应和零状态响应,信号处理教学研究中心,11,2.1.3 零输入响应和零状态响应,例2-2 已知连续系统微分方程和初始条件，求零输入响应,零输入,特征方程,通解形式,代入初始条件,信号处理教学研究中心,12,求解零状态响应 yf(t) 时，这时微分方程式仍

6、是非齐次方程，只是初始状态为零( 将作为初始条件确定待定常数 ) 。若其特征根均为n 个单实根i (i=1，2，n)，则其零状态响应,式中 Ci 为待定系数。,2. 零状态响应,2.1.3 零输入响应和零状态响应,信号处理教学研究中心,13,零输入响应,零状态响应,式中,2.1.3 零输入响应和零状态响应,自由响应,强迫响应,系统的全响应,信号处理教学研究中心,14,2. 2 LTI离散系统的经典时域分析法,LTI离散系统的时域求解方法与LTI连续系统的时域求解方法类似。注意比较。 2.2.1 差分方程的经典解 2.2.2 零输入响应和零状态响应,信号处理教学研究中心,15,差分方程的经典解分

7、为齐次解yh(k)和特解yp(k)。,其中，齐次解yh(k)是齐次方程,的解。,2.2.1 差分方程的经典解,离散线性时不变系统的数学模型为差分方程,信号处理教学研究中心,16,1. 差分方程的齐次解,n阶前向齐次差分方程,可得n阶特征方程,根据特征根取值的不同，不同齐次解的形式见后表。,2.2.1 差分方程的经典解,信号处理教学研究中心,17,不同特征根的齐次解的形式：,2.2.1 差分方程的经典解,信号处理教学研究中心,18,差分方程的特解与激励 f(k) 的形式相关，常见激励的几种形式和相应的响应形式如下表：,2. 差分方程的特解,2.2.1 差分方程的经典解,信号处理教学研究中心,19

8、,离散系统的响应又分为零输入响应yx(k) 和零状态响应yf (k) 。 零输入响应yx(k)是当激励为零时完全由初始状态 x(0) 所引起的系统响应； 零状态响应yf (k)是当初始状态为零时完全由激励 f(t) 所引起的系统响应 两者之和就是全响应 y(k)，它是初始状态 x(0)与激励 f(t) 共同作用所产生，即：,2.2.2 零输入响应和零状态响应,信号处理教学研究中心,20,经典法求零输入响应,输入为0，得到 n 阶齐次差分方程,为齐次方程，零输入响应的解与齐次解的模式相同。其特征方程：,2.2.2 零输入响应和零状态响应,1). 若特征方程的特征根都是单实根,则零输入响应的解为：

9、,代入n 个初始条件， 可求得 待定系数 的值。,信号处理教学研究中心,21,例,描述某离散系统的差分方程为：,初始条件为 yx(0) = 2; yx(1) = 3, 试求其零输入响应。,解： 其特征方程为,特征根,有,由初始条件：,联立解之：,2.2.2 零输入响应和零状态响应,信号处理教学研究中心,22,2. 经典法求零状态响应,例,以下通过举例来说明经典法求解零状态响应的方法：,已知某离散系统的差分方程为：,试求其零状态响应yf(k)。,解：,齐次解,特解具有与激励相同形式,2.2.2 零输入响应和零状态响应,信号处理教学研究中心,23,将特解 代入原差分方程,得,2.2.2 零输入响应

10、和零状态响应,24,信号处理教学研究中心,2.2.2 零输入响应和零状态响应,信号处理教学研究中心,25,3. 经典法求全响应,其中，,2.2.2 零输入响应和零状态响应,信号处理教学研究中心,26,作业,2.5（1）,信号处理教学研究中心,27,2.3 LTI连续系统的单位冲激响应,2.3.1 单位冲激响应和单位阶跃响应的概念 2.3.2 单位冲激响应h(t)的求取方法,信号处理教学研究中心,28,2.3.1 单位冲激响应和单位阶跃响应的概念,1. 单位冲激响应和单位阶跃响应的概念,在激励 为(t) 的作用下产生的零状态响应叫做单位冲激响应，用h(t)表示。 在激励为(t) 的作用下产生的零

11、状态响应叫做单位阶跃响应，用g(t)表示。,信号处理教学研究中心,29,一阶微分方程描述的系统,2.3.1 单位冲激响应和单位阶跃响应的概念,信号处理教学研究中心,30,2.3.2 单位冲激响应h(t)的求取方法,（1） 利用阶跃响应与冲激响应的关系求解 （线性时不变系统）,此方法适用于简单电路，前提是阶跃响应g(t)简单易求。,信号处理教学研究中心,31,例：求系统 的 。,解：,特征根,从而,若f(t)=(t) 有,特征方程,2.3.2 单位冲激响应h(t)的求取方法,（2） 利用微分方程的经典求解法求h(t),信号处理教学研究中心,32,连续,于是,从而,2.3.2 单位冲激响应h(t)

12、的求取方法,若不连续，则h(t)其导数含有冲激信号,信号处理教学研究中心,33,2.4 卷积积分,2.4.1 LTI连续系统的零状态响应表示为卷积积分 2.4.2 卷积的求取方法 2.4.3 卷积的性质 2.4.4 利用卷积求yf(t),信号处理教学研究中心,34,脉冲分量,设任意信号f(t)的波形如图所示：,将信号f(t)分割成许多相邻的矩形脉冲。脉冲的宽度为，高为f(k ) 。则每一个矩形脉冲都可以用一个幅度为 f ( k ) 的门函数表示 ， 即fk(t) = f(k)g(t k),信号的分解,信号处理教学研究中心,35,信号的分解,上式说明了任意波形信号 可以表示为无限多个强度为 冲激

13、信号 的积分，也就是说，任意波形的信号可以分解为连续的加权冲激信号之和。,36,信号处理教学研究中心,激励 f(t) 零状态响应 yf(t),结论：零状态响应 yf(t)为激励信号与系统单位冲激响应的卷积积分,2.4.1 LTI连续系统的零状态响应表示为卷积积分,卷积积分的定义,信号处理教学研究中心,37,卷积分析法：一旦求得系统的冲激响 ，只要计算任意激励信号 的与 卷积积分，就可得到系统由 引起的零状态响应。这种方法可使的零状态响应计算大为简化。,2.4.1 LTI连续系统的零状态响应表示为卷积积分,对线性时不变系统：,零状态响应,信号处理教学研究中心,38,1. 卷积积分的图解法(1)

14、卷积积分的几何意义,两个函数f1(t)和f2(t)的波形如下图所示：,y(t)是两波形f1()和f2(t)相乘以后组成的曲线与横轴之间构成的图形的面积。t是可变,2.4.2 卷积的求取方法,信号处理教学研究中心,39,(2) 卷积的图解法,所谓图解法实际上是借助曲线图求解卷积积分，而不是绘图。此方法可清晰地判定积分的上下限，但步骤较多。一般有以下几步：,（1）换元：f(t)x()， h(t)h(),（2）反折： h() h(-),（3）移位： h(-) h(t-),（4）相乘： f() h(t-),（5）积分： f() h(t-)曲线下的面积即为t 时刻的卷积值 注意：当t取不同的值时，函数式

15、可能不一样，故要对t取不同的值进行讨论其积分值,2.4.2 卷积的求取方法,信号处理教学研究中心,40,例2-11,两函数f(t)和h(t)波形如图所示，试求卷积,解：1）改换变量,2）折叠h()为h(),2.4.2 卷积的求取方法,41,信号处理教学研究中心,3）将h()移位成h(t),4）分段求卷积：,2.4.2 卷积的求取方法,信号处理教学研究中心,42,2.4.2 卷积的求取方法,信号处理教学研究中心,43,5）写出y(t)表达式,2.4.2 卷积的求取方法,信号处理教学研究中心,44,2.阶跃函数法（卷积积分上下限的确定）,两个卷积函数是有始函数或其中之一是有始函数的卷积运算，可利用

16、阶跃函数来确定。以下举例说明：,例,两函数 f(t)=(t) 和 h(t)= (t) ，试求其卷积。,解：,2.4.2 卷积的求取方法,信号处理教学研究中心,45,两函数f(t)和h(t)波形如图所示，试求卷积,解：由波形知,例2-13,2.4.2 卷积的求取方法,信号处理教学研究中心,46,2.4.2 卷积的求取方法,信号处理教学研究中心,47,2.4.2 卷积的求取方法,48,信号处理教学研究中心,2.4.2 卷积的求取方法,非零值定义域的确定 左边界为：两个函数的非零区间的下限的和作为积分下限， 右边界为：两个函数非零区间的上限的和作为上限。,信号处理教学研究中心,49,卷积积分的存在性

17、,假定f(t)与h(t)不包含冲激。在任何有限时刻t，若 则两函数的卷积存在。据此，可推出如下判定准则：,求 和 。,信号处理教学研究中心,50,信号处理教学研究中心,51,LTI连续系统全响应的求解,由初始状态和输入激励共同作用LTI连续系统所产生的响应 就是连续时间系统的全响应，它是零输入响应和零状态响应的代 数和。 求解全响应通常有四个步骤： 求出yx(t); 求出h(t); 求出yf(t)=x(t)h(t) 求出全响应 y(t) = yx(t)+ yf(t),利用卷积求 yf(t),信号处理教学研究中心,52,作业 2.13 （a） 2.16 （3）（6）,通信基础教学部,53,1.

18、卷积的代数运算性质 (1)交换律 (2)分配律 (3)结合律 2. 卷积的微积分运算性质 (1)卷积的微分性质 (2)卷积的积分性质 (3)卷积的微积分性质 a.微积分性质 b.杜哈美尔积分 3.含有冲激函数(t)的卷积,2.3.3 卷积的性质,信号处理教学研究中心,54,1.卷积的代数运算性质(1)交换律证明：,2.3.3 卷积的性质,信号处理教学研究中心,55,1.卷积的代数运算性质(1)分配律,2.3.3 卷积的性质,h1(t)+ h2(t),信号处理教学研究中心,56,(3)结合律,2.3.3 卷积的性质,h1(t)* h2(t),信号处理教学研究中心,57,2.卷积的微积分运算性质,

19、(1) 卷积的微分性质,2.3.3 卷积的性质,卷积后求导和先对任何一个先求导后再卷积的结果是一样的,信号处理教学研究中心,58,(2)卷积的积分性质,2.3.3 卷积的性质,卷积之后积分和先对任何一个先积分后再卷积的结果是一样的,信号处理教学研究中心,59,3.卷积的微积分性质,a.微积分性质,2.3.3 卷积的性质,信号处理教学研究中心,60,3.卷积的微积分性质,b.杜哈密尔积分,这就是杜哈密尔积分。它表明零状态响应也可以由激励的一次导数f(t)与单位阶跃响应g(t)的卷积求得。,2.3.3 卷积的性质,信号处理教学研究中心,61,c.推论,这里，i 和 j 可以为正也可以为负；为正是求

20、导，为负是求积分。,2.3.3 卷积的性质,信号处理教学研究中心,62,2.3.3 卷积的性质,信号处理教学研究中心,63,3.含有冲激函数(t)的卷积,(1),2.3.3 卷积的性质,任意信号与冲激信号 的卷积是原信号本身,信号处理教学研究中心,64,2.,即,2.3.3 卷积的性质,信号处理教学研究中心,65,2.3.3 卷积的性质,(3),任意信号与有时移的冲激信号 的卷积是将这个信号作同样的时移,信号处理教学研究中心,66,2.3.3 卷积的性质,4. 卷积的时移性,信号处理教学研究中心,67,2.3.3 卷积的性质,信号处理教学研究中心,68,2.3.3 卷积的性质,信号处理教学研究

21、中心,69,系统如图1所示，激励f(t)为图2所示信号时求响应y(t)。,解：,由框图知：,2.3.3 卷积的性质,利用卷积求 yf(t),信号处理教学研究中心,70,波形如下图,2.3.3 卷积的性质,信号处理教学研究中心,71,2.3.3 卷积的性质,例：如图所示系统是由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为 ， 。求总的系统的冲激响应,解：,根据题意，可得,信号处理教学研究中心,72,作业,2.19 （3）、（4） 2.26,信号处理教学研究中心,73,2. 5 LTI离散系统的单位序列响应,2.5.1 单位序列响应和阶跃响应的概念 2.5.2 h(k)的求取方法,2. 5 LTI

22、离散系统的单位序列响应,信号处理教学研究中心,74,2.5.1 LTI离散系统的单位序列响应,2.5.1 单位序列响应和单位阶跃响应的概念,零状态 线性系统,当离散系统的激励信号为单位序列 f(k)=(k) 时，它的响应便是单位序列响应，记作：y(k)=h(k) 这时，差分方程 改写为,2. 5 LTI离散系统的单位序列响应,信号处理教学研究中心,75,同理，当离散系统的激励信号为单位阶跃序列 f(k)=(k) 时，它的响应便是单位阶跃响应，记作：y(k)=g(k) 这时，差分方程 改写为,2. 5 LTI离散系统的单位序列响应,信号处理教学研究中心,76,2. 5 LTI离散系统的单位序列响

23、应,利用差分方程的经典求解法求解h(k）,通信基础教学部,77,2.6.1 LTI离散系统的零状态响应表示为卷和 2.6.2 卷和的求法 图解法 算式法（不进位乘法） 公式法 2.6.3 卷和的性质 2.6.4 利用卷和求 yf(k),2.6 卷和,78,信号处理教学研究中心,连续系统的卷积分析方法求零状态响应：,将激励信号 f(t)分解为一系列加权的冲激信号，根据系统对各个冲激的响应，叠加得到系统对激励信号f(t)的零状态响应。叠加是连续叠加，表现为求卷积积分,2.6.1 LTI离散系统的零状态响应表示为卷和,离散系统非常类似。首先把将激励信号 f(k)分解为一系列单位序列信号，对每个单位序

24、列信号求响应，叠加得到系统对激励信号f(k)的零状态响应。叠加是离散叠加，表现为求卷积和,任意离散信号 f(k) 可以表示为单位序列和的形式:,79,信号处理教学研究中心,在f(k)作用下，零状态线性离散系统产生的响应为yf(k),零状态线性系统,称为f(k)和h(k)的卷积和（简称卷和）,2.6.1 LTI离散系统的零状态响应表示为卷和,可通过f(k)和h(k)的卷积和求LTI离散系统的零状态响应,80,信号处理教学研究中心,2.6.2 卷和的求法,1.图解法求卷和 h(n)折迭为h(-n); h(-n)平移为h(k-n); h(k-n) 与f(n) 相乘得 f(n) h(k-n); 求各乘

25、积之和,f(k)和h(k)的卷积和,信号处理教学研究中心,81,求,已知,解： 1） f(k) f(n) 对h(k) h(n) 折叠得h(-n),2.6.2 卷和的求法,82,信号处理教学研究中心,2）平移得 h(k-n),3）固定f(n), 移动 h(k-n) 后求和,k0时，两信号不重合,k=0 时，,2.6.2 卷和的求法,83,信号处理教学研究中心,2）平移得 h(k-n),3）固定x(n), 移动 h(k-n) 后求和,k=1 时，,k=2时，,k=3时，,2.6.2 卷和的求法,84,信号处理教学研究中心,2）平移得 h(k-n),3）固定x(n), 移动 h(k-n) 后求和,2

26、.6.2 卷和的求法,k=4 时，,k=5 时，,k=6 时，,K=7 时，,85,信号处理教学研究中心,2. 算式法（不进位乘法）,例,求,已知,解： 用算式法求解,2.6.2 卷和的求法,信号处理教学研究中心,86,由上例可见，yf(k)的项数为7，而f(k)和h(k)的项数都分别为5、3，正好由5+3-1=7。一般说来，若f(k) 的非零项数为 nf , h(k) 的非零项数为 nh, 则 yf(k) 的非零项数ny= nf+nh-1；而 f(k) 所有离散函数值的和与 h(k) 所有离散函数值的和的乘积等于 yf(k) 所有函数值的和。,2.6.2 卷和的求法,信号处理教学研究中心,87,3. 公式法,以上三种方法适合于有限